Base (topología)

Colección de conjuntos abiertos utilizados para definir una topología.

En matemáticas , una base (o base ; pl.: bases ) para la topología τ de un espacio topológico ( X , τ) es una familia de subconjuntos abiertos de X tales que cada conjunto abierto de la topología es igual a la unión de algunos subfamilia de . Por ejemplo, el conjunto de todos los intervalos abiertos en la recta numérica real es una base para la topología euclidiana porque cada intervalo abierto es un conjunto abierto y también cada subconjunto abierto de puede escribirse como una unión de alguna familia de intervalos abiertos. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Las bases son omnipresentes en toda la topología. Los conjuntos en una base para una topología, que se denominan conjuntos abiertos básicos , suelen ser más fáciles de describir y utilizar que los conjuntos abiertos arbitrarios. ^[1] Muchas definiciones topológicas importantes, como la continuidad y la convergencia , se pueden comprobar utilizando únicamente conjuntos abiertos básicos en lugar de conjuntos abiertos arbitrarios. Algunas topologías tienen una base de conjuntos abiertos con propiedades útiles específicas que pueden facilitar la verificación de dichas definiciones topológicas.

No todas las familias de subconjuntos de un conjunto forman una base para una topología . Bajo algunas condiciones que se detallan a continuación, una familia de subconjuntos formará la base para una topología (única) en , obtenida tomando todas las uniones posibles de subfamilias. Estas familias de conjuntos se utilizan con mucha frecuencia para definir topologías. Una noción más débil relacionada con las bases es la de subbase para una topología. Las bases de las topologías también están estrechamente relacionadas con las bases de vecindad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definición y propiedades básicas.

Dado un espacio topológico , una base ^[2] (o base ^[3] ) para la topología (también llamada base para si se entiende la topología) es una familia de conjuntos abiertos tal que cada conjunto abierto de la topología se puede representar como la unión de alguna subfamilia de . ^{[nota 1]} Los elementos de se denominan conjuntos abiertos básicos . De manera equivalente, una familia de subconjuntos de es una base para la topología si y sólo si y para cada conjunto abierto en un punto existe algún conjunto abierto básico tal que . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U}$

Por ejemplo, la colección de todos los intervalos abiertos en la línea real forma una base para la topología estándar de los números reales. De manera más general, en un espacio métrico, la colección de todas las bolas abiertas alrededor de puntos de forma una base para la topología. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

En general, un espacio topológico puede tener muchas bases. Toda la topología es siempre una base para sí misma (es decir, es una base para ). Para la línea real, la colección de todos los intervalos abiertos es la base de la topología. También lo es la colección de todos los intervalos abiertos con puntos finales racionales, o la colección de todos los intervalos abiertos con puntos finales irracionales, por ejemplo. Tenga en cuenta que dos bases diferentes no necesitan tener ningún conjunto abierto básico en común. Una de las propiedades topológicas de un espacio es la cardinalidad mínima de una base para su topología, llamada peso de y denotado . De los ejemplos anteriores, la línea real tiene un peso contable. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)}$

Si es una base para la topología de un espacio , satisface las siguientes propiedades: ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

(B1) Los elementos de cobertura , es decir, cada punto pertenece a algún elemento de . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(B2) Para todos y cada uno de los puntos , existe alguno que . ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$

La propiedad (B1) corresponde a que es un conjunto abierto; La propiedad (B2) corresponde a que es un conjunto abierto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$

Por el contrario, supongamos que es simplemente un conjunto sin topología alguna y que es una familia de subconjuntos de propiedades satisfactorias (B1) y (B2). Entonces es una base para la topología que genera. Más precisamente, sea la familia de todos los subconjuntos de que son uniones de subfamilias de Entonces es una topología y es una base para . ^[5] (Sketch: define una topología porque es estable bajo uniones arbitrarias por construcción, es estable bajo intersecciones finitas por (B2), contiene por (B1), y contiene el conjunto vacío como unión de la subfamilia vacía ( La familia es entonces una base para la construcción.) Estas familias de conjuntos son una forma muy común de definir una topología. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

En general, si es un conjunto y es una colección arbitraria de subconjuntos de , existe una topología más pequeña (única) al contener . (Esta topología es la intersección de todas las topologías que contienen ). La topología se denomina topología generada por y se denomina subbase para . La topología también se puede caracterizar como el conjunto de todas las uniones arbitrarias de intersecciones finitas de elementos de . (Ver el artículo sobre subbase .) Ahora bien, si también satisface las propiedades (B1) y (B2), la topología generada por se puede describir de una manera más sencilla sin tener que tomar intersecciones: es el conjunto de todas las uniones de elementos de (y es base para en ese caso). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

A menudo existe una forma sencilla de comprobar el estado (B2). Si la intersección de dos elementos cualesquiera de es en sí misma un elemento de o está vacía, entonces la condición (B2) se cumple automáticamente (tomando ). Por ejemplo, la topología euclidiana en el plano admite como base el conjunto de todos los rectángulos abiertos con lados horizontales y verticales, y una intersección no vacía de dos de esos conjuntos abiertos básicos también es un conjunto abierto básico. Pero otra base para la misma topología es la colección de todos los discos abiertos; y aquí es necesaria la condición completa (B2). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$

Un ejemplo de una colección de conjuntos abiertos que no es una base es el conjunto de todos los intervalos semiinfinitos de las formas y con . La topología generada por contiene todos los intervalos abiertos , por lo tanto genera la topología estándar en la línea real. Pero es sólo una subbase para la topología, no una base: un intervalo abierto finito no contiene ningún elemento de (de manera equivalente, la propiedad (B2) no se cumple). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle (a,\infty )}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

El conjunto Γ de todos los intervalos abiertos forma una base para la topología euclidiana en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una familia no vacía de subconjuntos de un conjunto X que está cerrada bajo intersecciones finitas de dos o más conjuntos, que se denomina sistema π en X , es necesariamente una base para una topología en X si y solo si cubre X. Por definición, cada σ-álgebra , cada filtro (y, por tanto, en particular, cada filtro de vecindad ) y cada topología es un π -sistema de cobertura y, por tanto, también una base para una topología. De hecho, si Γ es un filtro en X entonces { ∅ } ∪ Γ es una topología en X y Γ es una base para ella. Una base para una topología no tiene por qué estar cerrada bajo intersecciones finitas y muchas no lo están. Sin embargo, muchas topologías están definidas por bases que también están cerradas bajo intersecciones finitas. Por ejemplo, cada una de las siguientes familias de subconjuntos de está cerrada bajo intersecciones finitas y, por lo tanto, cada una forma una base para alguna topología en : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El conjunto Γ de todos los intervalos abiertos acotados genera la topología euclidiana habitual en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El conjunto Σ de todos los intervalos cerrados acotados genera la topología discreta y , por lo tanto, la topología euclidiana es un subconjunto de esta topología. Esto a pesar del hecho de que Γ no es un subconjunto de Σ . En consecuencia, la topología generada por Γ , que es la topología euclidiana en , es más burda que la topología generada por Σ . De hecho, es estrictamente más burdo porque Σ contiene conjuntos compactos no vacíos que nunca están abiertos en la topología euclidiana. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El conjunto Γ _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$} de todos los intervalos en Γ tal que ambos puntos finales del intervalo sean números racionales genera la misma topología que Γ . Esto sigue siendo cierto si cada instancia del símbolo Γ se reemplaza por Σ .
• Σ _∞ = { [ r , ∞) : r ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ genera una topología que es estrictamente más burda que la topología generada por Σ . Ningún elemento de Σ _∞ está abierto en la topología euclidiana en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Γ _∞ = { ( r , ∞ ) : r ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ genera una topología que es estrictamente más burda que la topología euclidiana y la topología generada por Σ _∞ . Los conjuntos Σ _∞ y Γ _∞ son disjuntos, pero sin embargo Γ _∞ es un subconjunto de la topología generada por Σ _∞ .

Objetos definidos en términos de bases.

• La topología de orden en un conjunto totalmente ordenado admite como base una colección de conjuntos tipo intervalo abierto.
• En un espacio métrico, la colección de todas las bolas abiertas forma una base para la topología.
• La topología discreta tiene como base la colección de todos los singleton .
• Un segundo espacio contable es aquel que tiene una base contable .

La topología de Zariski en el espectro de un anillo tiene una base que consta de conjuntos abiertos que tienen propiedades útiles específicas. Para la base habitual de esta topología, cada intersección finita de conjuntos abiertos básicos es un conjunto abierto básico.

• La topología de Zariski es la topología que tiene los conjuntos algebraicos como conjuntos cerrados. Tiene una base formada por el conjunto complementos de hipersuperficies algebraicas . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• La topología de Zariski del espectro de un anillo (el conjunto de los ideales primos ) tiene una base tal que cada elemento consta de todos los ideales primos que no contienen un elemento determinado del anillo.

Teoremas

• Una topología es mejor que una topología si y sólo si para todos y cada uno de los conjuntos abiertos básicos de contención , existe un conjunto abierto básico de contención y contenido en . ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$
• Si hay bases para las topologías, entonces la colección de todos los productos establecidos con cada uno es una base para la topología del producto . En el caso de un producto infinito, esto aún se aplica, excepto que todos los elementos base, excepto un número finito, deben ser el espacio completo. ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$ ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$ ${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$ ${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$
• Sea una base para y sea un subespacio de . Entonces, si intersectamos cada elemento de con , la colección de conjuntos resultante es una base para el subespacio . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
• Si una función asigna cada conjunto abierto básico de a un conjunto abierto de , es un mapa abierto . De manera similar, si cada preimagen de un conjunto abierto básico de está abierta en , entonces es continua . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base para un espacio topológico si y sólo si la subcolección de elementos que la contienen forman una base local en , para cualquier punto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$

Base para los decorados cerrados.

Los conjuntos cerrados son igualmente hábiles a la hora de describir la topología de un espacio. Existe, por tanto, una noción dual de base para los conjuntos cerrados de un espacio topológico. Dado un espacio topológico, una familia de conjuntos cerrados forma una base para los conjuntos cerrados si y sólo si para cada conjunto cerrado y cada punto que no existe existe un elemento que contiene pero no contiene. Una familia es una base para los conjuntos cerrados de si y sólo si su dual es la familia de complementos de miembros de , es una base para los conjuntos abiertos de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

Sea una base para los conjuntos cerrados de Entonces ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. Para cada uno, la unión es la intersección de alguna subfamilia de (es decir, para cualquiera que no esté , hay algo que contiene y que no contiene ). ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle C_{1}{\text{ or }}C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle x}$

Cualquier colección de subconjuntos de un conjunto que satisfaga estas propiedades forma una base para los conjuntos cerrados de una topología. Los conjuntos cerrados de esta topología son precisamente las intersecciones de miembros de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

En algunos casos es más conveniente utilizar una base para los conjuntos cerrados que para los abiertos. Por ejemplo, un espacio es completamente regular si y sólo si los conjuntos cero forman una base para los conjuntos cerrados. Dado cualquier espacio topológico, los conjuntos de ceros forman la base para los conjuntos cerrados de alguna topología. Esta topología será la topología completamente regular más fina y más basta que la original. De manera similar, la topología de Zariski en An ^se define tomando los conjuntos cero de funciones polinómicas como base para los conjuntos cerrados. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Peso y carácter

Trabajaremos con nociones establecidas en (Engelking 1989, p. 12, pp. 127-128).

Arreglar X un espacio topológico. Aquí, una red es una familia de conjuntos, para los cuales, para todos los puntos x y vecindades abiertas U que contienen x , existe B en para el cual . Tenga en cuenta que, a diferencia de una base, los conjuntos en una red no necesitan ser abiertos. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$

Definimos el peso , w ( X ), como la cardinalidad mínima de una base; definimos el peso de la red , nw ( X ), como la cardinalidad mínima de una red; el carácter de un punto , como cardinalidad mínima de una base de vecindad para x en X ; y el carácter de X será ${\displaystyle \chi (x,X),}$

$${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

El objetivo de calcular el carácter y el peso es poder decir qué tipo de bases y bases locales pueden existir. Tenemos los siguientes hechos:

• nortew ( X ) ≤ w ( X ).
• si X es discreto, entonces w ( X ) = nw ( X ) = | X |.
• si X es Hausdorff, entonces nw ( X ) es finito si y sólo si X es finito discreto.
• si B es una base de X entonces hay una base de tamaño ${\displaystyle B'\subseteq B}$ ${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• si N es una base de vecindad para x en X entonces hay una base de vecindad del tamaño ${\displaystyle N'\subseteq N}$ ${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• si es una sobreyección continua, entonces nw ( Y ) ≤ w ( X ). (Simplemente considere la red Y para cada base B de X ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f'''B\triangleq \{f''U:U\in B\}}$
• Si es Hausdorff, entonces existe una topología de Hausdorff más débil , de modo que , a fortiori , si X también es compacto, entonces tales topologías coinciden y, por lo tanto, tenemos, combinado con el primer hecho, nw ( X ) = w ( X ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ')}$ ${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$
• si un mapa sobreyectivo continuo de un espacio metrizable compacto a un espacio de Hausdorff, entonces Y es metrizable compacto. ${\displaystyle f:X\to Y}$

El último hecho se deriva de que f ( X ) es compacto de Hausdorff y, por lo tanto (dado que los espacios metrizables compactos son necesariamente contables en segundo lugar); así como el hecho de que los espacios compactos de Hausdorff son metrizables exactamente en caso de que sean contables en segundo lugar. (Una aplicación de esto, por ejemplo, es que cada camino en un espacio de Hausdorff es metrizable de forma compacta). ${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$

Cadenas crecientes de conjuntos abiertos.

Usando la notación anterior, supongamos que w ( X ) ≤ κ algún cardinal infinito. Entonces no existe una secuencia estrictamente creciente de conjuntos abiertos (una secuencia equivalentemente estrictamente decreciente de conjuntos cerrados) de longitud ≥ κ ⁺ .

Para ver esto (sin el axioma de elección), corrija

$${\displaystyle \left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },}$$

por contra

$${\displaystyle \left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}}$$

$${\displaystyle \forall \alpha <\kappa ^{+}:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .}$$

Para

$${\displaystyle x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },}$$

de U _γxU _γV _αfκ ⁺καγU _γV _α

$${\displaystyle V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.}$$

Este mapa es inyectivo, de lo contrario habría α < β con f ( α ) = f ( β ) = γ , lo que implicaría además U _γ ⊆ V _α pero también cumple

$${\displaystyle V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },}$$

κ ⁺κ

Ver también

• Teorema de Esenin-Volpin
• axioma de pegado
• Sistema de barrio

Notas

1. El conjunto vacío , que siempre está abierto, es la unión de la familia vacía.

Referencias

1. Adams y Franzosa 2009, págs. 46–56.
2. Willard 2004, Definición 5.1; Engelking 1989, pág. 12; Bourbaki 1989, Definición 6, pág. 21; Arkhangel'skii y Ponomarev 1984, pág. 40.
3. Dugundji 1966, Definición 2.1, p. 64.
4. Willard 2004, Teorema 5.3; Engelking 1989, pág. 12.
5. Willard 2004, Teorema 5.3; Engelking 1989, Proposición 1.2.1.

Bibliografía

• Adams, Colin ; Franzosa, Robert (2009). Introducción a la topología: pura y aplicada . Nueva Delhi: Educación Pearson. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC  789880519.
• Arkhangel'skii, AV; Ponomarev, VI (1984). Fundamentos de topología general: problemas y ejercicios . Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 13. Traducido del ruso por VK Jain. Dordrecht: Editorial D. Reidel. Zbl  0568.54001.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Berlín: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.