Topología del producto

Topología sobre productos cartesianos de espacios topológicos.

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de producto es el producto cartesiano de una familia de espacios topológicos equipados con una topología natural llamada topología de producto . Esta topología difiere de otra topología, quizás de apariencia más natural, llamada topología de caja , que también se puede dar a un espacio de producto y que concuerda con la topología del producto cuando el producto solo abarca un número finito de espacios. Sin embargo, la topología del producto es "correcta" porque hace que el espacio del producto sea un producto categórico de sus factores, mientras que la topología de la caja es demasiado fina ; en ese sentido, la topología del producto es la topología natural del producto cartesiano.

Definición

En todo momento, habrá un conjunto de índices no vacíos y para cada índice habrá un espacio topológico . Denota el producto cartesiano de los conjuntos por ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

$${\displaystyle X:=\prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i}}$$

y para cada índice denotamos la -ésima proyección canónica por ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}:\ \prod _{j\in I}X_{j}&\to X_{i},\\[3mu](x_{j})_{j\in I}&\mapsto x_{i}.\\\end{aligned}}}$$

Eltopología del producto , a veces llamadaLa topología de Tychonoff , onse define como latopología más burda(es decir, la topología con el menor número de conjuntos abiertos) para la cual todas las proyeccionessoncontinuas. El producto cartesianodotado de la topología del producto se llama ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\textstyle p_{i}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$ ${\textstyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}$espacio del producto . Los conjuntos abiertos en la topología del producto son uniones arbitrarias (finitas o infinitas) de conjuntos de la formaen que cada unoes abierto enysolo para un número finito.En particular, para un producto finito (en particular, para el producto de dos espacios topológicos), el conjunto de todos los productos cartesianos entre un elemento base de cada unoda una base para la topología del producto deEs decir, para un producto finito, el conjunto de todosdondees un elemento de la base (elegida) dees una base para la topología del producto de ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i},}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

La topología del producto es la topología generada por conjuntos de la forma donde y es un subconjunto abierto de En otras palabras, los conjuntos ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

$${\displaystyle \left\{p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)\mathbin {\big \vert } i\in I{\text{ and }}U_{i}\subseteq X_{i}{\text{ is open in }}X_{i}\right\}}$$

Formar una subbase para la topología en Un subconjunto de es abierto si y sólo si es una unión (posiblemente infinita) de intersecciones de un número finito de conjuntos de la forma A veces se les llama cilindros abiertos y sus intersecciones son conjuntos de cilindros . ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right).}$ ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right)}$

La topología del producto también se llama topología de convergencia puntual porque una secuencia (o más generalmente, una red ) converge si y solo si todas sus proyecciones a los espacios convergen. Explícitamente, una secuencia (respectivamente, una red ) converge a un punto dado si y solo si in para cada índice donde denota (respectivamente, denota ). En particular, si se usa para todos , entonces el producto cartesiano es el espacio de todas las funciones con valores reales y la convergencia en la topología del producto es lo mismo que la convergencia puntual de funciones. ${\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\textstyle x\in \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right)\to p_{i}(x)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle p_{i}\left(s_{\bullet }\right):=p_{i}\circ s_{\bullet }}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{n}\right)\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\left(s_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{I}}$ ${\displaystyle I,}$

Ejemplos

Si la línea real está dotada de su topología estándar , entonces la topología del producto sobre el producto de copias de es igual a la topología euclidiana ordinaria (debido a que es finita, esto también es equivalente a la topología de caja en ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

El conjunto de Cantor es homeomorfo al producto de un número contable de copias del espacio discreto y el espacio de números irracionales es homeomorfo al producto de un número contable de copias de los números naturales , donde nuevamente cada copia lleva la topología discreta. ${\displaystyle \{0,1\}}$

En el artículo sobre la topología inicial se dan varios ejemplos adicionales .

Propiedades

El conjunto de productos cartesianos entre los conjuntos abiertos de topologías de cada uno forma una base para lo que se llama topología de caja. En general, la topología de caja es más fina que la topología de producto, pero para productos finitos coinciden. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X.}$

El espacio producto , junto con las proyecciones canónicas, se puede caracterizar por la siguiente propiedad universal : si es un espacio topológico, y para cada es una aplicación continua, entonces existe precisamente una aplicación continua tal que para cada una el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle i\in I}$

Esto muestra que el espacio de producto es un producto de la categoría de espacios topológicos . De la propiedad universal anterior se deduce que una aplicación es continua si y sólo si es continua para todos. En muchos casos es más fácil comprobar que las funciones que la componen son continuas. Normalmente es más difícil comprobar si un mapa es continuo; uno intenta utilizar el hecho de que son continuos de alguna manera. ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Además de ser continuas, las proyecciones canónicas son mapas abiertos . Esto significa que cualquier subconjunto abierto del espacio del producto permanece abierto cuando se proyecta hacia abajo. Lo contrario no es cierto: si es un subespacio del espacio del producto cuyas proyecciones hacia todos los están abiertas, entonces no es necesario que esté abierto (considere, por ejemplo ) Las proyecciones canónicas generalmente no son mapas cerrados (considérese, por ejemplo, el conjunto cerrado cuyas proyecciones sobre ambos ejes son ). ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle W=\mathbb {R} ^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$ ${\textstyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

Supongamos que es un producto de subconjuntos arbitrarios, donde para cada Si todos no están vacíos entonces es un subconjunto cerrado del espacio del producto si y solo si cada es un subconjunto cerrado de Más generalmente, el cierre del producto de subconjuntos arbitrarios en el producto el espacio es igual al producto de los cierres: ^[1] ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}\subseteq X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\operatorname {Cl} _{X}}{\Bigl (}\prod _{i\in I}S_{i}{\Bigr )}=\prod _{i\in I}{\bigl (}{\operatorname {Cl} _{X_{i}}}S_{i}{\bigr )}.}$$

Cualquier producto de espacios de Hausdorff es nuevamente un espacio de Hausdorff.

El teorema de Tychonoff , que equivale al axioma de elección , establece que cualquier producto de espacios compactos es un espacio compacto. Una especialización del teorema de Tychonoff que requiere sólo el lema del ultrafiltro (y no toda la fuerza del axioma de elección) establece que cualquier producto de espacios compactos de Hausdorff es un espacio compacto.

Si es fijo entonces el conjunto ${\textstyle z=\left(z_{i}\right)_{i\in I}\in X}$

$${\displaystyle \left\{x=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in X\mathbin {\big \vert } x_{i}=z_{i}{\text{ for all but finitely many }}i\right\}}$$

es un subconjunto denso del espacio del producto . ^[1] ${\displaystyle X}$

Relación con otras nociones topológicas

Separación

• Todo producto de T ₀ espacios es T ₀ .
• Todo producto de espacios T 1 es T ₁ .
• Cada producto de los espacios Hausdorff es Hausdorff.
• Todo producto de espacios regulares es regular.
• Cada producto de los espacios Tychonoff es Tychonoff.
• Un producto de espacios normales no tiene por qué ser normal.

Compacidad

• Todo producto de espacios compactos es compacto ( teorema de Tychonoff ).
• Un producto de espacios localmente compactos no necesita ser localmente compacto. Sin embargo, un producto arbitrario de espacios localmente compactos donde todos menos un número finito son compactos es localmente compacto (esta condición es suficiente y necesaria).

Conectividad

• Todo producto de espacios conectados (respectivamente conectados por caminos) es conexo (resp. conectados por caminos).
• Todo producto de espacios hereditariamente desconectados está hereditariamente desconectado.

Espacios métricos

• Los productos contables de espacios métricos son espacios metrizables .

Axioma de elección

Una de las muchas formas de expresar el axioma de elección es decir que es equivalente a la afirmación de que el producto cartesiano de una colección de conjuntos no vacíos no lo es. ^[2] La prueba de que esto es equivalente al enunciado del axioma en términos de funciones de elección es inmediata: basta con elegir un elemento de cada conjunto para encontrar un representante en el producto. Por el contrario, un producto representativo es un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada componente.

El axioma de elección vuelve a aparecer en el estudio de espacios de productos (topológicos); por ejemplo, el teorema de Tychonoff sobre conjuntos compactos es un ejemplo más complejo y sutil de un enunciado que requiere el axioma de elección y es equivalente a él en su formulación más general, ^[3] y muestra por qué la topología del producto puede considerarse más útil topología para poner en un producto cartesiano.

Ver también

• Unión disjunta (topología)  : espacio formado al equipar la unión disjunta de los conjuntos subyacentes con una topología natural llamada topología de unión disjunta.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Topología final  : la mejor topología que hace que algunas funciones sean continuas
• Topología inicial  : topología más gruesa que hace que ciertas funciones sean continuas; a veces se denomina topología límite proyectiva.
• Límite inverso  : construcción en teoría de categorías
• Convergencia puntual  : una noción de convergencia en matemáticas
• Espacio cociente (topología)  - Construcción del espacio topológico
• Subespacio (topología)  – Topología heredadaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Topología débil  - Término matemático

Notas

1. Bourbaki 1989, págs.
2. Pervin, William J. (1964), Fundamentos de topología general , Academic Press, p. 33
3. Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topología, Dover, pág. 28, ISBN 978-0-486-65676-2

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Willard, Stephen (1970). Topología general. Reading, Massachusetts: Pub Addison-Wesley. ISBN del condado 0486434796. Consultado el 13 de febrero de 2013 .