En matemáticas , una integral orbital es una transformada integral que generaliza el operador de media esférica a espacios homogéneos . En lugar de integrar sobre esferas , se integra sobre esferas generalizadas: para un espacio homogéneo X = G / H , una esfera generalizada centrada en un punto x 0 es una órbita del grupo de isotropía de x 0 .
El caso modelo para las integrales orbitales es un espacio simétrico de Riemann G / K , donde G es un grupo de Lie y K es un subgrupo compacto simétrico . Las esferas generalizadas son entonces esferas geodésicas reales y el operador de promedio esférico se define como
dónde
Las integrales orbitales de funciones adecuadas también se pueden definir en espacios homogéneos G / K donde el subgrupo K ya no se supone compacto, sino que se supone que es solo unimodular. Los espacios simétricos de Lorentz son de este tipo. Las integrales orbitales en este caso también se obtienen integrando sobre una órbita K en G / K con respecto a la medida de Haar de K. Por lo tanto
es la integral orbital centrada en x sobre la órbita que pasa por y . Como se indicó anteriormente, g es un elemento de grupo que representa la clase lateral x .
Un problema central de la geometría integral es reconstruir una función a partir del conocimiento de sus integrales orbitales. La transformada de Funk y la transformada de Radon son dos casos especiales. Cuando G / K es un espacio simétrico de Riemann, el problema es trivial, ya que M r ƒ( x ) es el valor promedio de ƒ sobre la esfera generalizada de radio r , y
Cuando K es compacto (pero no necesariamente simétrico), funciona un atajo similar. El problema es más interesante cuando K no es compacto. Por ejemplo, la transformada de Radon es la integral orbital que resulta de tomar G como el grupo de isometría euclidiana y K como el grupo de isotropía de un hiperplano.
Las integrales orbitales son una herramienta técnica importante en la teoría de formas automórficas , donde entran en la formulación de varias fórmulas de trazas .
