En matemáticas , hay muchos sentidos en los que se dice que una secuencia o una serie es convergente. Este artículo describe varios modos (sentidos o especies) de convergencia en los contextos en los que se definen. Para obtener una lista de modos de convergencia , consulte Modos de convergencia (índice anotado)
Cada uno de los siguientes objetos es un caso especial de los tipos que lo preceden: conjuntos , espacios topológicos , espacios uniformes , grupos abelianos topológicos , espacios normados , espacios euclidianos y números reales/complejos. Además, cualquier espacio métrico es un espacio uniforme.
La convergencia se puede definir en términos de secuencias en espacios que no son numerables en primer lugar . Las redes son una generalización de secuencias que son útiles en espacios que no son numerables en primer lugar. Los filtros generalizan aún más el concepto de convergencia.
En los espacios métricos, se pueden definir sucesiones de Cauchy . Las redes y filtros de Cauchy son generalizaciones a espacios uniformes . De manera aún más general, los espacios de Cauchy son espacios en los que se pueden definir filtros de Cauchy. La convergencia implica "convergencia de Cauchy", y la convergencia de Cauchy, junto con la existencia de una subsucesión convergente, implica convergencia. El concepto de completitud de los espacios métricos y sus generalizaciones se define en términos de sucesiones de Cauchy.
En un grupo abeliano topológico , la convergencia de una serie se define como la convergencia de la secuencia de sumas parciales. Un concepto importante al considerar series es la convergencia incondicional , que garantiza que el límite de la serie sea invariante ante permutaciones de los sumandos.
En un espacio vectorial normado, se puede definir la convergencia absoluta como la convergencia de la serie ( ). La convergencia absoluta implica la convergencia de Cauchy de la secuencia de sumas parciales (por la desigualdad triangular ), que a su vez implica la convergencia absoluta de alguna agrupación (no reordenación). La secuencia de sumas parciales obtenida por agrupación es una subsecuencia de las sumas parciales de la serie original. La convergencia de cada serie absolutamente convergente es una condición equivalente para que un espacio vectorial normado sea de Banach (es decir: completo).
La convergencia absoluta y la convergencia juntas implican convergencia incondicional, pero la convergencia incondicional no implica convergencia absoluta en general, incluso si el espacio es Banach, aunque la implicación se cumple en .
El tipo más básico de convergencia para una secuencia de funciones (en particular, no supone ninguna estructura topológica en el dominio de las funciones) es la convergencia puntual . Se define como la convergencia de la secuencia de valores de las funciones en cada punto. Si las funciones toman sus valores en un espacio uniforme, entonces se puede definir la convergencia de Cauchy puntual, la convergencia uniforme y la convergencia de Cauchy uniforme de la secuencia.
La convergencia puntual implica convergencia puntual de Cauchy, y lo contrario se cumple si el espacio en el que las funciones toman sus valores es completo. La convergencia uniforme implica convergencia puntual y convergencia uniforme de Cauchy. La convergencia uniforme de Cauchy y la convergencia puntual de una subsucesión implican convergencia uniforme de la sucesión, y si el codominio es completo, entonces la convergencia uniforme de Cauchy implica convergencia uniforme.
Si el dominio de las funciones es un espacio topológico y el codominio es un espacio uniforme, se puede definir convergencia uniforme local (es decir, convergencia uniforme en un entorno de cada punto) y convergencia compacta (uniforme) (es decir, convergencia uniforme en todos los subconjuntos compactos ). "Convergencia compacta" siempre es la abreviatura de "convergencia uniforme compacta", ya que "convergencia puntual compacta" significaría lo mismo que "convergencia puntual" (los puntos siempre son compactos).
La convergencia uniforme implica tanto convergencia uniforme local como convergencia compacta, ya que ambas son nociones locales mientras que la convergencia uniforme es global. Si X es localmente compacto (incluso en el sentido más débil: cada punto tiene un vecindario compacto), entonces la convergencia uniforme local es equivalente a la convergencia compacta (uniforme). En términos generales, esto se debe a que "local" y "compacto" connotan lo mismo.
La convergencia puntual y uniforme de series de funciones se define en términos de la convergencia de la secuencia de sumas parciales.
Para las funciones que toman valores en un espacio lineal normado , la convergencia absoluta se refiere a la convergencia de la serie de funciones positivas de valor real . La "convergencia absoluta puntual" es entonces simplemente la convergencia puntual de .
La convergencia normal es la convergencia de la serie de números reales no negativos obtenida al tomar la norma uniforme (es decir, "sup") de cada función en la serie (convergencia uniforme de ). En los espacios de Banach , la convergencia absoluta puntual implica convergencia puntual, y la convergencia normal implica convergencia uniforme.
Para las funciones definidas en un espacio topológico, se puede definir (como se ha indicado anteriormente) convergencia uniforme local y convergencia compacta (uniforme) en términos de las sumas parciales de las series. Si, además, las funciones toman valores en un espacio lineal normalizado, se puede definir convergencia normal local (convergencia local, uniforme y absoluta) y convergencia normal compacta (convergencia absoluta en conjuntos compactos ).
La convergencia normal implica tanto convergencia normal local como convergencia normal compacta. Y si el dominio es localmente compacto (incluso en el sentido más débil), entonces la convergencia normal local implica convergencia normal compacta.
Si se consideran secuencias de funciones mensurables , surgen varios modos de convergencia que dependen de propiedades teóricas de la medida, en lugar de propiedades topológicas únicamente. Entre ellos se incluyen la convergencia puntual casi en todas partes, la convergencia en p -media y la convergencia en la medida. Estas son de particular interés en la teoría de la probabilidad .
