Axioma de pegado

Axioma que especifica los requisitos de un haz en un espacio topológico

En matemáticas , se introduce el axioma de pegado para definir lo que debe satisfacer un haz en un espacio topológico , dado que es un prehaz , que es por definición un funtor contravariante. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {O}}(X)\rightarrow C}$

a una categoría que inicialmente se toma como la categoría de conjuntos . Aquí está el orden parcial de conjuntos abiertos de mapas ordenados por inclusión ; y considerados como una categoría de la manera estándar, con un morfismo único ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U\rightarrow V}$

si es un subconjunto de , y ninguno en caso contrario. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Como se expresa en el artículo de la gavilla , existe un cierto axioma que debe satisfacerse, para cualquier recubrimiento abierto de un conjunto abierto de . Por ejemplo, dados los conjuntos abiertos y con unión e intersección , la condición requerida es que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$es el subconjunto de Con imagen igual en ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\times {\mathcal {F}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$

En un lenguaje menos formal, una sección de sobre está igualmente bien dada por un par de secciones: sobre y respectivamente, que 'concuerdan' en el sentido de que y tienen una imagen común en bajo los respectivos mapas de restricción. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (s',s'')}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle s''}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)}$

y

${\displaystyle {\mathcal {F}}(V)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)}$.

El primer obstáculo importante en la teoría de haces es ver que este axioma de pegado o parcheo es una abstracción correcta de la idea usual en situaciones geométricas. Por ejemplo, un cuerpo vectorial es una sección de un fibrado tangente en una variedad lisa ; esto dice que un cuerpo vectorial en la unión de dos conjuntos abiertos es (ni más ni menos que) cuerpos vectoriales en los dos conjuntos que coinciden donde se superponen.

A partir de esta comprensión básica, la teoría plantea otras cuestiones, algunas de las cuales se abordarán aquí. Una dirección diferente es la de la topología de Grothendieck , y otra más es el estatus lógico de la "existencia local" (véase la semántica de Kripke-Joyal ).

Eliminación de restricciones ado

Para reformular esta definición de manera que funcione en cualquier categoría que tenga suficiente estructura, observamos que podemos escribir los objetos y morfismos involucrados en la definición anterior en un diagrama que llamaremos (G), por "pegar": ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod _{i}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$

Aquí el primer mapa es el producto de los mapas de restricción.

${\displaystyle {res}_{U,U_{i}}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i})}$

y cada par de flechas representa las dos restricciones

${\displaystyle res_{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{i})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$

y

${\displaystyle res_{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{j})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$.

Vale la pena señalar que estos mapas agotan todos los mapas de restricción posibles entre , el , y el . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$

La condición para que haya un haz es que para cualquier conjunto abierto y cualquier colección de conjuntos abiertos cuya unión sea , el diagrama (G) anterior sea un ecualizador . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$

Una forma de entender el axioma de pegado es notar que es el colimite del siguiente diagrama: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \coprod _{i,j}U_{i}\cap U_{j}{{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\coprod _{i}U_{i}}$

El axioma de pegado dice que convierte los colimites de tales diagramas en límites. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Poleas sobre una base de conjuntos abiertos

En algunas categorías, es posible construir un haz especificando solo algunas de sus secciones. Específicamente, sea un espacio topológico con base . Podemos definir una categoría O ′( X ) como la subcategoría completa de cuyos objetos son . Un B-haz en con valores en es un funtor contravariante ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {O}}'(X)\rightarrow C}$

que satisface el axioma de unión para conjuntos en . Es decir, en una selección de conjuntos abiertos de , especifica todas las secciones de un haz, y en los otros conjuntos abiertos, es indeterminado. ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Los haces B son equivalentes a haces (es decir, la categoría de haces es equivalente a la categoría de haces B). ^[1] Claramente, un haz en puede restringirse a un haz B. En la otra dirección, dado un haz B, debemos determinar las secciones de en los otros objetos de . Para hacer esto, note que para cada conjunto abierto , podemos encontrar una colección cuya unión es . Categóricamente hablando, esta elección hace que el colimite de la subcategoría completa de cuyos objetos son . Como es contravariante, definimos como el límite de con respecto a las funciones de restricción. (Aquí debemos suponer que este límite existe en ). Si es un conjunto abierto básico, entonces es un objeto terminal de la subcategoría anterior de , y por lo tanto . Por lo tanto, se extiende a un prehaz en . Se puede verificar que es un haz, esencialmente porque cada elemento de cada cubierta abierta de es una unión de elementos base (por la definición de una base), y cada intersección por pares de elementos en una cubierta abierta de es una unión de elementos base (nuevamente por la definición de una base). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{B_{j}\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$ ${\displaystyle \{B_{j}\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'(U)}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(B_{j})\}_{j\in J}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'(U)={\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La lógica dedo

Las primeras necesidades de la teoría de haces fueron haces de grupos abelianos ; por lo que tomar la categoría como la categoría de grupos abelianos era algo natural. En aplicaciones a la geometría, por ejemplo variedades complejas y geometría algebraica , la idea de un haz de anillos locales es central. Esto, sin embargo, no es exactamente lo mismo; uno habla en cambio de un espacio anillado localmente , porque no es cierto, excepto en casos triviales, que tal haz sea un funtor en una categoría de anillos locales. Son los tallos del haz los que son anillos locales, no las colecciones de secciones (que son anillos , pero en general no están cerca de ser locales ). Podemos pensar en un espacio anillado localmente como una familia parametrizada de anillos locales, dependiendo de en . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

Una discusión más cuidadosa disipa cualquier misterio aquí. Se puede hablar libremente de un haz de grupos abelianos, o anillos, porque son estructuras algebraicas (definidas, si uno insiste, por una signatura explícita ). Cualquier categoría que tenga productos finitos apoya la idea de un objeto de grupo , que algunos prefieren simplemente llamar un grupo en . En el caso de este tipo de estructura puramente algebraica, podemos hablar de un haz que tiene valores en la categoría de grupos abelianos, o de un grupo abeliano en la categoría de haces de conjuntos ; realmente no importa. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

En el caso del anillo local, sí importa. En un nivel fundamental debemos utilizar el segundo estilo de definición para describir lo que significa un anillo local en una categoría. Se trata de una cuestión lógica: los axiomas para un anillo local requieren el uso de la cuantificación existencial , en la forma que para cualquier en el anillo, uno de y es invertible . Esto permite especificar lo que debería ser un 'anillo local en una categoría', en el caso de que la categoría admita suficiente estructura. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1-r}$

Gavillamiento

Para convertir un prehaz dado en un haz , existe un dispositivo estándar llamado gavillado o gavillado . La intuición aproximada de lo que se debe hacer, al menos para un prehaz de conjuntos, es introducir una relación de equivalencia, que hace que los datos equivalentes dados por diferentes coberturas en las superposiciones sean refinados por las coberturas. Por lo tanto, un enfoque es ir a los tallos y recuperar el espacio de gavilla del mejor haz posible producido a partir de . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Este uso del lenguaje sugiere fuertemente que estamos tratando aquí con funtores adjuntos . Por lo tanto, tiene sentido observar que los haces en forman una subcategoría completa de los prehaces en . Implícito en eso está el enunciado de que un morfismo de haces no es nada más que una transformación natural de los haces, considerados como funtores. Por lo tanto, obtenemos una caracterización abstracta de la gavillación como adjunta izquierda a la inclusión. En algunas aplicaciones, naturalmente, se necesita una descripción. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En un lenguaje más abstracto, los haces forman una subcategoría reflexiva de los prehaces (Mac Lane – Moerdijk Sheaves in Geometry and Logic p. 86). En la teoría de topos , para una topología de Lawvere–Tierney y sus haces, hay un resultado análogo (ibid. p. 227). ${\displaystyle X}$

Otros axiomas de pegado

El axioma de encolado de la teoría de haces es bastante general. Se puede observar que el axioma de Mayer-Vietoris de la teoría de homotopía , por ejemplo, es un caso especial.

Véase también

• Esquemas de pegado

Notas

1. Vakil, Matemáticas 216: Fundamentos de geometría algebraica, 2.7.

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.