Topología de caja

En topología , el producto cartesiano de espacios topológicos puede recibir varias topologías diferentes. Una de las opciones más naturales es la topología de caja , donde una base está dada por los productos cartesianos de conjuntos abiertos en los espacios componentes. ^[1] Otra posibilidad es la topología de producto , donde una base también está dada por los productos cartesianos de conjuntos abiertos en los espacios componentes, pero solo un número finito de los cuales puede ser desigual a todo el espacio componente.

Si bien la topología de caja tiene una definición algo más intuitiva que la topología de producto, satisface menos propiedades deseables. En particular, si todos los espacios componentes son compactos , la topología de caja en su producto cartesiano no necesariamente será compacta, aunque la topología de producto en su producto cartesiano siempre será compacta. En general, la topología de caja es más fina que la topología de producto, aunque las dos coinciden en el caso de productos directos finitos (o cuando todos, excepto un número finito de los factores, son triviales ).

Definición

Dado que ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

o el producto cartesiano (posiblemente infinito) de los espacios topológicos , indexados por , la topología de caja en es generada por la base ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i}\right\}.}$

El nombre caja proviene del caso de R ⁿ , en el que los conjuntos base parecen cajas. El conjunto dotado de la topología de caja a veces se denota por ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle {\underset {i\in I}{\square }}X_{i}.}$

Propiedades

Topología de caja en R ^ω : ^[2]

• La topología de caja es completamente regular.
• La topología de caja no es compacta ni conectada
• La topología de caja no es contable en primer lugar (por lo tanto no es metrizable )
• La topología de caja no es separable
• La topología de caja es paracompacta (y por lo tanto normal y completamente regular) si la hipótesis del continuo es verdadera.

Ejemplo: fallo de continuidad

El siguiente ejemplo se basa en el cubo de Hilbert . Sea R ^ω el producto cartesiano numerable de R consigo mismo, es decir, el conjunto de todas las sucesiones en R. Equipemos a R con la topología estándar y a R ^ω con la topología de caja. Definamos:

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{\omega }\\x\mapsto (x,x,x,\ldots )\end{cases}}}$

Por lo tanto, todas las funciones componentes son la identidad y, por lo tanto, continuas; sin embargo, demostraremos que f no es continua. Para comprobarlo, considere el conjunto abierto

${\displaystyle U=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right).}$

Supongamos que f fuera continua. Entonces, como:

${\displaystyle f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,}$

Debería existir tal que Pero esto implicaría que ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U).}$

${\displaystyle f\left({\tfrac {\varepsilon }{2}}\right)=\left({\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},\ldots \right)\in U,}$

lo cual es falso ya que por lo tanto f no es continua aunque todas sus funciones componentes lo sean. ${\displaystyle {\tfrac {\varepsilon }{2}}>{\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n>{\tfrac {2}{\varepsilon }}.}$

Ejemplo: falla de compacidad

Consideremos el producto numerable donde para cada i , con la topología discreta. La topología de caja en también será la topología discreta. Puesto que los espacios discretos son compactos si y solo si son finitos, vemos inmediatamente que no es compacto, aunque sus espacios componentes sí lo sean. ${\displaystyle X=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X}$tampoco es secuencialmente compacto: considere la secuencia dada por ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (x_{n})_{m}={\begin{cases}0&m<n\\1&m\geq n\end{cases}}}$

Como no hay dos puntos iguales en la secuencia, la secuencia no tiene punto límite y, por lo tanto, no es secuencialmente compacta. ${\displaystyle X}$

Convergencia en la topología de caja

Las topologías suelen entenderse mejor describiendo cómo convergen las sucesiones. En general, un producto cartesiano de un espacio consigo mismo sobre un conjunto de indexación es precisamente el espacio de funciones de a , denotado como . La topología del producto da como resultado la topología de convergencia puntual ; las sucesiones de funciones convergen si y solo si convergen en cada punto de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \prod _{s\in S}X=X^{S}}$ ${\displaystyle S}$

Como la topología de caja es más fina que la topología de producto, la convergencia de una secuencia en la topología de caja es una condición más estricta. Suponiendo que es Hausdorff, una secuencia de funciones en converge en la topología de caja a una función si y solo si converge puntualmente a y hay un subconjunto finito y hay un tal que para todos la secuencia en es constante para todos . En otras palabras, la secuencia es eventualmente constante para casi todos y de manera uniforme. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ ${\displaystyle X^{S}}$ ${\displaystyle f\in X^{S}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{0}\subset S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\in S\setminus S_{0}}$ ${\displaystyle (f_{n}(s))_{n}}$ ${\displaystyle s}$

Comparación con la topología del producto

Los conjuntos base en la topología de producto tienen casi la misma definición que la anterior, excepto con la salvedad de que todos menos un número finito de U _i son iguales al espacio componente X _i . La topología de producto satisface una propiedad muy deseable para las funciones f _i  : Y → X _i en los espacios componentes: la función de producto f : Y → X definida por las funciones componentes f _i es continua si y solo si todas las f _i son continuas. Como se muestra arriba, esto no siempre se cumple en la topología de caja. Esto realmente hace que la topología de caja sea muy útil para proporcionar contraejemplos : muchas cualidades como compacidad , conectividad , metrizabilidad, etc., si las poseen los espacios factoriales, en general no se conservan en el producto con esta topología.

Véase también

• Juego de cilindros
• Lista de topologías

Notas

1. Willard, 8.2 págs. 52–53,
2. Steen, Seebach, 109, págs. 128-129.
3. Scott, Brian M. "Diferencia entre el comportamiento de una secuencia y una función en topología de producto y caja en el mismo conjunto". math.stackexchange.com .

Referencias

• Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr. ; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart y Winston (1970). ISBN 0030794854 . 
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.

Enlaces externos

• "Topología de caja". PlanetMath .