Comparación de topologías

ejercicio matematico

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el conjunto de todas las topologías posibles en un conjunto dado forma un conjunto parcialmente ordenado . Esta relación de orden se puede utilizar para comparar las topologías .

Definición

Una topología de un conjunto puede definirse como la colección de subconjuntos que se consideran "abiertos". (Una definición alternativa es que es la colección de subconjuntos que se consideran "cerrados". Estas dos formas de definir la topología son esencialmente equivalentes porque el complemento de un conjunto abierto es cerrado y viceversa. A continuación, no importa qué definición se utilice.)

Para ser más precisos, el lector debería pensar en una topología como la familia de conjuntos abiertos de un espacio topológico, ya que ese es el significado estándar de la palabra "topología".

Sean τ ₁ y τ ₂ dos topologías en un conjunto X tal que τ ₁ está contenido en τ ₂ :

${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$.

Es decir, todo elemento de τ ₁ es también un elemento de τ ₂ . Entonces se dice que la topología τ ₁ es una topología más burda ( más débil o más pequeña ) que τ ₂ , y se dice que τ ₂ es una topología más fina ( más fuerte o más grande ) que τ ₁ .^{[nota 1]}

si además

${\displaystyle \tau _{1}\neq \tau _{2}}$

decimos que τ ₁ es estrictamente más grueso que τ ₂ y τ ₂ es estrictamente más fino que τ ₁ . ^[1]

La relación binaria ⊆ define una relación de ordenamiento parcial en el conjunto de todas las topologías posibles en X.

Ejemplos

La topología más fina en X es la topología discreta ; esta topología hace que todos los subconjuntos estén abiertos. La topología más burda en X es la topología trivial ; esta topología sólo admite el conjunto vacío y el espacio completo como conjuntos abiertos.

En espacios funcionales y espacios de medidas a menudo hay varias topologías posibles. Consulte las topologías del conjunto de operadores en un espacio de Hilbert para conocer algunas relaciones complejas.

Todas las topologías polares posibles en un par dual son más finas que la topología débil y más bastas que la topología fuerte .

El espacio vectorial complejo C ⁿ puede estar equipado con su topología habitual (euclidiana) o con su topología de Zariski . En este último, un subconjunto V de C ⁿ es cerrado si y sólo si consta de todas las soluciones de algún sistema de ecuaciones polinómicas. Dado que cualquier V también es un conjunto cerrado en el sentido ordinario, pero no al revés , la topología de Zariski es estrictamente más débil que la ordinaria.

Propiedades

Sean τ ₁ y τ ₂ dos topologías en un conjunto X . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• τ ₁ ⊆ τ ₂
• el mapa de identidad id _X  : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ ) es un mapa continuo .
• el mapa de identidad id _X  : ( X , τ ₁ ) → ( X , τ ₂ ) es un mapa fuerte/relativamente abierto .

(El mapa de identidad id _X es sobreyectivo y, por lo tanto, es fuertemente abierto si y sólo si es relativamente abierto).

Dos corolarios inmediatos de las declaraciones equivalentes anteriores son

• Un mapa continuo f  : X → Y permanece continuo si la topología en Y se vuelve más gruesa o la topología en X más fina .
• Un mapa abierto (o cerrado) f  : X → Y permanece abierto (o cerrado) si la topología en Y se vuelve más fina o la topología en X más gruesa .

También se pueden comparar topologías utilizando bases de vecindad . Sean τ ₁ y τ ₂ dos topologías en un conjunto X y sea B _i ( x ) una base local para la topología τ _i en x ∈ X para i = 1,2. Entonces τ ₁ ⊆ τ ₂ si y sólo si para todo x ∈ X , cada conjunto abierto U ₁ en B ₁ ( x ) contiene algún conjunto abierto U ₂ en B ₂ ( x ). Intuitivamente, esto tiene sentido: una topología más fina debería tener vecindades más pequeñas.

Celosía de topologías

El conjunto de todas las topologías en un conjunto X junto con la relación de ordenamiento parcial ⊆ forma una red completa que también está cerrada bajo intersecciones arbitrarias. ^[2] Es decir, cualquier colección de topologías en X tiene un encuentro (o infimum ) y una unión (o supremum ). El encuentro de una colección de topologías es la intersección de esas topologías. Sin embargo, la unión generalmente no es la unión de esas topologías (la unión de dos topologías no tiene por qué ser una topología) sino más bien la topología generada por la unión.

Cada red completa es también una red acotada , es decir que tiene un elemento mayor y menor . En el caso de las topologías, el elemento mayor es la topología discreta y el elemento menor es la topología trivial .

El entramado de topologías de un conjunto es un entramado complementado ; es decir, dada una topología, existe una topología tal que la intersección es la topología trivial y la topología generada por la unión es la topología discreta. ^{[3] [4]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau '}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \cap \tau '}$ ${\displaystyle \tau \cup \tau '}$

Si el conjunto tiene al menos tres elementos, la red de topologías no es modular , ^[5] y, por tanto, tampoco distributiva . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Topología inicial , la topología más aproximada de un conjunto para hacer que una familia de asignaciones de ese conjunto sea continua
• Topología final , la mejor topología de un conjunto para hacer que una familia de asignaciones en ese conjunto sea continua

Notas

1. Hay algunos autores, especialmente analistas , que utilizan los términos débil y fuerte con significados opuestos (Munkres, p. 78).

Referencias

1. Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . págs. 77–78. ISBN 0-13-181629-2.
2. Larson, Roland E.; Andima, Susan J. (1975). "El entramado de topologías: una encuesta". Revista de Matemáticas de las Montañas Rocosas . 5 (2): 177–198. doi : 10.1216/RMJ-1975-5-2-177 .
3. Steiner, Alaska (1966). "El entramado de topologías: estructura y complementación". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 122 (2): 379–398. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0190893-2 .
4. Van Rooij, ACM (1968). "Se complementa el entramado de todas las topologías". Revista Canadiense de Matemáticas . 20 : 805–807. doi : 10.4153/CJM-1968-079-9 .
5. Steiner 1966, Teorema 3.1.