En matemáticas , se dice que un espacio topológico es σ -compacto si es la unión de un número contable de subespacios compactos . [1]
Se dice que un espacio es σ -localmente compacto si es tanto σ -compacto como (débilmente) localmente compacto . [2] Esa terminología puede ser algo confusa ya que no se ajusta al patrón habitual de σ-(propiedad) que significa una unión contable de espacios que satisfacen (propiedad); es por eso que dichos espacios se denominan más comúnmente explícitamente como σ-compactos (débilmente) localmente compactos , lo que también es equivalente a ser agotable por conjuntos compactos . [3]
Propiedades y ejemplos
- Todo espacio compacto es σ -compacto, y todo espacio σ -compacto es Lindelöf (es decir, toda cubierta abierta tiene una subcubierta contable ). [4] Las implicaciones inversas no se cumplen, por ejemplo, el espacio euclidiano estándar ( R n ) es σ -compacto pero no compacto, [5] y la topología del límite inferior en la línea real es Lindelöf pero no σ -compacta. [6] De hecho, la topología del complemento contable en cualquier conjunto incontable es Lindelöf pero ni σ -compacta ni localmente compacta. [7] Sin embargo, es cierto que cualquier espacio de Lindelöf localmente compacto es σ -compacto.
- (Los números irracionales ) no son σ -compactos. [8]
- Un espacio de Hausdorff - Baire que también sea σ -compacto, debe ser localmente compacto en al menos un punto.
- Si G es un grupo topológico y G es localmente compacto en un punto, entonces G es localmente compacto en todas partes. Por lo tanto, la propiedad anterior nos dice que si G es un grupo topológico de Hausdorff σ -compacto que también es un espacio de Baire, entonces G es localmente compacto. Esto demuestra que para los grupos topológicos de Hausdorff que también son espacios de Baire, la σ -compacidad implica compacidad local.
- La propiedad anterior implica, por ejemplo, que R ω no es σ -compacto: si fuera σ -compacto, necesariamente sería localmente compacto ya que R ω es un grupo topológico que también es un espacio de Baire.
- Todo espacio hemicompacto es σ -compacto. [9] Sin embargo, lo inverso no es cierto; [10] por ejemplo, el espacio de los racionales , con la topología habitual, es σ -compacto pero no hemicompacto.
- El producto de un número finito de espacios σ -compactos es σ -compacto. Sin embargo, el producto de un número infinito de espacios σ -compactos puede no ser σ -compacto. [11]
- Un espacio σ - compacto X es de segunda categoría (respectivamente de Baire) si y sólo si el conjunto de puntos en el que X es localmente compacto no está vacío (respectivamente es denso) en X. [12]
Véase también
Notas
- ^ Steen, pág. 19; Willard, pág. 126.
- ^ Steen, pág. 21.
- ^ "Una pregunta sobre compacidad local y $\sigma$-compacidad". Mathematics Stack Exchange .
- ^ Steen, pág. 19.
- ^ Steen, pág. 56.
- ^ Steen, págs. 75-76.
- ^ Steen, pág. 50.
- ^ Hart, KP; Nagata, J.; Vaughan, JE (2004). Enciclopedia de topología general . Elsevier. pág. 170. ISBN. 0 444 50355 2.
- ^ Willard, pág. 126.
- ^ Willard, pág. 126.
- ^ Willard, pág. 126.
- ^ Willard, pág. 188.
Referencias
