Funciones racionales de Legendre

Secuencia de funciones ortogonales en [0, ∞)

Gráfica de las funciones racionales de Legendre para n=0,1,2 y 3 para x entre 0,01 y 100.

En matemáticas , las funciones racionales de Legendre son una secuencia de funciones ortogonales en  [0, ∞) . Se obtienen componiendo la transformada de Cayley con polinomios de Legendre .

Una función racional de Legendre de grado n se define como:

$${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,P_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)}$$

funciones propiasproblema singular de Sturm-Liouville ${\displaystyle P_{n}(x)}$

$${\displaystyle (x+1){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\left[\left(x+1\right)v(x)\right]\right)+\lambda v(x)=0}$$

$${\displaystyle \lambda _{n}=n(n+1)\,}$$

Propiedades

Se pueden derivar muchas propiedades de las propiedades de los polinomios de Legendre del primer tipo. Otras propiedades son exclusivas de las funciones mismas.

recursividad

$${\displaystyle R_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}\,{\frac {x-1}{x+1}}\,R_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}\,R_{n-1}(x)\quad \mathrm {for\,n\geq 1} }$$

$${\displaystyle 2(2n+1)R_{n}(x)=\left(x+1\right)^{2}\left({\frac {d}{dx}}R_{n+1}(x)-{\frac {d}{dx}}R_{n-1}(x)\right)+(x+1)\left(R_{n+1}(x)-R_{n-1}(x)\right)}$$

Comportamiento limitante

Gráfica de séptimo orden ( n=7 ) Función racional de Legendre multiplicada por 1+x para x entre 0,01 y 100. Tenga en cuenta que hay n ceros dispuestos simétricamente alrededor de x=1 y si x ₀ es un cero, entonces 1/ x ₀ es un cero también. Estas propiedades son válidas para todos los pedidos.

Se puede demostrar que

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(x+1)R_{n}(x)={\sqrt {2}}}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\partial _{x}((x+1)R_{n}(x))=0}$$

Ortogonalidad

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{nm}}$$

delta de Kronecker ? ${\displaystyle \delta _{nm}}$

Valores particulares

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,1\\R_{1}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x-1}{x+1}}\\R_{2}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x^{2}-4x+1}{(x+1)^{2}}}\\R_{3}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x^{3}-9x^{2}+9x-1}{(x+1)^{3}}}\\R_{4}(x)&={\frac {\sqrt {2}}{x+1}}\,{\frac {x^{4}-16x^{3}+36x^{2}-16x+1}{(x+1)^{4}}}\end{aligned}}}$$

Referencias

• Zhong-Qing, Wang; Ben-Yu, Guo (2005). "Un método espectral mixto para el flujo de fluido viscoso incompresible en una franja infinita". Matemática Computacional y Aplicada . 24 (3). Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional. doi : 10.1590/S0101-82052005000300002 .