Ultrafiltro en un conjunto

Filtro propio máximo

La red de conjuntos potencia del conjunto {1,2,3,4}, con el conjunto superior ↑{1,4} coloreado de verde oscuro. Es un filtro principal , pero no un ultrafiltro , ya que se puede extender al filtro no trivial más grande ↑{1}, incluyendo también los elementos de color verde claro. Dado que ↑{1} no se puede extender más, es un ultrafiltro.

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , un ultrafiltro sobre un conjunto es un filtro maximal sobre el conjunto. En otras palabras, es una colección de subconjuntos de que satisface la definición de un filtro sobre y que es maximal con respecto a la inclusión, en el sentido de que no existe una colección estrictamente mayor de subconjuntos de que también sea un filtro. (En lo anterior, por definición un filtro sobre un conjunto no contiene el conjunto vacío). Equivalentemente, un ultrafiltro sobre el conjunto también puede caracterizarse como un filtro sobre con la propiedad de que para cada subconjunto de cualquiera de los dos o su complemento pertenece al ultrafiltro. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A}$

Los ultrafiltros en conjuntos son una instancia especial importante de ultrafiltros en conjuntos parcialmente ordenados , donde el conjunto parcialmente ordenado consiste en el conjunto potencia y el orden parcial es la inclusión de subconjuntos . Este artículo trata específicamente de los ultrafiltros en un conjunto y no cubre la noción más general. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .}$

Existen dos tipos de ultrafiltros en un conjunto. Un ultrafiltro principal es la colección de todos los subconjuntos de que contienen un elemento fijo . Los ultrafiltros que no son principales son los ultrafiltros libres . La existencia de ultrafiltros libres en cualquier conjunto infinito está implícita en el lema de los ultrafiltros, que puede demostrarse en ZFC . Por otro lado, existen modelos de ZF donde cada ultrafiltro en un conjunto es principal. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Los ultrafiltros tienen muchas aplicaciones en teoría de conjuntos, teoría de modelos y topología . ^{[1] : 186} Por lo general, solo los ultrafiltros libres conducen a construcciones no triviales. Por ejemplo, un ultraproducto módulo un ultrafiltro principal siempre es isomorfo a uno de los factores, mientras que un ultraproducto módulo un ultrafiltro libre generalmente tiene una estructura más compleja.

Definiciones

Dado un conjunto arbitrario, un ultrafiltro es una familia no vacía de subconjuntos de tal manera que: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

1. Apropiado ono degenerado : El conjunto vacío no es un elemento de ${\displaystyle U.}$
2. Cerrado hacia arriba en ${\displaystyle X}$: Siy sies cualquier superconjunto de(es decir, si) entonces ${\displaystyle A\in U}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq X}$ ${\displaystyle B\in U.}$
3. π −sistema : Siyson elementos deentonces también lo es suintersección. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\cap B.}$
4. Si entonces uno o su complemento es un elemento de ^{[nota 1]} ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle U.}$

Las propiedades (1), (2) y (3) son las propiedades que definen un filtro ${\displaystyle X.}$ . Algunos autores no incluyen la no degeneración (que es la propiedad (1) mencionada anteriormente) en su definición de "filtro". Sin embargo, la definición de "ultrafiltro" (y también de "prefiltro" y "subbase del filtro") siempre incluye la no degeneración como condición definitoria. Este artículo requiere que todos los filtros sean apropiados, aunque un filtro podría describirse como "apropiado" para enfatizar.

Una subbase de filtro es una familia no vacía de conjuntos que tiene la propiedad de intersección finita (es decir, todas las intersecciones finitas no están vacías). De manera equivalente, una subbase de filtro es una familia no vacía de conjuntos que está contenida en algún filtro (adecuado). Se dice que el filtro más pequeño (en relación con ) que contiene una subbase de filtro dada es generado por la subbase de filtro. ${\displaystyle \subseteq }$

El cierre ascendente de una familia de conjuntos es el conjunto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P^{\uparrow X}:=\{S:A\subseteq S\subseteq X{\text{ for some }}A\in P\}.}$

Aprefiltro oLa base del filtro es una familiano vacía y propia (es decirque estádirigida hacia abajo, lo que significa que sientonces existe algunotal queDe manera equivalente, un prefiltro es cualquier familia de conjuntoscuyo cierre hacia arribaes un filtro, en cuyo caso este filtro se llamafiltro generado poryse dice que esuna base de filtro para ${\displaystyle \varnothing \not \in P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle B,C\in P}$ ${\displaystyle A\in P}$ ${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\uparrow X}.}$

El dual en ${\displaystyle X}$^[2] de una familia de conjuntos es el conjunto Por ejemplo, el dual del conjunto potencia es él mismo: Una familia de conjuntos es un filtro propio en si y sólo si su dual es un ideal propio en (" propio " significa no igual al conjunto potencia). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X\setminus P:=\{X\setminus B:B\in P\}.}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X\setminus \wp (X)=\wp (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Generalización a prefiltros ultra

Una familia de subconjuntos de se llama ${\displaystyle U\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ultra sise cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:^[2][3] ${\displaystyle \varnothing \not \in U}$

1. Para cada conjunto existe algún conjunto tal que o (o equivalentemente, tal que es igual a o ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\in U}$ ${\displaystyle B\subseteq S}$ ${\displaystyle B\subseteq X\setminus S}$ ${\displaystyle B\cap S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varnothing }$
2. Para cada conjunto existe algún conjunto tal que es igual o ${\displaystyle S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B}$ ${\displaystyle B\in U}$ ${\displaystyle B\cap S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varnothing .}$
   • Aquí, se define como la unión de todos los conjuntos en ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{B\in U}}B}$ ${\displaystyle U.}$
   • Esta caracterización de " es ultra" no depende del conjunto , por lo que mencionar el conjunto es opcional cuando se utiliza el término "ultra". ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
3. Para cada conjunto (no necesariamente ni siquiera un subconjunto de ) existe algún conjunto tal que es igual o ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in U}$ ${\displaystyle B\cap S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varnothing .}$
   • Si satisface esta condición, entonces también lo hace cada superconjunto . En particular, un conjunto es ultra si y sólo si y contiene como subconjunto alguna ultrafamilia de conjuntos. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\supseteq U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in V}$ ${\displaystyle V}$

Una subbase de filtro ultra es necesariamente un prefiltro. ^{[prueba 1]}

La propiedad ultra ahora se puede utilizar para definir tanto ultrafiltros como prefiltros ultra:

UnEl prefiltro ultra ^[2][3]es un prefiltro que es ultra. Equivalentemente, es una subbase de filtro que es ultra.

Unultrafilter ^[2][3]ones un filtro (adecuado)que es ultra. Equivalentemente, es cualquier filtroque se genera mediante un prefiltro ultra. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Prefiltros ultra como prefiltros máximos

Para caracterizar los prefiltros ultra en términos de "maximalidad", se necesita la siguiente relación.

Dadas dos familias de conjuntos y se dice que la familia es más gruesa ^{[4] [5]} que y es más fina que y subordinada a escrito o N ⊢ M , si para cada hay alguno tal que Las familias y se llaman equivalentes si y Las familias y son comparables si uno de estos conjuntos es más fino que el otro. ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M\leq N}$ ${\displaystyle C\in M,}$ ${\displaystyle F\in N}$ ${\displaystyle F\subseteq C.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\leq N}$ ${\displaystyle N\leq M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

La relación de subordinación, es decir, es un preorden , por lo que la definición anterior de "equivalente" forma una relación de equivalencia . Si entonces pero la inversa no se cumple en general. Sin embargo, si es cerrado hacia arriba, como un filtro, entonces si y solo si Todo prefiltro es equivalente al filtro que genera. Esto demuestra que es posible que los filtros sean equivalentes a conjuntos que no son filtros. ${\displaystyle \,\geq ,\,}$ ${\displaystyle M\subseteq N}$ ${\displaystyle M\leq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\leq N}$ ${\displaystyle M\subseteq N.}$

Si dos familias de conjuntos y son equivalentes, entonces ambos y son ultra (resp. prefiltros, subbases de filtro) o, de lo contrario, ninguno de ellos es ultra (resp. un prefiltro, una subbase de filtro). En particular, si una subbase de filtro no es también un prefiltro, entonces no es equivalente al filtro o prefiltro que genera. Si y son ambos filtros, entonces y son equivalentes si y solo si Si un filtro adecuado (resp. ultrafiltro) es equivalente a una familia de conjuntos , entonces es necesariamente un prefiltro (resp. ultra prefiltro). Usando la siguiente caracterización, es posible definir prefiltros (resp. ultra prefiltros) usando solo el concepto de filtros (resp. ultrafiltros) y subordinación: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M=N.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Una familia arbitraria de conjuntos es un prefiltro si y solo es equivalente a un filtro (adecuado).

Una familia arbitraria de conjuntos es un ultraprefiltro si y solo si es equivalente a un ultrafiltro.

AEl prefiltro máximo en ${\displaystyle X}$^[2][3]es un prefiltroque satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle U\subseteq \wp (X)}$

1. ${\displaystyle U}$es ultra.
2. ${\displaystyle U}$es máxima con respecto a lo que significa que si satisface entonces ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$ ${\displaystyle P\in \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle U\leq P}$ ${\displaystyle P\leq U.}$
3. No existe ningún prefiltro debidamente subordinado a ^[3] ${\displaystyle U.}$
4. Si un filtro (adecuado) satisface entonces ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\leq F}$ ${\displaystyle F\leq U.}$
5. El filtro generado por es ultra. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

Caracterizaciones

No hay ultrafiltros en el conjunto vacío , por lo que de ahora en adelante se supone que no está vacío. ${\displaystyle X}$

Una subbase de filtro es un ultrafiltro si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[2] [3]} ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1. para cualquier o ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\in U}$ ${\displaystyle X\setminus S\in U.}$
2. ${\displaystyle U}$es una subbase de filtro máxima en lo que significa que si es cualquier subbase de filtro en entonces implica ^[6] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq F}$ ${\displaystyle U=F.}$

Un filtro (adecuado) es un ultrafiltro si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle U}$es ultra;
2. ${\displaystyle U}$se genera mediante un prefiltro ultra;
3. Para cualquier subconjunto o ^[6] ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\in U}$ ${\displaystyle X\setminus S\in U.}$
   • Por lo tanto, un ultrafiltro decide para cada uno si es "grande" (es decir, ) o "pequeño" (es decir, ). ^[7] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\in U}$ ${\displaystyle X\setminus S\in U}$
4. Para cada subconjunto , ^{[nota 1]} está en o ( ) está en. ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X\setminus A}$
5. ${\displaystyle U\cup (X\setminus U)=\wp (X).}$Esta condición se puede reformular como: está dividida por y su dual ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X\setminus U.}$
   • Los conjuntos y son disjuntos para todos los prefiltros en ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X\setminus P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X.}$
6. ${\displaystyle \wp (X)\setminus U=\left\{S\in \wp (X):S\not \in U\right\}}$es un ideal en ^[6] ${\displaystyle X.}$
7. Para cualquier familia finita de subconjuntos de (donde ), si entonces para algún índice ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}\in U}$ ${\displaystyle S_{i}\in U}$ ${\displaystyle i.}$
   • En palabras, un conjunto "grande" no puede ser una unión finita de conjuntos, ninguno de los cuales es grande. ^[8]
8. Para cualquier si entonces o ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S=X}$ ${\displaystyle R\in U}$ ${\displaystyle S\in U.}$
9. Para cualquier si entonces o (un filtro con esta propiedad se llama ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in U}$ ${\displaystyle R\in U}$ ${\displaystyle S\in U}$filtro principal ).
10. Para cualquier si y entonces o bien ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in U}$ ${\displaystyle R\cap S=\varnothing }$ ${\displaystyle R\in U}$ ${\displaystyle S\in U.}$
11. ${\displaystyle U}$es un filtro maximalista; es decir, si es un filtro en tal que entonces Equivalentemente, es un filtro maximalista si no hay ningún filtro en que contenga como un subconjunto propio (es decir, ningún filtro es estrictamente más fino que ). ^[6] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq F}$ ${\displaystyle U=F.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Parrillas y parrillas filtrantes

Si entonces su rejilla está en la familia donde puede escribirse si es claro a partir del contexto. Por ejemplo, y si entonces Si entonces y además, si es una subbase de filtro entonces ^[9] La rejilla está cerrada hacia arriba en si y solo si lo que se asumirá de ahora en adelante. Además, de modo que está cerrada hacia arriba en si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#X}:=\{S\subseteq X~:~S\cap B\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing ^{\#}=\wp (X)}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#}=\varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#}\subseteq {\mathcal {A}}^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}^{\#}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}.}$

La rejilla de un filtro sobre se llama rejilla de filtro sobre ^[9] Para cualquier es una rejilla de filtro sobre si y solo si (1) está cerrado hacia arriba en y (2) para todos los conjuntos y si entonces o La operación de rejilla induce una biyección ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}}$

${\displaystyle {\bullet }^{\#X}~:~\operatorname {Filters} (X)\to \operatorname {FilterGrills} (X)}$

cuya inversa también está dada por ^[9] Si entonces es una rejilla de filtro en si y solo si ^[9] o equivalentemente, si y solo si es un ultrafiltro en ^[9] Es decir, un filtro en es una rejilla de filtro si y solo si es ultra. Para cualquier no vacío es a la vez un filtro en y una rejilla de filtro en si y solo si (1) y (2) para todas las siguientes equivalencias: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\#X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {F}}}$si y sólo si si y sólo si ^[9] ${\displaystyle R,S\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {F}}.}$

Libre o principal

Si es cualquier familia no vacía de conjuntos, entonces el núcleo de es la intersección de todos los conjuntos en ^[10] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P:}$ $${\displaystyle \operatorname {ker} P:=\bigcap _{B\in P}B.}$$

Una familia de conjuntos no vacía se llama: ${\displaystyle P}$

• libre siy ${\displaystyle \operatorname {ker} P=\varnothing }$fijo en caso contrario (es decir, si). ${\displaystyle \operatorname {ker} P\neq \varnothing }$
• principal si ${\displaystyle \operatorname {ker} P\in P.}$
• principal en un punto siyes un conjunto singleton; en este caso, sientoncesse dice que esprincipal en ${\displaystyle \operatorname {ker} P\in P}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} P}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} P=\{x\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x.}$

Si una familia de conjuntos es fija entonces es ultra si y solo si algún elemento de ella es un conjunto singleton, en cuyo caso será necesariamente un prefiltro. Todo prefiltro principal es fijo, por lo que un prefiltro principal es ultra si y solo si es un conjunto singleton. Un conjunto singleton es ultra si y solo si su único elemento también es un conjunto singleton. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} P}$

El siguiente teorema muestra que cada ultrafiltro cae en una de dos categorías: o es gratuito o es un filtro principal generado por un solo punto.

Proposición  —  Si es un ultrafiltro entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle U}$es fijo, o equivalentemente, no libre.
2. ${\displaystyle U}$es principal.
3. Algún elemento de es un conjunto finito. ${\displaystyle U}$
4. Algún elemento de es un conjunto singleton. ${\displaystyle U}$
5. ${\displaystyle U}$es principal en algún punto de lo cual significa para algún ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} U=\{x\}\in U}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle U}$no contiene el filtro Fréchet como subconjunto. ${\displaystyle X}$
7. ${\displaystyle U}$es secuencial. ^[9]

Todo filtro que es principal en un único punto es un ultrafiltro, y si además es finito, entonces no hay ultrafiltros en otros que estos. ^[10] En particular, si un conjunto tiene cardinalidad finita entonces hay exactamente ultrafiltros en y esos son los ultrafiltros generados por cada subconjunto singleton de En consecuencia, los ultrafiltros libres solo pueden existir en un conjunto infinito. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n<\infty ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos, propiedades y condiciones suficientes

Si es un conjunto infinito entonces hay tantos ultrafiltros sobre como familias de subconjuntos de explícitamente, si tiene cardinalidad infinita entonces el conjunto de ultrafiltros sobre tiene la misma cardinalidad que esa cardinalidad siendo ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X));}$ ${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}.}$

Si y son familias de conjuntos tales que es ultra, y entonces es necesariamente ultra. Una subbase de filtro que no es un prefiltro no puede ser ultra; pero aun así es posible que el prefiltro y el filtro generados por sean ultra. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in S,}$ ${\displaystyle U\leq S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Supongamos que es ultra y es un conjunto. La traza es ultra si y solo si no contiene el conjunto vacío. Además, al menos uno de los conjuntos y será ultra (este resultado se extiende a cualquier partición finita de ). Si hay filtros en es un ultrafiltro en y entonces hay alguno que satisface ^[12] Este resultado no es necesariamente cierto para una familia infinita de filtros. ^[12] ${\displaystyle U\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\vert _{Y}:=\{B\cap Y:B\in U\}}$ ${\displaystyle U\vert _{Y}\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle U\vert _{X\setminus Y}\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\leq U,}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}\leq U.}$

La imagen bajo un mapa de un conjunto ultra es nuevamente ultra y si es un prefiltro ultra entonces también lo es La propiedad de ser ultra se conserva bajo biyecciones. Sin embargo, la preimagen de un ultrafiltro no es necesariamente ultra, ni siquiera si el mapa es sobreyectivo. Por ejemplo, si tiene más de un punto y si el rango de consiste en un solo punto entonces es un prefiltro ultra en pero su preimagen no es ultra. Alternativamente, si es un filtro principal generado por un punto en entonces la preimagen de contiene el conjunto vacío y por lo tanto no es ultra. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(U).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y\setminus f(X)}$ ${\displaystyle U}$

El filtro elemental inducido por una secuencia infinita, cuyos puntos son todos distintos, no es un ultrafiltro. ^[12] Si entonces denota el conjunto que consiste en todos los subconjuntos de que tienen cardinalidad y si contiene al menos ( ) puntos distintos, entonces es ultra pero no está contenido en ningún prefiltro. Este ejemplo se generaliza a cualquier entero y también a si contiene más de un elemento. Los conjuntos ultra que no son también prefiltros rara vez se utilizan. ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle =3}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle X}$

Para cada uno y cada uno de los cuales If es un ultrafiltro en entonces el conjunto de todos los que son un ultrafiltro en ^[13] ${\displaystyle S\subseteq X\times X}$ ${\displaystyle a\in X,}$ ${\displaystyle S{\big \vert }_{\{a\}\times X}:=\{y\in X~:~(a,y)\in S\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \left\{a\in X~:~S{\big \vert }_{\{a\}\times X}\in {\mathcal {U}}\right\}\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X\times X.}$

Estructura de la mónada

El funtor que asocia a cualquier conjunto el conjunto de todos los ultrafiltros forma una mónada llamada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U(X)}$ ${\displaystyle X}$mónada del ultrafiltro . El mapa de unidad envía cualquier elementoal ultrafiltro principal dado por $${\displaystyle X\to U(X)}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$

Esta mónada ultrafiltro es la mónada de codensidad de la inclusión de la categoría de conjuntos finitos en la categoría de todos los conjuntos , ^[14] lo que da una explicación conceptual de esta mónada.

De manera similar, la mónada ultraproducto es la mónada de codensidad de la inclusión de la categoría de familias finitas de conjuntos en la categoría de todas las familias de conjuntos. Por lo tanto, en este sentido, los ultraproductos son categóricamente inevitables. ^[14]

El lema del ultrafiltro

El lema del ultrafiltro fue demostrado por primera vez por Alfred Tarski en 1930. ^[13]

ElLema /principio/teorema ^{del ultrafiltro [4]}  — Todo filtro apropiado de un conjuntoestá contenido en algún ultrafiltro ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

El lema del ultrafiltro es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones:

1. Para cada prefiltro de un conjunto existe un prefiltro máximo en su subordinado. ^[2] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
2. Cada subbase de filtro adecuada en un conjunto está contenida en algún ultrafiltro en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Una consecuencia del lema del ultrafiltro es que cada filtro es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. ^{[15] [nota 2]}

Los siguientes resultados se pueden demostrar utilizando el lema del ultrafiltro. Existe un ultrafiltro libre en un conjunto si y solo si es infinito. Todo filtro propio es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. ^[4] Dado que hay filtros que no son ultra, esto demuestra que la intersección de una familia de ultrafiltros no necesita ser ultra. Una familia de conjuntos se puede extender a un ultrafiltro libre si y solo si la intersección de cualquier familia finita de elementos de es infinita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Relaciones con otras declaraciones bajo ZF

A lo largo de esta sección, ZF se refiere a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y ZFC se refiere a ZF con el axioma de elección ( AC ). El lema del ultrafiltro es independiente de ZF . Es decir, existen modelos en los que se cumplen los axiomas de ZF pero no el lema del ultrafiltro. También existen modelos de ZF en los que todo ultrafiltro es necesariamente principal.

Cada filtro que contiene un conjunto singleton es necesariamente un ultrafiltro y dada la definición del ultrafiltro discreto no requiere más que ZF . Si es finito entonces cada ultrafiltro es un filtro discreto en un punto; en consecuencia, los ultrafiltros libres solo pueden existir en conjuntos infinitos. En particular, si es finito entonces el lema del ultrafiltro puede probarse a partir de los axiomas ZF . La existencia de ultrafiltros libres en conjuntos infinitos puede probarse si se supone el axioma de elección. Más generalmente, el lema del ultrafiltro puede probarse utilizando el axioma de elección , que en breve establece que cualquier producto cartesiano de conjuntos no vacíos es no vacío. Bajo ZF , el axioma de elección es, en particular, equivalente a (a) el lema de Zorn , (b) el teorema de Tichonoff , (c) la forma débil del teorema de la base vectorial (que establece que todo espacio vectorial tiene una base ), (d) la forma fuerte del teorema de la base vectorial y otras afirmaciones. Sin embargo, el lema del ultrafiltro es estrictamente más débil que el axioma de elección. Si bien se puede demostrar que existen ultrafiltros libres, no es posible construir un ejemplo explícito de un ultrafiltro libre (usando solo ZF y el lema del ultrafiltro); es decir, los ultrafiltros libres son intangibles. ^[16] Alfred Tarski demostró que bajo ZFC , la cardinalidad del conjunto de todos los ultrafiltros libres en un conjunto infinito es igual a la cardinalidad de donde denota el conjunto potencia de ^[17] Otros autores atribuyen este descubrimiento a Bedřich Pospíšil (siguiendo un argumento combinatorio de Fichtenholz y Kantorovitch , mejorado por Hausdorff ). ^{[18] [19]} ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$

Bajo ZF , el axioma de elección puede usarse para probar tanto el lema del ultrafiltro como el teorema de Kerin-Milman ; a la inversa, bajo ZF , el lema del ultrafiltro junto con el teorema de Kerin-Milman pueden probar el axioma de elección. ^[20]

Afirmaciones que no se pueden deducir

El lema del ultrafiltro es un axioma relativamente débil. Por ejemplo, cada una de las afirmaciones de la siguiente lista no se puede deducir de ZF junto con el lema del ultrafiltro únicamente :

1. Una unión contable de conjuntos contables es un conjunto contable.
2. El axioma de elección contable ( ACC ).
3. El axioma de elección dependiente ( ADC ).

Declaraciones equivalentes

Bajo ZF , el lema del ultrafiltro es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones: ^[21]

1. Teorema del ideal primo de Boole ( BPIT ).
2. Teorema de representación de Stone para álgebras de Boole .
3. Cualquier producto de espacios booleanos es un espacio booleano. ^[22]
4. Teorema de existencia del ideal primo de Boole: Toda álgebra de Boole no degenerada tiene un ideal primo. ^[23]
5. Teorema de Tichonoff para espacios de Hausdorff : Cualquier producto de espacios de Hausdorff compactos es compacto. ^[22]
6. Si está dotado de la topología discreta entonces para cualquier conjunto el espacio producto es compacto . ^[22] ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{I}}$
7. Cada una de las siguientes versiones del teorema de Banach-Alaoglu es equivalente al lema del ultrafiltro:
   1. Cualquier conjunto equicontinuo de mapas de valores escalares en un espacio vectorial topológico (TVS) es relativamente compacto en la topología débil-* (es decir, está contenido en algún conjunto compacto débil-*). ^[24]
   2. El polar de cualquier vecindario del origen en un TVS es un subconjunto débilmente compacto de su espacio dual continuo . ^[24] ${\displaystyle X}$
   3. La bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo de cualquier espacio normado es débilmente compacta. ^[24]
      • Si el espacio normado es separable, entonces el lema del ultrafiltro es suficiente pero no necesario para demostrar esta afirmación.
8. Un espacio topológico es compacto si cada ultrafiltro en él converge a algún límite. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
9. Un espacio topológico es compacto si y sólo si cada ultrafiltro en él converge a algún límite. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
   • La adición de las palabras "y sólo si" es la única diferencia entre esta afirmación y la que aparece inmediatamente anterior.
10. El teorema de la subbase de Alexander . ^{[26] [27]}
11. El lema de Ultranet: Cada red tiene una subred universal. ^[27]
    • Por definición, una red en se denomina ultrared o red universal si para cada subconjunto la red está eventualmente en o en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$
12. Un espacio topológico es compacto si y sólo si cada ultrared en él converge a algún límite. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
    • Si se eliminan las palabras "y sólo si", la declaración resultante sigue siendo equivalente al lema del ultrafiltro. ^[25]
13. Un espacio de convergencia es compacto si cada ultrafiltro en él converge. ^[25] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
14. Un espacio uniforme es compacto si es completo y totalmente acotado . ^[25]
15. El teorema de compactación de Stone-Čech . ^[22]
16. Cada una de las siguientes versiones del teorema de compacidad es equivalente al lema del ultrafiltro:
    1. Si es un conjunto de oraciones de primer orden tales que cada subconjunto finito de tiene un modelo , entonces tiene un modelo. ^[28] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$
    2. Si es un conjunto de oraciones de orden cero tales que cada subconjunto finito de tiene un modelo, entonces tiene un modelo. ^[28] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$
17. El teorema de completitud : si es un conjunto de oraciones de orden cero que es sintácticamente consistente, entonces tiene un modelo (es decir, es semánticamente consistente). ${\displaystyle \Sigma }$

Declaraciones más débiles

Cualquier enunciado que pueda deducirse del lema del ultrafiltro (junto con ZF ) se dice que es más débil que el lema del ultrafiltro. Se dice que un enunciado más débil es estrictamente más débil si, según ZF , no es equivalente al lema del ultrafiltro. Según ZF , el lema del ultrafiltro implica cada uno de los siguientes enunciados:

1. El axioma de elección para conjuntos finitos ( ACF ): Dados una familia de conjuntos finitos no vacíos , su producto no es vacío. ^[27] ${\displaystyle I\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i}}$
2. Una unión contable de conjuntos finitos es un conjunto contable.
   • Sin embargo, la ZF con el lema del ultrafiltro es demasiado débil para demostrar que una unión contable de conjuntos contables es un conjunto contable.
3. El teorema de Hahn-Banach . ^[27]
   • En ZF , el teorema de Hahn-Banach es estrictamente más débil que el lema del ultrafiltro.
4. La paradoja de Banach-Tarski .
   • De hecho, bajo ZF , la paradoja de Banach-Tarski se puede deducir del teorema de Hahn-Banach , ^{[29] [30]} que es estrictamente más débil que el Lema del Ultrafiltro.
5. Cada conjunto puede ordenarse linealmente .
6. Cada campo tiene un cierre algebraico único .
7. Existen ultraproductos no triviales .
8. El teorema del ultrafiltro débil: existe un ultrafiltro libre en ${\displaystyle \mathbb {N} .}$
   • Según ZF , el teorema del ultrafiltro débil no implica el lema del ultrafiltro; es decir, es estrictamente más débil que el lema del ultrafiltro.
9. Existe un ultrafiltro libre en cada conjunto infinito;
   • Esta afirmación es en realidad estrictamente más débil que el lema del ultrafiltro.
   • La ZF por sí sola ni siquiera implica que exista un ultrafiltro no principal en algún conjunto.

Lo completo

La completitud de un ultrafiltro en un conjunto potencia es el cardinal más pequeño κ tal que hay κ elementos de cuya intersección no está en La definición de un ultrafiltro implica que la completitud de cualquier ultrafiltro de conjunto potencia es al menos . Un ultrafiltro cuya completitud es mayor que —es decir, la intersección de cualquier colección contable de elementos de todavía está en —se llama contablemente completo o σ-completo . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

La completitud de un ultrafiltro no principal contablemente completo en un conjunto potencia es siempre un cardinal medible . ^{[ cita requerida ]}

Realizar pedidos en ultrafiltros

ElEl ordenamiento de Rudin-Keisler (llamado así porMary Ellen RudinyHoward Jerome Keisler) es unpreordenen la clase de ultrafiltros de conjuntos de potencia definidos de la siguiente manera: sies un ultrafiltro enyun ultrafiltro enentoncessi existe una funcióntal que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \wp (Y),}$ ${\displaystyle V\leq {}_{RK}U}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle C\in V}$Si y sólo si ${\displaystyle f^{-1}[C]\in U}$

para cada subconjunto ${\displaystyle C\subseteq Y.}$

Los ultrafiltros se denominan ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$Equivalente de Rudin-Keisler , denotado U ≡ _RK V , si existen conjuntosyy unabiyecciónque satisface la condición anterior. (Siytienen la misma cardinalidad, la definición se puede simplificar fijando) ${\displaystyle A\in U}$ ${\displaystyle B\in V}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A=X,}$ ${\displaystyle B=Y.}$

Se sabe que ≡ _RK es el núcleo de ≤ _RK , es decir, que U ≡ _RK V si y sólo si y ^[31] ${\displaystyle U\leq {}_{RK}V}$ ${\displaystyle V\leq {}_{RK}U.}$

Ultrafiltros en ℘(ω)

Hay varias propiedades especiales que un ultrafiltro en donde se extienden los números naturales , puede poseer, que resultan útiles en varias áreas de la teoría de conjuntos y la topología. ${\displaystyle \wp (\omega ),}$ ${\displaystyle \omega }$

• Un ultrafiltro no principal se llama punto P (o ${\displaystyle U}$débilmente selectivo ) si para cadapartición detal que para todosexiste algúntal quees un conjunto finito para cada ${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n<\omega ,}$ ${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$ ${\displaystyle A\in U}$ ${\displaystyle A\cap C_{n}}$ ${\displaystyle n.}$
• Un ultrafiltro no principal se llama Ramsey (o selectivo ) si para cada partición de tal que para todos existe algún tal que es un conjunto singleton para cada ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n<\omega ,}$ ${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$ ${\displaystyle A\in U}$ ${\displaystyle A\cap C_{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Es una observación trivial que todos los ultrafiltros de Ramsey son puntos P. Walter Rudin demostró que la hipótesis del continuo implica la existencia de ultrafiltros de Ramsey. ^[32] De hecho, muchas hipótesis implican la existencia de ultrafiltros de Ramsey, incluido el axioma de Martin . Saharon Shelah demostró más tarde que es consistente que no haya ultrafiltros de puntos P. ^[33] Por lo tanto, la existencia de estos tipos de ultrafiltros es independiente de ZFC .

Los puntos P se denominan así porque son puntos P topológicos en la topología habitual del espacio βω \ ω de ultrafiltros no principales. El nombre Ramsey proviene del teorema de Ramsey . Para ver por qué, se puede demostrar que un ultrafiltro es Ramsey si y solo si para cada 2-coloración de existe un elemento del ultrafiltro que tiene un color homogéneo. ${\displaystyle [\omega ]^{2}}$

Un ultrafiltro es Ramsey si y solo si es mínimo en el ordenamiento de Rudin-Keisler de ultrafiltros de conjuntos de potencias no principales. ^[34] ${\displaystyle \wp (\omega )}$

Véase también

• Extensor (teoría de conjuntos)  : en teoría de conjuntos, un sistema de ultrafiltros que representa una incrustación elemental que atestigua grandes propiedades cardinales.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Filtro (matemáticas)  – En matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado.
• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Teorema de Łoś  – Construcción matemáticaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ultrafiltro  – Filtro máximo adecuado
• Red universal  : una generalización de una secuencia de puntosPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Las propiedades 1 y 3 implican que y no pueden ser ambos elementos de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle U.}$
2. Sea un filtro sobre que no es un ultrafiltro. Si es tal que entonces tiene la propiedad de intersección finita (porque si entonces si y solo si ) de modo que por el lema del ultrafiltro, existe algún ultrafiltro sobre tal que (por lo que en particular ). Se sigue que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\cap (X\setminus S)=\varnothing }$ ${\displaystyle F\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus S\}\cup {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle S\not \in {\mathcal {U}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\bigcap _{S\subseteq X,S\not \in {\mathcal {F}}}{\mathcal {U}}_{S}.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Pruebas

1. Supongamos que la subbase del filtro es ultra. Sea y definamos Como es ultra, existe algún tal que sea igual o La propiedad de intersección finita implica que entonces necesariamente es equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C,D\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S=C\cap D.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle B\cap S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle B\cap S=B,}$ ${\displaystyle B\subseteq C\cap D.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

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Lectura adicional

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• Comfort, WW; Negrepontis, S. (1974), La teoría de los ultrafiltros , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ultrafiltro en el laboratorio n