Secuencia de Cauchy

Secuencia de puntos que se acercan progresivamente entre sí

En matemáticas , una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos elementos se acercan arbitrariamente entre sí a medida que avanza la secuencia. ^[1] Más precisamente, dada cualquier distancia positiva pequeña, todos los elementos de la secuencia, excluyendo un número finito de ellos, son menores que esa distancia dada entre sí. Las secuencias de Cauchy reciben su nombre de Augustin-Louis Cauchy ; ocasionalmente pueden conocerse como secuencias fundamentales . ^[2]

No basta con que cada término se acerque arbitrariamente al término precedente . Por ejemplo, en la sucesión de raíces cuadradas de números naturales: los términos consecutivos se aproximan arbitrariamente entre sí – sus diferencias tienden a cero a medida que el índice n crece. Sin embargo, con valores crecientes de n , los términos se vuelven arbitrariamente grandes. Por lo tanto, para cualquier índice n y distancia d , existe un índice m lo suficientemente grande como para que Como resultado, no importa cuán lejos se vaya, los términos restantes de la sucesión nunca se acerquen entre sí ; por lo tanto, la sucesión no es de Cauchy. $${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}},}$$ $${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{m}-a_{n}>d.}$

La utilidad de las secuencias de Cauchy reside en el hecho de que en un espacio métrico completo (uno en el que se sabe que todas esas secuencias convergen a un límite ), el criterio de convergencia depende solo de los términos de la secuencia en sí, a diferencia de la definición de convergencia, que utiliza el valor límite además de los términos. Esto se suele explotar en algoritmos , tanto teóricos como aplicados, donde se puede demostrar con relativa facilidad que un proceso iterativo produce una secuencia de Cauchy, que consta de las iteraciones, cumpliendo así una condición lógica, como la terminación.

Existen generalizaciones de secuencias de Cauchy en espacios uniformes más abstractos en forma de filtros de Cauchy y redes de Cauchy .

En números reales

Una secuencia de números reales se denomina secuencia de Cauchy si para cada número real positivo existe un entero positivo N tal que para todos los números naturales donde las barras verticales indican el valor absoluto . De manera similar, se pueden definir secuencias de Cauchy de números racionales o complejos . Cauchy formuló tal condición al exigir que sea infinitesimal para cada par de infinitos m , n . $${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$ ${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle m,n>N,}$ $${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon ,}$$ ${\displaystyle x_{m}-x_{n}}$

Para cualquier número real r , la secuencia de expansiones decimales truncadas de r forma una secuencia de Cauchy. Por ejemplo, cuando esta secuencia es (3, 3,1, 3,14, 3,141, ...). Los términos m y n difieren como máximo en cuando m < n , y a medida que m crece, esto se vuelve más pequeño que cualquier número positivo fijo. ${\displaystyle r=\pi ,}$ ${\displaystyle 10^{1-m}}$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Módulo de convergencia de Cauchy

Si es una secuencia en el conjunto , entonces un módulo de convergencia de Cauchy para la secuencia es una función del conjunto de números naturales hacia sí mismo, tal que para todos los números naturales y números naturales ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m,n>\alpha (k),}$ ${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}$

Cualquier secuencia con un módulo de convergencia de Cauchy es una secuencia de Cauchy. La existencia de un módulo para una secuencia de Cauchy se desprende de la propiedad de buen orden de los números naturales (sea el menor posible en la definición de secuencia de Cauchy, tomando como ). La existencia de un módulo también se desprende del principio de elección numerable . Las secuencias regulares de Cauchy son secuencias con un módulo de convergencia de Cauchy dado (normalmente o ). Cualquier secuencia de Cauchy con un módulo de convergencia de Cauchy es equivalente a una secuencia regular de Cauchy; esto se puede demostrar sin utilizar ninguna forma del axioma de elección. ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle \alpha (k)=k}$ ${\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}$

Los matemáticos constructivos que no desean utilizar ninguna forma de elección utilizan módulos de convergencia de Cauchy. El uso de un módulo de convergencia de Cauchy puede simplificar tanto las definiciones como los teoremas en el análisis constructivo. Bishop (2012) y Bridges (1997) utilizaron secuencias regulares de Cauchy en libros de texto de matemáticas constructivas.

En un espacio métrico

Dado que la definición de una secuencia de Cauchy solo implica conceptos métricos, es sencillo generalizarla a cualquier espacio métrico X. Para ello, el valor absoluto se reemplaza por la distancia (donde d denota una métrica ) entre y ${\displaystyle \left|x_{m}-x_{n}\right|}$ ${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle x_{n}.}$

Formalmente, dado un espacio métrico una secuencia es de Cauchy, si para cada número real positivo existe un entero positivo tal que para todos los enteros positivos la distancia ${\displaystyle (X,d),}$ $${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,}$ $${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)<\varepsilon .}$$

En términos generales, los términos de la secuencia se están acercando cada vez más de una manera que sugiere que la secuencia debería tener un límite en X. No obstante, dicho límite no siempre existe dentro de X : la propiedad de un espacio de que cada secuencia de Cauchy converge en el espacio se llama completitud y se detalla a continuación.

Lo completo

Un espacio métrico ( X , d ) en el que cada secuencia de Cauchy converge a un elemento de X se llama completo .

Ejemplos

Los números reales son completos bajo la métrica inducida por el valor absoluto usual, y una de las construcciones estándar de los números reales involucra sucesiones de Cauchy de números racionales . En esta construcción, cada clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales con un cierto comportamiento de cola —es decir, cada clase de sucesiones que se acercan arbitrariamente entre sí— es un número real.

Un ejemplo bastante diferente lo ofrece un espacio métrico X que tiene métrica discreta (donde dos puntos distintos están a una distancia de 1 entre sí). Cualquier secuencia de Cauchy de elementos de X debe ser constante más allá de un punto fijo y converge al término que eventualmente se repite.

No-ejemplo: números racionales

Los números racionales no son completos (para la distancia usual): Existen sucesiones de racionales que convergen (en ) a números irracionales ; estas son sucesiones de Cauchy que no tienen límite en De hecho, si un número real x es irracional, entonces la sucesión ( x _n ), cuyo término n -ésimo es el truncamiento a n decimales de la expansión decimal de x , da una sucesión de Cauchy de números racionales con límite irracional x . Los números irracionales ciertamente existen en por ejemplo: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• La secuencia definida por consta de números racionales (1, 3/2, 17/12,...), lo cual se desprende claramente de la definición; sin embargo, converge a la raíz cuadrada irracional de 2 , véase el método babilónico de calcular la raíz cuadrada . ${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}}$
• La secuencia de razones de números consecutivos de Fibonacci que, si converge, converge a un límite que satisface y ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, si se considera esto como una secuencia de números reales, converge al número real número áureo , que es irracional. ${\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1,}$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$
• Se sabe que los valores de las funciones exponenciales seno y coseno, exp( x ), sin( x ), cos( x ), son irracionales para cualquier valor racional de pero cada uno puede definirse como el límite de una secuencia de Cauchy racional, utilizando, por ejemplo, la serie de Maclaurin . ${\displaystyle x\neq 0,}$

No-ejemplo: intervalo abierto

El intervalo abierto en el conjunto de números reales con una distancia ordinaria en no es un espacio completo: hay una secuencia en él, que es de Cauchy (para una distancia arbitrariamente pequeña que limita todos los términos de ajuste en el intervalo), sin embargo no converge en — su 'límite', el número 0, no pertenece al espacio ${\displaystyle X=(0,2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{n}=1/n}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n>1/d}$ ${\displaystyle (0,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Otras propiedades

• Toda secuencia convergente (con límite s , por ejemplo) es una secuencia de Cauchy, ya que, dado cualquier número real más allá de un punto fijo, cada término de la secuencia está dentro de la distancia de s , por lo que dos términos cualesquiera de la secuencia están dentro de la distancia uno del otro. ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \varepsilon /2}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• En cualquier espacio métrico, una secuencia de Cauchy está acotada (ya que para algún N , todos los términos de la secuencia desde el N -ésimo en adelante están dentro de una distancia 1 entre sí, y si M es la distancia más grande entre y cualquier término hasta el N -ésimo, entonces ningún término de la secuencia tiene una distancia mayor que desde ). ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{N}}$ ${\displaystyle M+1}$ ${\displaystyle x_{N}}$
• En cualquier espacio métrico, una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente con límite s es ella misma convergente (con el mismo límite), ya que, dado cualquier número real r > 0, más allá de algún punto fijo en la sucesión original, cada término de la subsucesión está dentro de la distancia r /2 de s , y dos términos cualesquiera de la sucesión original están dentro de la distancia r /2 entre sí, por lo que cada término de la sucesión original está dentro de la distancia r de s . De hecho, la inversa también es cierta, es decir, toda sucesión convergente también es de Cauchy. Si como entonces para alguna tal que para , tenemos para cualquier y . Entonces para cualquier , ${\displaystyle x_{n}\to s}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n>n_{0}}$ ${\displaystyle |x_{n}-s|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle m>n_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{n}-x_{m}|&={\big |}(x_{n}-s)-(x_{m}-s){\big |}\\&\leq |x_{n}-s|+|x_{m}-s|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,\end{aligned}}}$$y por lo tanto la secuencia es Cauchy, como se deseaba. Estas dos últimas propiedades, junto con el teorema de Bolzano-Weierstrass , producen una prueba estándar de la completitud de los números reales, estrechamente relacionada tanto con el teorema de Bolzano-Weierstrass como con el teorema de Heine-Borel . Toda secuencia de Cauchy de números reales está acotada, por lo tanto por Bolzano-Weierstrass tiene una subsucesión convergente, por lo tanto es ella misma convergente. Esta prueba de la completitud de los números reales hace uso implícito del axioma del mínimo límite superior . El enfoque alternativo, mencionado anteriormente, de construir los números reales como la completitud de los números racionales, hace que la completitud de los números reales sea tautológica.

Una de las ilustraciones estándar de la ventaja de poder trabajar con sucesiones de Cauchy y hacer uso de la completitud la proporciona la consideración de la suma de una serie infinita de números reales (o, más generalmente, de elementos de cualquier espacio lineal normado completo , o espacio de Banach ). Se considera que dicha serie es convergente si y solo si la secuencia de sumas parciales es convergente, donde Es una cuestión rutinaria determinar si la secuencia de sumas parciales es de Cauchy o no, ya que para los números enteros positivos ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ ${\displaystyle (s_{m})}$ ${\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$ ${\displaystyle p>q,}$ $${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$$

Si es una función uniformemente continua entre los espacios métricos M y N y ( x _n ) es una sucesión de Cauchy en M , entonces es una sucesión de Cauchy en N . Si y son dos sucesiones de Cauchy en los números racionales, reales o complejos, entonces la suma y el producto también son sucesiones de Cauchy. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$

Generalizaciones

En espacios vectoriales topológicos

También existe un concepto de secuencia de Cauchy para un espacio vectorial topológico : Elija una base local para aproximadamente 0; entonces ( ) es una secuencia de Cauchy si para cada miembro hay algún número tal que siempre que sea un elemento de Si la topología de es compatible con una métrica invariante a la traducción, las dos definiciones concuerdan. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle V\in B,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$

En grupos topológicos

Dado que la definición del espacio vectorial topológico de la secuencia de Cauchy requiere solamente que haya una operación de "resta" continua, también puede enunciarse en el contexto de un grupo topológico : Una secuencia en un grupo topológico es una secuencia de Cauchy si para cada vecindario abierto de la identidad en existe algún número tal que siempre que se siga que Como anteriormente, es suficiente comprobar esto para los vecindarios en cualquier base local de la identidad en ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U.}$ ${\displaystyle G.}$

Al igual que en la construcción de la completitud de un espacio métrico , se puede definir además la relación binaria en las sucesiones de Cauchy en que y son equivalentes si para cada entorno abierto de la identidad en existe algún número tal que siempre que se siga que Esta relación es una relación de equivalencia : Es reflexiva ya que las sucesiones son sucesiones de Cauchy. Es simétrica ya que que por continuidad de la inversa es otro entorno abierto de la identidad. Es transitiva ya que donde y son entornos abiertos de la identidad tales que ; tales pares existen por la continuidad de la operación de grupo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (y_{k})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U.}$ ${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$ ${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U''}$ ${\displaystyle U'U''\subseteq U}$

En grupos

También existe un concepto de sucesión de Cauchy en un grupo : Sea una sucesión decreciente de subgrupos normales de de índice finito . Entonces se dice que una sucesión en es de Cauchy (con respecto a ) si y solo si para cualquier hay tal que para todos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H=(H_{r})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.}$

Técnicamente, esto es lo mismo que una secuencia de Cauchy de grupo topológico para una elección particular de topología, es decir, aquella para la cual es una base local. ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$

El conjunto de tales secuencias de Cauchy forma un grupo (para el producto componente por componente), y el conjunto de secuencias nulas (secuencias tales que ) es un subgrupo normal de El grupo factorial se denomina completitud de con respecto a ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle C/C_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$

Se puede entonces demostrar que esta completitud es isomorfa al límite inverso de la secuencia. ${\displaystyle (G/H_{r}).}$

Un ejemplo de esta construcción familiar en la teoría de números y la geometría algebraica es la construcción de la completitud -ádica de los números enteros con respecto a un primo. En este caso, son los números enteros bajo adición, y es el subgrupo aditivo que consiste en múltiplos enteros de ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle p_{r}.}$

Si es una sucesión cofinal (es decir, cualquier subgrupo normal de índice finito contiene algún ), entonces esta completitud es canónica en el sentido de que es isomorfa al límite inverso de donde varía en todos los subgrupos normales de índice finito . Para más detalles, véase el capítulo I.10 de "Álgebra" de Lang . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle (G/H)_{H},}$ ${\displaystyle H}$

En un continuo hiperreal

Una sucesión real tiene una extensión hiperreal natural , definida para valores hipernaturales H de índice n además del n natural habitual . La sucesión es de Cauchy si y solo si para cada H y K infinitos , los valores y son infinitamente cercanos o iguales , es decir, ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$ ${\displaystyle u_{H}}$ ${\displaystyle u_{K}}$

${\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

donde "st" es la función de la parte estándar .

Completar categorías según Cauchy

Krause (2020) introdujo una noción de completitud de Cauchy de una categoría . Aplicada a (la categoría cuyos objetos son números racionales, y existe un morfismo de x a y si y solo si ), esta completitud de Cauchy produce (interpretada nuevamente como una categoría que utiliza su orden natural). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$

Véase también

• Modos de convergencia (índice anotado)  – Índice anotado de varios modos de convergencia
• Corte de Dedekind  – Método de construcción de los números reales

Referencias

1. Lang 1992.
2. Ebbinghaus, Heinz-Dieter (1991). Números . Nueva York: Springer. pág. 40.

Lectura adicional

• Bishop, Errett Albert (2012). Fundamentos del análisis constructivo . Ishi Press. ISBN 9784871877145.

• Bourbaki, Nicolas (1972). Álgebra conmutativa (ed. traducción al inglés). Addison-Wesley / Hermann. ISBN 0-201-00644-8.

• Bridges, Douglas Sutherland (1997). Fundamentos del análisis constructivo . Springer. ISBN 978-0-387-98239-7.

• Krause, Henning (2020). "Completar complejos perfectos: con apéndices de Tobias Barthel y Bernhard Keller". Mathematische Zeitschrift . 296 (3–4): 1387–1427. arXiv : 1805.10751 . doi : 10.1007/s00209-020-02490-z .

• Lang, Serge (1992). Álgebra (3.ª ed.). Reading, Mass.: Addison Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-55540-0.Zbl 0848.13001  .

• Spivak, Michael (1994). Cálculo (3.ª ed.). Berkeley, CA: Publish or Perish. ISBN 0-914098-89-6Archivado desde el original el 17 de mayo de 2007. Consultado el 26 de mayo de 2007 .

• Troelstra, AS ; van Dalen, D. (1988). Constructivismo en matemáticas: una introducción .(para usos en matemáticas constructivas)

Enlaces externos

• "Secuencia de Cauchy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]