Subbase

Colección de subconjuntos que generan una topología.

En topología , una subbase (o subbase , prebase , prebasis ) para un espacio topológico con topología es una subcolección que genera en el sentido de que es la topología más pequeña que contiene conjuntos abiertos. Algunos autores utilizan una definición ligeramente diferente y existen otras formulaciones equivalentes útiles de la definición; estos se analizan a continuación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$

Definición

Sea un espacio topológico con topología. Una subbase de generalmente se define como una subcolección que satisface una de las dos condiciones equivalentes siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau }$

1. La subcolección genera la topología. Esto significa que es la topología más pequeña que contiene : cualquier topología que contenga también debe contener ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau ^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau .}$
2. La colección de conjuntos abiertos que consta de todas las intersecciones finitas de elementos de junto con el conjunto forma una base para ^[1] Esto significa que cada conjunto abierto adecuado en puede escribirse como una unión de intersecciones finitas de elementos de Explícitamente, dado un punto en En un conjunto abierto hay un número finito de conjuntos tales que la intersección de estos conjuntos contiene y está contenida en ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\subsetneq X,}$ ${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U.}$

(Si utilizamos la convención de intersección nula , entonces no es necesario incluirla en la segunda definición). ${\displaystyle X}$

Para cualquier subcolección del conjunto de potencia existe una topología única que tiene como subbase. En particular, la intersección de todas las topologías en la contención satisface esta condición. Sin embargo, en general no existe una subbase única para una topología determinada. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

Por lo tanto, podemos comenzar con una topología fija y encontrar subbases para esa topología, y también podemos comenzar con una subcolección arbitraria del conjunto de potencias y formar la topología generada por esa subcolección. Podemos utilizar libremente cualquiera de las definiciones equivalentes anteriores; de hecho, en muchos casos, una de las dos condiciones es más útil que la otra. ${\displaystyle \wp (X)}$

Definición alternativa

Con menos frecuencia, se da una definición ligeramente diferente de subbase que requiere que la subbase cubra ^[2] . En este caso, es la unión de todos los conjuntos contenidos en Esto significa que no puede haber confusión con respecto al uso de intersecciones nulas en la definición. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Sin embargo, esta definición no siempre es equivalente a las dos definiciones anteriores. Existen espacios topológicos con subcolecciones de la topología tales que la topología más pequeña que contiene , pero no cubre . (Al final de la siguiente sección se ofrece un ejemplo). En la práctica, esto es algo poco común. Por ejemplo, una subbase de un espacio que tiene al menos dos puntos y satisface el axioma de separación T 1 debe ser una cubierta de ese espacio. Pero como se ve a continuación, para demostrar el teorema de la subbase de Alexander , ^[3] se debe suponer que cubre ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

La topología generada por cualquier subconjunto (incluido el conjunto vacío ) es igual a la topología trivial ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\varnothing }$ ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}.}$

Si es una topología y es una base para entonces la topología generada por es Por lo tanto, cualquier base para una topología también es una subbase para Si es cualquier subconjunto de entonces la topología generada por será un subconjunto de ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \tau .}$

La topología habitual de los números reales tiene una subbase que consta de todos los intervalos abiertos semiinfinitos de la forma o donde y son números reales. Juntos, estos generan la topología habitual, ya que las intersecciones para generan la topología habitual. Una segunda subbase se forma tomando la subfamilia donde y son racionales . La segunda subbase también genera la topología habitual, ya que los intervalos abiertos con racional son una base para la topología euclidiana habitual. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle (b,\infty ),}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$

La subbase que consta de todos los intervalos abiertos semiinfinitos de la forma sola, donde es un número real, no genera la topología habitual. La topología resultante no satisface el axioma de separación T 1 , ya que si todo conjunto abierto que contiene también contiene ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a.}$

La topología inicial definida por una familia de funciones donde cada una tiene una topología, es la topología más gruesa tal que cada una es continua . Debido a que la continuidad se puede definir en términos de imágenes inversas de conjuntos abiertos, esto significa que la topología inicial de está dada tomando todos los rangos de donde sobre todos los subconjuntos abiertos de como una subbase. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y_{i},}$

Dos casos especiales importantes de la topología inicial son la topología del producto , donde la familia de funciones es el conjunto de proyecciones del producto a cada factor, y la topología subespacial , donde la familia consta de una sola función, el mapa de inclusión .

La topología compacta-abierta en el espacio de funciones continuas desde hasta tiene como subbase el conjunto de funciones ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}}$$

compacto ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y.}$

Supongamos que es un espacio topológico de Hausdorff que contiene dos o más elementos (por ejemplo, con la topología euclidiana ). Sea cualquier subconjunto abierto no vacío de (por ejemplo, podría ser un intervalo abierto acotado no vacío en ) y denotemos la topología del subespacio que hereda de (so ). Entonces la topología generada por on es igual a la unión (consulte la nota al pie para obtener una explicación), ^{[nota 1]} donde (dado que es Hausdorff, la igualdad se cumplirá si y solo si ). Tenga en cuenta que si es un subconjunto adecuado de entonces es la topología más pequeña que contiene pero no cubre (es decir, la unión es un subconjunto adecuado de ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y\in \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \nu \subseteq \tau }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu \subseteq \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{V\in \nu }V=Y}$ ${\displaystyle X}$

Resultados utilizando subbases

Un hecho interesante sobre las subbases es que la continuidad de una función sólo necesita comprobarse en una subbase del rango. Es decir, si es un mapa entre espacios topológicos y si es una subbase para entonces es continua si y solo si está abierta para cada Una red (o secuencia ) converge a un punto si y solo si cada vecindad subbásica de contiene todo para suficientemente largo ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Teorema de la subbase de Alexander

El teorema de las subbases de Alexander es un resultado significativo sobre las subbases que se debe a James Waddell Alexander II . ^[3] El resultado correspondiente para cubiertas abiertas básicas (en lugar de subbásicas) es mucho más fácil de probar.

Teorema de la subbase de Alexander : ^{[3] [1]} Sea un espacio topológico. Si tiene una subbase tal que cada cobertura de por elementos tiene una subcobertura finita, entonces es compacto . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$

Lo contrario de este teorema también se cumple y se demuestra mediante el uso (ya que cada topología es una subbase en sí misma). ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\tau }$

Si es compacto y es una subbase para cada cobertura de elementos de tiene una subcobertura finita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Aunque esta prueba hace uso del Lema de Zorn , la prueba no necesita toda la fuerza de elección. En cambio, se basa en el principio intermedio de Ultrafiltro . ^[3]

Usando este teorema con la subbase anterior, se puede demostrar muy fácilmente que los intervalos cerrados acotados son compactos. De manera más general, el teorema de Tychonoff , que establece que el producto de espacios compactos no vacíos es compacto, tiene una prueba breve si se utiliza el teorema de la subbase de Alexander. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ver también

• Base (topología)  : colección de conjuntos abiertos utilizados para definir una topología.

Notas

1. Dado que es una topología y es un subconjunto abierto de , es fácil verificar que es una topología . En particular, está cerrado bajo uniones e intersecciones finitas porque es. Pero dado que , no es una topología en an , es claramente la topología más pequeña que contiene ). ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X\not \in \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nu }$

Citas

1. Rudin 1991, pág. 392 Apéndice A2.
2. Munkres 2000, págs.82.
3. Muger, Michael (2020). Topología para el matemático que trabaja .

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.