Dimensión inductiva

Invariante de espacios topológicos

En el campo matemático de la topología , la dimensión inductiva de un espacio topológico X es cualquiera de dos valores, la dimensión inductiva pequeña ind( X ) o la dimensión inductiva grande Ind( X ). Estos se basan en la observación de que, en el espacio euclidiano de n dimensiones R ⁿ , las esferas de ( n  − 1) dimensiones (es decir, los límites de las bolas de n dimensiones) tienen dimensión n  − 1. Por lo tanto, debería ser posible definir la dimensión de un espacio de forma inductiva en términos de las dimensiones de los límites de conjuntos abiertos adecuados .

Las dimensiones inductivas pequeña y grande son dos de las tres formas más habituales de captar la noción de "dimensión" para un espacio topológico, de una manera que depende sólo de la topología (y no, digamos, de las propiedades de un espacio métrico ). . La otra es la dimensión de cobertura de Lebesgue . Normalmente se entiende que el término "dimensión topológica" se refiere a la dimensión de cobertura de Lebesgue. Para espacios "suficientemente bonitos", las tres medidas de dimensión son iguales.

Definicion formal

Queremos que la dimensión de un punto sea 0, y un punto tiene un límite vacío, así que comenzamos con

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1}$

Entonces, inductivamente, ind( X ) es el n más pequeño tal que, para todos y cada uno de los conjuntos abiertos U que contienen x , hay un conjunto abierto V que contiene x , tal que la clausura de V es un subconjunto de U y la frontera de V tiene una pequeña dimensión inductiva menor o igual a n  − 1. (Si X es un espacio euclidiano de n dimensiones, se puede elegir que V sea una bola de n dimensiones centrada en x ). ${\displaystyle x\in X}$

Para la dimensión inductiva grande, restringimos aún más la elección de V ; Ind( X ) es el n más pequeño tal que, para cada subconjunto cerrado F de cada subconjunto abierto U de X , hay un V abierto en el medio (es decir, F es un subconjunto de V y el cierre de V es un subconjunto de U ), tal que el límite de V tiene una gran dimensión inductiva menor o igual a n  − 1. ^[1]

Relación entre dimensiones

Sea la dimensión de cobertura de Lebesgue. Para cualquier espacio topológico X , tenemos ${\displaystyle \dim }$

${\displaystyle \dim X=0}$si y solo si ${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

El teorema de Urysohn establece que cuando X es un espacio normal con base contable , entonces

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

Tales espacios son exactamente el X separable y metrizable (ver el teorema de metrización de Urysohn ).

El teorema de Nöbeling-Pontryagin establece luego que dichos espacios con dimensión finita se caracterizan hasta el homeomorfismo como los subespacios de los espacios euclidianos , con su topología habitual. El teorema de Menger-Nöbeling (1932) establece que si es compacto métrico separable y de dimensión , entonces se incrusta como un subespacio del espacio euclidiano de dimensión . ( Georg Nöbeling fue alumno de Karl Menger . Introdujo el espacio de Nöbeling , el subespacio que consta de puntos con al menos coordenadas que son números irracionales , que tiene propiedades universales para incrustar espacios de dimensión ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

Suponiendo solo X metrizable tenemos ( Miroslav Katětov )

ind X ≤ Ind X = tenue X ;

o suponiendo X compacto y Hausdorff ( PS Aleksandrov )

tenue X ≤ ind X ≤ Ind X .

Cualquiera de las dos desigualdades aquí puede ser estricta; Un ejemplo de Vladimir V. Filippov muestra que las dos dimensiones inductivas pueden diferir.

Un espacio métrico separable X satisface la desigualdad si y sólo si para cada subespacio cerrado del espacio y cada mapeo continuo existe una extensión continua . ${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\to S^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$

Referencias

1. Arkhangelskii, AV; Pontryagin, LS (1990). Topología general . vol. I. Berlín, DE: Springer-Verlag. ISBN 3-540-18178-4. Página 104

Otras lecturas

• Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn y Karl Menger: artículos sobre teoría de las dimensiones" en Grattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: 844-55.
• R. Engelking, Teoría de las dimensiones. Finito e infinito , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2 . 
• VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178- 4 . 
• VV Filippov, Sobre la dimensión inductiva del producto de bicompacta , Soviético. Matemáticas. Dokl., 13 (1972), n° 1, 250-254.
• AR Pears, Teoría de las dimensiones de los espacios generales , Cambridge University Press (1975).