Propiedad topológica

Propiedad matemática de un espacio.

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , una propiedad topológica o invariante topológico es una propiedad de un espacio topológico que es invariante bajo homeomorfismos . Alternativamente, una propiedad topológica es una clase propia de espacios topológicos que está cerrada bajo homeomorfismos. Es decir, una propiedad de los espacios es una propiedad topológica si siempre que un espacio X posee esa propiedad, todo espacio homeomorfo a X posee esa propiedad. Informalmente, una propiedad topológica es una propiedad del espacio que se puede expresar mediante conjuntos abiertos .

Un problema común en topología es decidir si dos espacios topológicos son homeomórficos o no. Para demostrar que dos espacios no son homeomórficos, basta encontrar una propiedad topológica que no sea compartida por ellos.

Propiedades de las propiedades topológicas.

Una propiedad es: ${\displaystyle P}$

• Hereditario , si para cada espacio topológico y subconjunto el subespacio tiene propiedad ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$ ${\displaystyle P.}$
• Débilmente hereditario , si para cada espacio topológico y subconjunto cerrado el subespacio tiene propiedad ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \left(S,{\mathcal {T}}|_{S}\right)}$ ${\displaystyle P.}$

Propiedades topológicas comunes

Funciones cardinales

• La cardinalidad del espacio . ${\displaystyle \vert X\vert }$ ${\displaystyle X}$
• La cardinalidad de la topología (el conjunto de subconjuntos abiertos) del espacio . ${\displaystyle \vert \tau (X)\vert }$ ${\displaystyle X}$
• Peso , la cardinalidad mínima de una base de la topología del espacio . ${\displaystyle w(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Densidad , la menor cardinalidad de un subconjunto de cuyo cierre es . ${\displaystyle d(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Separación

Tenga en cuenta que algunos de estos términos se definen de manera diferente en la literatura matemática más antigua; ver historia de los axiomas de separación .

• T ₀ o Kolmogorov . Un espacio es Kolmogorov si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, hay al menos un conjunto abierto que contiene x pero no y , o un conjunto abierto que contiene y pero no x .
• T ₁ o Fréchet . Un espacio es Fréchet si para cada par de puntos distintos xey en el espacio, hay un conjunto abierto que contiene x pero no y . (Compárese con T ₀ ; aquí se nos permite especificar qué punto estará contenido en el conjunto abierto). De manera equivalente, un espacio es T ₁ si todos sus singletons son cerrados. Los espacios T ₁ son siempre T ₀ .
• Sobrio . Un espacio es sobrio si todo conjunto cerrado irreducible C tiene un punto genérico único p . En otras palabras, si C no es la unión (posiblemente no disjunta) de dos subconjuntos cerrados no vacíos más pequeños, entonces existe un p tal que el cierre de { p } es igual a C , y p es el único punto con esta propiedad.
• T ₂ o Hausdorff . Un espacio es Hausdorff si cada dos puntos distintos tienen vecindades disjuntas. Los espacios T ₂ son siempre T ₁ .
• T _2½ o Urysohn . Un espacio es Urysohn si cada dos puntos distintos tienen vecindades cerradas inconexas. Los espacios T _2½ son siempre T ₂ .
• Completamente T ₂ o completamente Hausdorff . Un espacio es completamente T ₂ si cada dos puntos distintos están separados por una función . Todo espacio completamente Hausdorff es Urysohn.
• Regular . Un espacio es regular si siempre que C es un conjunto cerrado y p es un punto que no está en C , entonces C y p tienen vecindades disjuntas.
• T ₃ o Hausdorff normal . Un espacio es Hausdorff regular si es un espacio T ₀ regular . (Un espacio regular es Hausdorff si y sólo si es T ₀ , por lo que la terminología es consistente ).
• Completamente regular . Un espacio es completamente regular si siempre que C es un conjunto cerrado y p es un punto que no está en C , entonces C y { p } están separados por una función .
• T _3½ , Tychonoff , Hausdorff completamente regular o Completamente T ₃ . Un espacio de Tychonoff es un espacio T ₀ completamente regular . (Un espacio completamente regular es Hausdorff si y sólo si es T ₀ , por lo que la terminología es consistente.) Los espacios de Tychonoff son siempre Hausdorff regulares.
• Normal . Un espacio es normal si dos conjuntos cerrados disjuntos tienen vecindades disjuntas. Los espacios normales admiten particiones de unidad .
• T ₄ o Hausdorff normal . Un espacio normal es Hausdorff si y sólo si es T ₁ . Los espacios normales de Hausdorff son siempre Tychonoff.
• Completamente normal . Un espacio es completamente normal si dos conjuntos separados tienen vecindades disjuntas.
• T ₅ o Hausdorff completamente normal . Un espacio completamente normal es Hausdorff si y sólo si es T ₁ . Los espacios de Hausdorff completamente normales son siempre Hausdorff normales.
• Perfectamente normal . Un espacio es perfectamente normal si dos conjuntos cerrados disjuntos están separados con precisión por una función . Un espacio perfectamente normal también debe ser completamente normal.
• T ₆ o Hausdorff perfectamente normal , o perfectamente T ₄ . Un espacio es perfectamente normal Hausdorff , si es a la vez perfectamente normal y T ₁ . Un espacio Hausdorff perfectamente normal también debe ser Hausdorff completamente normal.
• Espacio discreto . Un espacio es discreto si todos sus puntos están completamente aislados, es decir, si algún subconjunto es abierto.
• Número de puntos aislados . El número de puntos aislados de un espacio topológico.

Condiciones de contabilización

• Separables . Un espacio es separable si tiene un subconjunto denso contable .
• Primero contable . Un espacio es contable primero si cada punto tiene una base local contable .
• Segundo contable . Un espacio es contable en segundo lugar si tiene una base contable para su topología. Los espacios contables en segundo lugar siempre son separables, contables en primer lugar y Lindelöf.

Conectividad

• Conectado . Un espacio es conexo si no es la unión de un par de conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. De manera equivalente, un espacio es conexo si los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo.
• Conectado localmente . Un espacio es localmente conexo si cada punto tiene una base local que consta de conjuntos conexos.
• Totalmente desconectado . Un espacio está totalmente desconectado si no tiene ningún subconjunto conexo con más de un punto.
• Conectado por camino . Un espacio X es conexo por caminos si por cada dos puntos x , y en X , hay un camino p de x a y , es decir, un mapa continuo p : [0,1] →  X con p (0) = x y pag (1) = y . Los espacios conectados por caminos siempre están conectados.
• Conectado por ruta localmente . Un espacio está localmente conectado por caminos si cada punto tiene una base local que consta de conjuntos conectados por caminos. Un espacio conectado por una ruta local está conectado si y sólo si está conectado por una ruta.
• Conectado por arco . Un espacio X es arcoconexo si por cada dos puntos x , y en X , hay un arco f de x a y , es decir, una aplicación continua inyectiva con y . Los espacios conectados por arco están conectados por caminos. ${\displaystyle f\colon [0,1]\to X}$ ${\displaystyle p(0)=x}$ ${\displaystyle p(1)=y}$
• Simplemente conectado . Un espacio X es simplemente conexo si está conexo por caminos y cada aplicación continua es homotópica a una aplicación constante. ${\displaystyle f\colon S^{1}\to X}$
• Localmente simplemente conectado . Un espacio X es localmente simplemente conexo si cada punto x en X tiene una base local de vecindades U que es simplemente conexa.
• Conectado simplemente semilocalmente . Un espacio X es simplemente conexo semilocalmente si cada punto tiene una base local de vecindades U tal que cada bucle en U es contráctil en X. La conectividad simple semilocal, condición estrictamente más débil que la conectividad simple local, es una condición necesaria para la existencia de una cobertura universal .
• Contraíble . Un espacio X es contráctil si la aplicación de identidad en X es homotópica a una aplicación constante. Los espacios contráctiles siempre están simplemente conectados.
• Hiperconectado . Un espacio es hiperconectado si no hay dos conjuntos abiertos no vacíos que sean disjuntos. Todo espacio hiperconectado está conectado.
• Ultraconectado . Un espacio es ultraconectado si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos que sean disjuntos. Todo espacio ultraconectado está conectado por caminos.
• Indiscreto o trivial . Un espacio es indiscreto si los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y él mismo. Se dice que dicho espacio tiene topología trivial .

Compacidad

• Compacto . Un espacio es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita . Algunos autores llaman a estos espacios cuasicompactos y reservan compactos para los espacios de Hausdorff donde cada cubierta abierta tiene una subcobertura finita. Los espacios compactos son siempre Lindelöf y paracompactos. Por lo tanto, los espacios compactos de Hausdorff son normales.
• Secuencialmente compacto . Un espacio es secuencialmente compacto si cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
• Contablemente compacto . Un espacio es contablemente compacto si cada cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita.
• Pseudocompacto . Un espacio es pseudocompacto si cada función continua de valor real en el espacio está acotada.
• σ-compacto . Un espacio es σ-compacto si es la unión de un número contable de subconjuntos compactos.
• Lindelöf . Un espacio es Lindelöf si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable .
• Paracompacto . Un espacio es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento localmente finito abierto. Los espacios paracompactos de Hausdorff son normales.
• Localmente compacto . Un espacio es localmente compacto si cada punto tiene una base local formada por barrios compactos. También se utilizan definiciones ligeramente diferentes. Los espacios localmente compactos de Hausdorff son siempre Tychonoff.
• Compacto ultraconectado . En un espacio compacto ultraconectado X, cada cubierta abierta debe contener a X. Los espacios compactos ultraconectados no vacíos tienen un subconjunto abierto propio más grande llamado monolito .

Metrizabilidad

• Metrizable . Un espacio es metrizable si es homeomorfo a un espacio métrico . Los espacios metrizables son siempre Hausdorff y paracompactos (y por tanto normales y Tychonoff) y contables en primer lugar. Además, se dice que un espacio topológico es metrizable si existe una métrica tal que la topología métrica sea idéntica a la topología ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(d)}$ ${\displaystyle T.}$
• Polaco . Un espacio se llama polaco si es metrizable con una métrica separable y completa.
• Metrizable localmente . Un espacio es localmente metrizable si cada punto tiene una vecindad metrizable.

Misceláneas

• Espacio Baire . Un espacio X es un espacio de Baire si no es exiguo en sí mismo. De manera equivalente, X es un espacio de Baire si la intersección de un número considerable de conjuntos abiertos densos es densa.
• Espacio de puerta . Un espacio topológico es un espacio de puerta si cada subconjunto está abierto o cerrado (o ambos).
• Homogeneidad topológica . Un espacio X es (topológicamente) homogéneo si para cada xey en X hay un homeomorfismo tal que Intuitivamente hablando, esto significa que el espacio tiene el mismo aspecto en todos los puntos . Todos los grupos topológicos son homogéneos. ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$
• Finitamente generado o Alexandrov . Un espacio X es Alexandrov si las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos en X son abiertas, o de manera equivalente si las uniones arbitrarias de conjuntos cerrados son cerradas. Estos son precisamente los miembros finitamente generados de la categoría de espacios topológicos y mapas continuos.
• De dimensión cero . Un espacio es de dimensión cero si tiene una base de conjuntos abiertos. Estos son precisamente los espacios con una pequeña dimensión inductiva de 0 .
• Casi discreto . Un espacio es casi discreto si todo conjunto abierto es cerrado (por lo tanto, abierto). Los espacios casi discretos son precisamente los espacios de dimensión cero generados finitamente.
• Booleano . Un espacio es booleano si es de dimensión cero, compacto y Hausdorff (equivalentemente, totalmente desconectado, compacto y Hausdorff). Estos son precisamente los espacios homeomorfos a los espacios de Stone de las álgebras de Boole .
• torsión de Reidemeister
• ${\displaystyle \kappa }$-resoluble . Se dice que un espacio es κ-resoluble ^[1] (respectivamente: casi κ-resoluble) si contiene κ conjuntos densos que son disjuntos por pares (respectivamente: casi disjuntos sobre el ideal de subconjuntos densos en ninguna parte). Si el espacio no se puede resolver, se llama irresoluble. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$
• Máximamente resoluble . El espacio se puede resolver al máximo si se puede resolver, donde el número se llama carácter de dispersión de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle \Delta (X)=\min\{|G|:G\neq \varnothing ,G{\mbox{ is open}}\}.}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle X.}$
• Fuertemente discreto . El conjunto es un subconjunto fuertemente discreto del espacio si los puntos pueden estar separados por vecindades disjuntas por pares. Se dice que el espacio es fuertemente discreto si cada punto de no aislado es el punto de acumulación de algún conjunto fuertemente discreto. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades no topológicas

Hay muchos ejemplos de propiedades de espacios métricos , etc., que no son propiedades topológicas. Para mostrar que una propiedad no es topológica, basta con encontrar dos espacios topológicos homeomórficos tales que tenga , pero no tenga . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X\cong Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P}$

Por ejemplo, las propiedades de acotación y completitud del espacio métrico no son propiedades topológicas. Sean y espacios métricos con la métrica estándar. Luego, a través del homeomorfismo . Sin embargo, es completo pero no acotado, mientras que está acotado pero no completo. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}})}$ ${\displaystyle X\cong Y}$ ${\displaystyle \operatorname {arctan} \colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ver también

• Clase característica  : asociación de clases de cohomología a paquetes principales
• Números característicos  : asociación de clases de cohomología a paquetes principalesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Clase Chern  : clases características de paquetes de vectores
• Característica de Euler  - Invariante topológica en matemáticas
• Propiedad de punto fijo  – Propiedad matemática
• Homología y cohomología
• Grupo de homotopía y grupo de cohomotopía
• Nudo invariante  : función de un nudo que toma el mismo valor para nudos equivalentes
• Número de enlace  : invariante numérico que describe el enlace de dos curvas cerradas en un espacio tridimensional.
• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Invariante cuántico  : concepto en teoría matemática de nudos
• Número cuántico topológico  : cantidades físicas que toman valores discretos debido a efectos físicos cuánticos topológicos
• Número de devanado  : número de veces que una curva gira alrededor de un punto en el plano.

Citas

1. Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). "Resolubilidad y normalidad monótona". Revista Israelí de Matemáticas . 166 (1): 1–16. arXiv : matemáticas/0609092 . doi : 10.1007/s11856-008-1017-y . ISSN  0021-2172. S2CID  14743623.

Referencias

• Willard, Stephen (1970). Topología general. Reading, Massachusetts: Pub Addison-Wesley. Co.p. 369.ISBN​ 9780486434797.
• Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

[2] Simon Moulieras, Maciej Lewenstein y Graciana Puentes, Ingeniería de entrelazamiento y protección topológica mediante paseos cuánticos en tiempo discreto, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf