Espacio hemicompacto

En matemáticas , en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico es hemicompacto si tiene una secuencia de subconjuntos compactos tal que cada subconjunto compacto del espacio se encuentra dentro de algún conjunto compacto de la secuencia. ^[1] Claramente, esto obliga a que la unión de la secuencia sea todo el espacio, porque cada punto es compacto y, por lo tanto, debe estar en uno de los conjuntos compactos.

Ejemplos

• Todo espacio compacto es hemicompacto.
• La línea real es la hemicompacta.
• Todo espacio Lindelöf localmente compacto es hemicompacto.

Propiedades

Todo espacio hemicompacto es σ-compacto ^[2] y si además es primero contable entonces es localmente compacto . Si un espacio hemicompacto es débilmente compacto localmente , entonces es agotable mediante conjuntos compactos .

Aplicaciones

Si es un espacio hemicompacto, entonces el espacio de todas las funciones continuas en un espacio métrico con topología compacta-abierta es metrizable . ^[3] Para ver esto, tome una secuencia de subconjuntos compactos de tal que cada subconjunto compacto de se encuentre dentro de algún conjunto compacto en esta secuencia (la existencia de tal secuencia se deriva de la hemicompacidad de ). Definir pseudometría ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X,M)}$ ${\displaystyle f:X\to M}$ ${\displaystyle (M,\delta )}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle d_{n}(f,g)=\sup _{x\in K_{n}}\delta {\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\quad f,g\in C(X,M),n\in \mathbb {N} .}$

Entonces

${\displaystyle d(f,g)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}}$

define una métrica sobre la cual induce la topología compacta-abierta. ${\displaystyle C(X,M)}$

Ver también

• Espacio compacto
• Agotable por conjuntos compactos.
• Espacio localmente compacto
• Espacio Lindelöf

Notas

1. Willard 2004, Problema planteado en la sección 17.
2. Willard 2004, pág. 126
3. Conway 1990, Ejemplo IV.2.2.

Referencias

• Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.
• Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.

enlaces externos

• espacio hemicompacto en nLab
• hemicompacto sobre base π