En matemáticas , el axioma de pegado se introduce para definir lo que debe satisfacer una gavilla en un espacio topológico , dado que es una pregavilla , que es por definición un funtor contravariante.
a una categoría que inicialmente se considera la categoría de conjuntos . Aquí está el orden parcial de conjuntos abiertos de mapas ordenados por inclusión ; y considerada como una categoría de la manera estándar, con un morfismo único
if es un subconjunto de y ninguno en caso contrario.
Como se expresa en el artículo de la gavilla , existe un cierto axioma que debe satisfacer, para cualquier cubierta abierta de un conjunto abierto de . Por ejemplo, dados conjuntos abiertos y con unión e intersección , la condición requerida es que
En un lenguaje menos formal, una sección de over está igualmente bien dada por un par de secciones: on y respectivamente, que 'concuerdan' en el sentido de que y tienen una imagen común debajo de los respectivos mapas de restricción.
y
El primer obstáculo importante en la teoría de haces es ver que este axioma de pegar o parchar es una abstracción correcta de la idea habitual en situaciones geométricas. Por ejemplo, un campo vectorial es una sección de un paquete tangente en una variedad suave ; esto dice que un campo vectorial en la unión de dos conjuntos abiertos es (ni más ni menos que) campos vectoriales en los dos conjuntos que coinciden donde se superponen.
Teniendo en cuenta esta comprensión básica, hay más cuestiones en la teoría, y algunas se abordarán aquí. Una dirección diferente es la de la topología de Grothendieck , y otra más es el estatus lógico de la "existencia local" (ver semántica de Kripke-Joyal ).
Para reformular esta definición de manera que funcione en cualquier categoría que tenga suficiente estructura, observamos que podemos escribir los objetos y morfismos involucrados en la definición anterior en un diagrama que llamaremos (G), para "pegar":
Aquí el primer mapa es el producto de los mapas de restricción.
y cada par de flechas representa las dos restricciones
y
Vale la pena señalar que estos mapas agotan todos los mapas de restricción posibles entre , the y the .
La condición para ser una gavilla es que para cualquier conjunto abierto y cualquier colección de conjuntos abiertos cuya unión sea , el diagrama (G) anterior es un ecualizador .
Una forma de entender el axioma del pegado es notar que es el colímite del siguiente diagrama:
El axioma de pegado dice que convierte los colímites de tales diagramas en límites.
En algunas categorías, es posible construir una gavilla especificando sólo algunas de sus secciones. Específicamente, sea un espacio topológico con base . Podemos definir una categoría O ′( X ) como la subcategoría completa de cuyos objetos son . Una gavilla B con valores en es un funtor contravariante
que satisface el axioma de pegado para conjuntos en . Es decir, en una selección de conjuntos abiertos de , especifica todas las secciones de una gavilla, y en los demás conjuntos abiertos, es indeterminado.
Las poleas B son equivalentes a las poleas (es decir, la categoría de poleas es equivalente a la categoría de poleas B). [1] Claramente, una gavilla puede restringirse a una gavilla B. En la otra dirección, dada una gavilla B debemos determinar las secciones de sobre los otros objetos de . Para ello, tenga en cuenta que para cada conjunto abierto , podemos encontrar una colección cuya unión sea . Hablando categóricamente, esta elección marca el límite de la subcategoría completa cuyos objetos son . Como es contravariante, definimos como el límite de con respecto a los mapas de restricción. (Aquí debemos suponer que este límite existe en .) Si es un conjunto abierto básico, entonces es un objeto terminal de la subcategoría anterior de , y por tanto . Por lo tanto, se extiende a una pregavilla en . Se puede verificar que es una gavilla, esencialmente porque cada elemento de cada cubierta abierta de es una unión de elementos base (según la definición de base), y cada intersección por pares de elementos en una cubierta abierta de es una unión de elementos base. (nuevamente por la definición de base).
Las primeras necesidades de la teoría de las gavillas eran gavillas de grupos abelianos ; por lo que tomar la categoría como categoría de grupos abelianos era natural. En aplicaciones a la geometría, por ejemplo, variedades complejas y geometría algebraica , la idea de un haz de anillos locales es central. Sin embargo, esto no es exactamente lo mismo; se habla en lugar de un espacio localmente anillado , porque no es cierto, excepto en casos trillados, que tal haz sea un functor en una categoría de anillos locales. Son los tallos de la gavilla los que son anillos locales, no las colecciones de secciones (que son anillos , pero en general no están ni cerca de ser locales ). Podemos pensar en un espacio anillado localmente como una familia parametrizada de anillos locales, dependiendo de en .
Una discusión más cuidadosa disipa cualquier misterio aquí. Se puede hablar libremente de un haz de grupos abelianos, o anillos, porque se trata de estructuras algebraicas (definidas, si se insiste, por una firma explícita ). Cualquier categoría que tenga productos finitos apoya la idea de un objeto grupal , al que algunos prefieren simplemente llamar grupo . En el caso de este tipo de estructura puramente algebraica, podemos hablar de un haz que tiene valores en la categoría de grupos abelianos, o de un grupo abeliano en la categoría de haces de conjuntos ; Realmente no importa.
En el caso del anillo local, sí importa. A un nivel fundamental debemos utilizar el segundo estilo de definición, para describir lo que significa un anillo local en una categoría. Esta es una cuestión lógica: los axiomas para un anillo local requieren el uso de cuantificación existencial , de forma que para cualquiera en el anillo, uno de y es invertible . Esto permite especificar qué debería ser un 'anillo local en una categoría', en el caso de que la categoría admita suficiente estructura.
Para convertir una pregavilla determinada en una gavilla , existe un dispositivo estándar llamado gavilla o gavilla . La intuición aproximada de lo que se debe hacer, al menos para un prehaz de conjuntos, es introducir una relación de equivalencia, que haga que los datos proporcionados por diferentes coberturas en las superposiciones sean equivalentes al refinar las coberturas. Por lo tanto, una solución es ir a los tallos y recuperar el espacio de la mejor gavilla posible producida a partir de .
Este uso del lenguaje sugiere fuertemente que estamos tratando aquí con funtores adjuntos . Por lo tanto, tiene sentido observar que las gavillas forman una subcategoría completa de las pregavillas . Implícita en esto está la afirmación de que un morfismo de haces no es más que una transformación natural de las gavillas, consideradas como functores. Por lo tanto, obtenemos una caracterización abstracta de la gavilla como algo adjunto a la inclusión. En algunas aplicaciones, naturalmente, se necesita una descripción.
En un lenguaje más abstracto, los haces forman una subcategoría reflexiva de los prehaces (Mac Lane- Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86). En la teoría del topos , para una topología de Lawvere-Tierney y sus haces, hay un resultado análogo (ibid. p. 227).
El axioma de pegado de la teoría de la gavilla es bastante general. Se puede observar que el axioma de la teoría de la homotopía de Mayer-Vietoris , por ejemplo, es un caso especial.
