Espacio Lindelöf

Tipo de espacio topológico

En matemáticas , un espacio de Lindelöf ^{[1] [2]} es un espacio topológico en el que cada cobertura abierta tiene una subcobertura contable . La propiedad de Lindelöf es un debilitamiento de la noción más comúnmente utilizada de compacidad , que requiere la existencia de una subcobertura finita .

AEl espacio hereditario de Lindelöf ^[3]es un espacio topológico tal que cada subespacio del mismo es Lindelöf. A veces, a un espacio de este tipo se lo denominafuertemente Lindelöf, pero, de manera confusa, a veces se usa esa terminología con un significado completamente diferente.^[4]El términohereditario de Lindelöfes más común e inequívoco.

Los espacios de Lindelöf llevan el nombre del matemático finlandés Ernst Leonard Lindelöf .

Propiedades de los espacios de Lindelöf

• Todo espacio compacto y, más generalmente, todo espacio σ-compacto es Lindelöf. En particular, todo espacio numerable es Lindelöf.
• Un espacio de Lindelöf es compacto si y sólo si es contablemente compacto .
• Todo espacio contable en segundo lugar es Lindelöf, ^[5] pero no a la inversa. Por ejemplo, hay muchos espacios compactos que no son contables en segundo lugar.
• Un espacio métrico es Lindelöf si y sólo si es separable , y si y sólo si es segundo-contable . ^[6]
• Todo espacio de Lindelöf regular es normal . ^[7]
• Todo espacio de Lindelöf regular es paracompacto . ^[8]
• Una unión contable de subespacios de Lindelöf de un espacio topológico es Lindelöf.
• Todo subespacio cerrado de un espacio de Lindelöf es Lindelöf. ^[9] En consecuencia, todo conjunto F σ en un espacio de Lindelöf es Lindelöf.
• Los subespacios arbitrarios de un espacio de Lindelöf no necesitan ser Lindelöf. ^[10]
• La imagen continua de un espacio de Lindelöf es Lindelöf. ^[11]
• El producto de un espacio de Lindelöf y un espacio compacto es Lindelöf. ^[12]
• El producto de un espacio de Lindelöf y un espacio σ-compacto es Lindelöf. Este es un corolario de la propiedad anterior.
• El producto de dos espacios de Lindelöf no tiene por qué ser necesariamente Lindelöf. Por ejemplo, la recta de Sorgenfrey es Lindelöf, pero el plano de Sorgenfrey no es Lindelöf. ^[13] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times S}$
• En un espacio de Lindelöf, cada familia localmente finita de subconjuntos no vacíos es, como máximo, contable.

Propiedades de los espacios de Lindelöf hereditarios

• Un espacio es hereditariamente Lindelöf si y sólo si cada subespacio abierto del mismo es Lindelöf. ^[14]
• Los espacios de Lindelöf hereditariamente son espacios cerrados que incluyen uniones contables, subespacios e imágenes continuas.
• Un espacio de Lindelöf regular es hereditariamente Lindelöf si y sólo si es perfectamente normal . ^{[15] [16]}
• Cada segundo espacio contable es hereditariamente Lindelöf.
• Todo espacio contable es hereditariamente Lindelöf.
• Cada espacio de Suslin es hereditariamente Lindelöf.
• Cada medida de Radon en un espacio Lindelöf hereditario es moderada.

Ejemplo: el avión de Sorgenfrey no es Lindelöf

El producto de los espacios de Lindelöf no es necesariamente Lindelöf. El ejemplo habitual de esto es el plano de Sorgenfrey , que es el producto de la línea real bajo la topología de intervalo semiabierto consigo misma. Los conjuntos abiertos en el plano de Sorgenfrey son uniones de rectángulos semiabiertos que incluyen los bordes sur y oeste y omiten los bordes norte y este, incluidas las esquinas noroeste, noreste y sureste. La antidiagonal de es el conjunto de puntos tales que ${\displaystyle \mathbb {S} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x+y=0.}$

Consideremos la cubierta abierta que consta de: ${\displaystyle \mathbb {S} }$

1. El conjunto de todos los rectángulos donde está en la antidiagonal. ${\displaystyle (-\infty ,x)\times (-\infty ,y),}$ ${\displaystyle (x,y)}$
2. El conjunto de todos los rectángulos donde está en la antidiagonal. ${\displaystyle [x,+\infty )\times [y,+\infty ),}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Lo que hay que tener en cuenta aquí es que cada punto de la antidiagonal está contenido en exactamente un conjunto de la cubierta, por lo que se necesitan todos los conjuntos (incontables) del elemento (2) anterior.

Otra forma de ver que no es Lindelöf es notar que la antidiagonal define un subespacio discreto cerrado e incontable de Este subespacio no es Lindelöf, y por lo tanto el espacio entero tampoco puede ser Lindelöf (ya que los subespacios cerrados de los espacios de Lindelöf también son Lindelöf). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Generalización

La siguiente definición generaliza las definiciones de compacto y Lindelöf: un espacio topológico es -compacto (o -Lindelöf ), donde es cualquier cardinal , si cada cubierta abierta tiene una subcubierta de cardinalidad estrictamente menor que . Compacto es entonces -compacto y Lindelöf es entonces -compacto. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

ElGrado de Lindelöf , onúmero de Lindelöf es el cardinal más pequeñotal que toda cubierta abierta del espaciotiene una subcubierta de tamaño como máximoEn esta notación,es Lindelöf siEl número de Lindelöf tal como se definió anteriormente no distingue entre espacios compactos y espacios no compactos de Lindelöf. Algunos autores dieron el nombre de númerode Lindelöfa una noción diferente: el cardinal más pequeñotal que toda cubierta abierta del espaciotiene una subcubierta de tamaño estrictamente menor que^[17]En este último sentido (y menos utilizado), el número de Lindelöf es el cardinal más pequeñotal que un espacio topológicoes-compacto. Esta noción a veces también se denomina número de Lindelöf. ${\displaystyle l(X),}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle l(X)=\aleph _{0}.}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa .}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$grado de compacidad del espacio^[18] ${\displaystyle X.}$

Véase también

• Axiomas de contabilidad  : propiedad de ciertos objetos matemáticos (normalmente de una categoría) que afirma la existencia de un conjunto numerable con determinadas propiedades. Sin dicho axioma, es probable que dicho conjunto no exista.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Lema de Lindelöf  : lema según el cual todo subconjunto abierto de los números reales es una unión contable de intervalos abiertos.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Notas

1. Steen y Seebach, pág. 19
2. Willard, Def. 16.5, pág. 110
3. Willard, 16E, pág. 114
4. Ganster, M. (1989). "Una nota sobre los espacios fuertemente Lindelöf" (PDF) . Universidad Técnica de Graz . S2CID  208002077.
5. Willard, teorema 16.9, pág. 111
6. Willard, teorema 16.11, pág. 112
7. Willard, teorema 16.8, pág. 111
8. Michael, Ernest (1953). "Una nota sobre espacios paracompactos". Actas de la American Mathematical Society . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . MR  0056905.
9. Willard, teorema 16.6, pág. 110
10. "Ejemplos de espacios de Lindelof que no son hereditariamente Lindelof". 15 de abril de 2012.
11. Willard, teorema 16.6, pág. 110
12. "El lema del tubo". 2 de mayo de 2011.
13. "Una nota sobre la línea Sorgenfrey". 27 de septiembre de 2009.
14. Engelking, 3.8.A(b), pág. 194
15. Engelking, 3.8.A(c), pág. 194
16. "Topología general - Otra pregunta sobre el espacio de Lindelöf hereditario".
17. Mary Ellen Rudin, Lectures on set theoretic topology, Conference Board of the Mathematical Sciences, American Mathematical Society, 1975, pág. 4, recuperable en Google Books [1]
18. Hušek, Miroslav (1969). "La clase de espacios k-compactos es simple". Mathematische Zeitschrift . 110 (2): 123-126. doi : 10.1007/BF01124977 . SEÑOR  0244947. S2CID  120212653..

Referencias

• Engelking, Ryszard, Topología general , Heldermann Verlag Berlín, 1989. ISBN 3-88538-006-4 
• I. Juhász (1980). Funciones cardinales en topología: diez años después . Math. Centre Tracts, Ámsterdam. ISBN 90-6196-196-3.
• Munkres, James . Topología, 2ª ed .
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .
• Willard, Stephen. Topología general , Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6