Espacio de piedra

Tipo de espacio topológico

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio Stone , también conocido como espacio profinito ^[1] o conjunto profinito , es un espacio de Hausdorff compacto totalmente desconectado . ^[2] Los espacios de piedra llevan el nombre de Marshall Harvey Stone , quien los introdujo y estudió en la década de 1930 en el curso de su investigación de las álgebras de Boole , que culminó en su teorema de representación para las álgebras de Boole .

Condiciones equivalentes

Las siguientes condiciones en el espacio topológico son equivalentes: ^{[2] [1]} ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es un espacio de Piedra;
• ${\displaystyle X}$es homeomorfo al límite proyectivo (en la categoría de espacios topológicos ) de un sistema inverso de espacios finitos discretos ;
• ${\displaystyle X}$es compacto y totalmente separado ;
• ${\displaystyle X}$es compacto, T 0 y de dimensión cero (en el sentido de la pequeña dimensión inductiva );
• ${\displaystyle X}$es coherente y Hausdorff.

Ejemplos

Ejemplos importantes de espacios de Stone incluyen espacios discretos finitos , el conjunto de Cantor y el espacio de enteros -ádicos , donde es cualquier número primo . Generalizando estos ejemplos, cualquier producto de muchos espacios discretos finitos es un espacio de Piedra, y el espacio topológico subyacente a cualquier grupo finito es un espacio de Piedra. La compactación Stone-Čech de los números naturales con la topología discreta, o incluso de cualquier espacio discreto, es un espacio Stone. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Teorema de representación de Stone para álgebras de Boole

A cada álgebra de Boole podemos asociar un espacio de Stone de la siguiente manera: los elementos de son los ultrafiltros y la topología se llama ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S(B)}$ ${\displaystyle S(B)}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle S(B),}$la topología Stone , es generada por los conjuntos de la formadonde ${\displaystyle \{F\in S(B):b\in F\},}$ ${\displaystyle b\in B.}$

El teorema de representación de Stone para álgebras de Boole establece que cada álgebra de Boole es isomorfa al álgebra de Boole de conjuntos abiertos del espacio de Stone ; y además, todo espacio Stone es homeomorfo al espacio Stone perteneciente al álgebra booleana de conjuntos clopen de Estas asignaciones son funtoriales , y obtenemos una dualidad categoría-teórica entre la categoría de álgebras booleanas (con homomorfismos como morfismos) y la categoría de Espacios de piedra (con mapas continuos como morfismos). ${\displaystyle S(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

El teorema de Stone dio lugar a una serie de dualidades similares, ahora conocidas colectivamente como dualidades de Stone .

matemáticas condensadas

La categoría de espacios de piedra con mapas continuos equivale a la procategoría de la categoría de conjuntos finitos , lo que explica el término "conjuntos profinitos". Los conjuntos profinitos están en el corazón del proyecto de matemáticas condensadas , que pretende sustituir los espacios topológicos por "conjuntos condensados", donde un espacio topológico X es sustituido por el funtor que lleva un conjunto profinito S al conjunto de aplicaciones continuas de S. a X.​ ^[3]

Ver también

• Compactación de Stone-Čech # Construcción utilizando ultrafiltros  : un mapa universal desde un espacio topológico X hasta un espacio compacto de Hausdorff βX, de modo que cualquier mapa desde X hasta un espacio compacto de Hausdorff factoriza a través de βX de forma única; si X es Tychonoff, entonces X es un subespacio denso de βXPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Tipo (teoría de modelos)  – Concepto en teoría de modelos

Referencias

1. Espacio de piedra en el laboratorio n
2. "Espacio de piedra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
3. Scholze, Peter (5 de diciembre de 2020). "Experimento del tensor líquido". Xena .

Otras lecturas

• Johnstone, Pedro (1982). Espacios de piedra. Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 3. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-33779-8.