En matemáticas , el teorema de Tichonoff establece que el producto de cualquier conjunto de espacios topológicos compactos es compacto con respecto a la topología del producto . El teorema recibe su nombre de Andrey Nikolayevich Tikhonov (cuyo apellido a veces se transcribe como Tichonoff ), quien lo demostró por primera vez en 1930 para potencias del intervalo unitario cerrado y en 1935 enunció el teorema completo junto con la observación de que su demostración era la misma que para el caso especial. La primera demostración publicada conocida está contenida en un artículo de 1935 de Tichonoff, "Über einen Funktionenraum" . [1]
El teorema de Tichonoff se considera a menudo como quizás el resultado más importante en topología general (junto con el lema de Urysohn ). [2] El teorema también es válido para espacios topológicos basados en conjuntos difusos . [3]
El teorema depende fundamentalmente de las definiciones precisas de compacidad y de la topología del producto ; de hecho, el artículo de Tychonoff de 1935 define la topología del producto por primera vez. Por el contrario, parte de su importancia es dar confianza en que estas definiciones particulares son las más útiles (es decir, las que mejor se comportan).
De hecho, la definición de compacidad de Heine-Borel (que establece que todo recubrimiento de un espacio por conjuntos abiertos admite un subcubrimiento finito) es relativamente reciente. Más popular en los siglos XIX y principios del XX fue el criterio de Bolzano-Weierstrass que establece que toda sucesión infinita acotada admite una subsucesión convergente, ahora llamada compacidad secuencial . Estas condiciones son equivalentes para los espacios metrizables , pero ninguna implica a la otra en la clase de todos los espacios topológicos.
Es casi trivial demostrar que el producto de dos espacios secuencialmente compactos es secuencialmente compacto: se pasa a una subsucesión para el primer componente y luego a una subsubsucesión para el segundo componente. Un argumento de "diagonalización" apenas más elaborado establece la compacidad secuencial de un producto numerable de espacios secuencialmente compactos. Sin embargo, el producto de un continuo de muchas copias del intervalo unitario cerrado (con su topología habitual) no es secuencialmente compacto con respecto a la topología del producto, aunque es compacto según el teorema de Tichonoff (p. ej., véase Wilansky 1970, p. 134).
Este es un fallo crítico: si X es un espacio de Hausdorff completamente regular , hay una incrustación natural de X en [0,1] C ( X ,[0,1]) , donde C ( X ,[0,1]) es el conjunto de aplicaciones continuas de X a [0,1]. La compacidad de [0,1] C ( X ,[0,1]) muestra, por tanto, que todo espacio de Hausdorff completamente regular se incrusta en un espacio de Hausdorff compacto (o puede "compactificarse"). Esta construcción es la compactificación de Stone–Čech . Por el contrario, todos los subespacios de los espacios de Hausdorff compactos son Hausdorff completamente regulares, por lo que esto caracteriza a los espacios de Hausdorff completamente regulares como aquellos que pueden compactarse. Dichos espacios se denominan ahora espacios de Tichonoff .
El teorema de Tichonoff se ha utilizado para demostrar muchos otros teoremas matemáticos. Estos incluyen teoremas sobre compacidad de ciertos espacios como el teorema de Banach-Alaoglu sobre la compacidad débil* de la bola unitaria del espacio dual de un espacio vectorial normado y el teorema de Arzelà-Ascoli que caracteriza las sucesiones de funciones en las que cada subsucesión tiene una subsucesión uniformemente convergente . También incluyen enunciados menos obviamente relacionados con la compacidad, como el teorema de De Bruijn-Erdős que establece que todo grafo k -cromático minimal es finito, y el teorema de Curtis-Hedlund-Lyndon que proporciona una caracterización topológica de los autómatas celulares .
Como regla general, cualquier tipo de construcción que toma como entrada un objeto bastante general (a menudo de naturaleza algebraica o algebraico-topológico) y produce como resultado un espacio compacto es probable que utilice a Tychonoff: por ejemplo, el espacio de Gelfand de ideales máximos de un C*-álgebra conmutativa , el espacio de Stone de ideales máximos de un álgebra de Boole y el espectro de Berkovich de un anillo de Banach conmutativo .
1) La prueba de Tichonoff de 1930 utilizó el concepto de punto de acumulación completo .
2) El teorema es un corolario rápido del teorema de la subbase de Alexander .
Las demostraciones más modernas se han basado en las siguientes consideraciones: el enfoque de la compacidad mediante la convergencia de subsecuencias conduce a una demostración simple y transparente en el caso de conjuntos de índices numerables. Sin embargo, el enfoque de la convergencia en un espacio topológico que utiliza sucesiones es suficiente cuando el espacio satisface el primer axioma de numerabilidad (como lo hacen los espacios metrizables), pero generalmente no en caso contrario. Sin embargo, el producto de un número incontable de espacios metrizables, cada uno con al menos dos puntos, no es numerable en primer lugar. Por lo tanto, es natural esperar que una noción adecuada de convergencia en espacios arbitrarios conduzca a un criterio de compacidad que generalice la compacidad secuencial en espacios metrizables que se aplicará con la misma facilidad para deducir la compacidad de los productos. Este ha resultado ser el caso.
3) La teoría de convergencia por medio de filtros, debida a Henri Cartan y desarrollada por Bourbaki en 1937, conduce al siguiente criterio: suponiendo el lema del ultrafiltro , un espacio es compacto si y solo si cada ultrafiltro en el espacio converge. Con esto en mano, la prueba se vuelve fácil: el (filtro generado por la) imagen de un ultrafiltro en el espacio del producto bajo cualquier mapa de proyección es un ultrafiltro en el espacio factorial, que por lo tanto converge, al menos a un x i . Se muestra entonces que el ultrafiltro original converge a x = ( x i ). En su libro de texto, Munkres da una reelaboración de la prueba de Cartan-Bourbaki que no utiliza explícitamente ningún lenguaje teórico de filtros ni preliminares.
4) De manera similar, la teoría de convergencia a través de redes de Moore-Smith , complementada con la noción de red universal de Kelley , conduce al criterio de que un espacio es compacto si y sólo si cada red universal en el espacio converge. Este criterio conduce a una prueba (Kelley, 1950) del teorema de Tichonoff, que es, palabra por palabra, idéntica a la prueba de Cartan/Bourbaki usando filtros, salvo por la sustitución repetida de "red universal" por "base de ultrafiltro".
5) En 1992, Paul Chernoff presentó una prueba que utiliza redes pero no redes universales.
Todas las demostraciones anteriores utilizan el axioma de elección (AC) de alguna manera. Por ejemplo, la tercera demostración utiliza que cada filtro está contenido en un ultrafiltro (es decir, un filtro maximal), y esto se ve invocando el lema de Zorn . El lema de Zorn también se utiliza para demostrar el teorema de Kelley, que cada red tiene una subred universal. De hecho, estos usos de AC son esenciales: en 1950 Kelley demostró que el teorema de Tichonoff implica el axioma de elección en ZF . Nótese que una formulación de AC es que el producto cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos es no vacío; pero dado que el conjunto vacío es ciertamente compacto, la demostración no puede proceder a lo largo de líneas tan sencillas. Por lo tanto, el teorema de Tichonoff se une a varios otros teoremas básicos (por ejemplo, que cada espacio vectorial tiene una base) en ser equivalente a AC.
Por otra parte, la afirmación de que todo filtro está contenido en un ultrafiltro no implica AC. De hecho, no es difícil ver que es equivalente al teorema del ideal primo de Boole (BPI), un conocido punto intermedio entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) y la teoría de ZF aumentada por el axioma de elección (ZFC). Un primer vistazo a la segunda prueba de Tychnoff puede sugerir que la prueba no utiliza más que (BPI), en contradicción con lo anterior. Sin embargo, los espacios en los que todo filtro convergente tiene un único límite son precisamente los espacios de Hausdorff. En general, debemos seleccionar, para cada elemento del conjunto índice, un elemento del conjunto no vacío de límites de la base del ultrafiltro proyectado, y por supuesto esto utiliza AC. Sin embargo, también muestra que la compacidad del producto de espacios compactos de Hausdorff puede demostrarse utilizando (BPI), y de hecho también se cumple la inversa. El estudio de la fuerza del teorema de Tichonoff para varias clases restringidas de espacios es un área activa en la topología de teoría de conjuntos .
El análogo del teorema de Tichonoff en la topología sin sentido no requiere ninguna forma del axioma de elección.
Para demostrar que el teorema de Tichonoff en su versión general implica el axioma de elección, establecemos que todo producto cartesiano infinito de conjuntos no vacíos es no vacío. La parte más complicada de la prueba es introducir la topología correcta. La topología correcta, como se ve, es la topología cofinita con un pequeño giro. Resulta que todo conjunto dado por esta topología se convierte automáticamente en un espacio compacto. Una vez que tenemos este hecho, se puede aplicar el teorema de Tichonoff; entonces usamos la definición de compacidad de la propiedad de intersección finita (FIP). La prueba en sí (debida a JL Kelley ) es la siguiente:
Sea { A i } una familia indexada de conjuntos no vacíos, para i que varía en I (donde I es un conjunto indexado arbitrario). Queremos demostrar que el producto cartesiano de estos conjuntos no es vacío. Ahora, para cada i , tomemos X i como A i con el índice i mismo añadido (renombrando los índices usando la unión disjunta si es necesario, podemos suponer que i no es un miembro de A i , así que simplemente tomemos X i = A i ∪ { i }).
Ahora defina el producto cartesiano junto con las aplicaciones de proyección natural π i que llevan un miembro de X a su término i .
Damos a cada X j la topología cuyos conjuntos abiertos son: el conjunto vacío, el singleton { i }, el conjunto X i . Esto hace que X i sea compacto, y por el teorema de Tichonoff, X también es compacto (en la topología del producto). Las funciones de proyección son continuas; todos los A i son cerrados, siendo complementos del conjunto abierto singleton { i } en X i . Entonces las imágenes inversas π i −1 ( A i ) son subconjuntos cerrados de X . Notamos eso y demostramos que estas imágenes inversas tienen el FIP. Sea i 1 , ..., i N una colección finita de índices en I . Entonces el producto finito A i 1 × ... × A i N no es vacío (solo hay un número finito de opciones aquí, por lo que AC no es necesario); simplemente consiste en N -tuplas. Sea a = ( a 1 , ..., a N ) una N -tupla de este tipo. Extendemos a a todo el conjunto de índices: tomamos a como función f definida por f ( j ) = a k si j = i k , y f ( j ) = j en caso contrario. En este paso es donde la adición del punto extra a cada espacio es crucial , ya que nos permite definir f para todo lo que esté fuera de la N -tupla de una manera precisa sin elecciones (ya podemos elegir, por construcción, j de X j ). π i k ( f ) = a k es obviamente un elemento de cada A i k de modo que f está en cada imagen inversa; por lo tanto tenemos
Según la definición de compacidad de la FIP, toda la intersección sobre I debe ser no vacía y la prueba está completa.
