En teoría de modelos y áreas relacionadas de las matemáticas , un tipo es un objeto que describe cómo podría comportarse un elemento (real o posible) o una colección finita de elementos en una estructura matemática . Más precisamente, es un conjunto de fórmulas de primer orden en un lenguaje L con variables libres x 1 , x 2 ,..., x n que son verdaderas para un conjunto de n -tuplas de una estructura L. Dependiendo del contexto, los tipos pueden ser completos o parciales y pueden utilizar un conjunto fijo de constantes, A , de la estructura . La cuestión de qué tipos representan elementos reales lleva a ideas de modelos saturados y tipos omitidos .
Considere una estructura para un lenguaje L. Sea M el universo de la estructura. Para cada A ⊆ M , sea L ( A ) el lenguaje obtenido de L sumando una constante c a para cada a ∈ A . En otras palabras,
Un tipo 1 (de ) sobre A es un conjunto p ( x ) de fórmulas en L ( A ) con como máximo una variable libre x (por lo tanto, tipo 1) tal que para cada subconjunto finito p 0 ( x ) ⊆ p ( x ) hay algo de b ∈ M , dependiendo de p 0 ( x ), con (es decir, todas las fórmulas en p 0 ( x ) son verdaderas cuando x se reemplaza por b ).
De manera similar, un tipo n (de ) sobre A se define como un conjunto p ( x 1 ,..., x n ) = p ( x ) de fórmulas en L ( A ), cada una con sus variables libres que ocurren solo entre las dadas n variables libres x 1 ,..., x n , tales que para cada subconjunto finito p 0 ( x ) ⊆ p ( x ) existen algunos elementos b 1 ,..., b n ∈ M con .
Un tipo completo de sobre A es aquel que es máximo con respecto a la inclusión . De manera equivalente, para cada uno o . Cualquier tipo no completo se llama tipo parcial . Entonces, la palabra tipo en general se refiere a cualquier tipo n , parcial o completo, sobre cualquier conjunto elegido de parámetros (posiblemente el conjunto vacío).
Se dice que un p ( x ) de tipo n esrealizado en si hay un elemento b ∈ M n tal que . La existencia de tal realización está garantizada para cualquier tipo por el teorema de la compacidad , aunque la realización podría tener lugar en alguna extensión elemental de , en lugar de en sí misma. Si b in realiza un tipo completo , entonces el tipo normalmente se denota y se denomina tipo completo de b sobre A.
Se dice que un tipo p ( x ) está aislado por , para , si para todo lo que tenemos . Dado que los subconjuntos finitos de un tipo siempre se realizan en , siempre hay un elemento b ∈ M n tal que φ ( b ) es verdadero en ; es decir , así b realiza todo el tipo aislado. Así se realizarán tipos aislados en cada subestructura o ampliación elemental. Debido a esto, nunca se pueden omitir los tipos aislados (ver más abajo).
Un modelo que realiza la máxima variedad posible de tipos se llama modelo saturado , y la construcción ultrapotente proporciona una forma de producir modelos saturados.
Considere el lenguaje L con un símbolo de relación binaria , que denotamos como . Sea la estructura de este lenguaje, que es el ordinal con su buen ordenamiento estándar . Denotemos la teoría de primer orden de .
Considere el conjunto de fórmulas L (ω) . Primero, afirmamos que este es un tipo. Sea un subconjunto finito de . Necesitamos encontrar a que satisfaga todas las fórmulas en . Bueno, podemos simplemente tomar el sucesor del ordinal más grande mencionado en el conjunto de fórmulas . Entonces esto contendrá claramente todos los ordinales mencionados en . Así tenemos que es un tipo. A continuación, tenga en cuenta que no se realiza en . Porque, si lo fuera, habría alguno que contuviera todos los elementos de . Si quisiéramos realizar el tipo, podríamos sentirnos tentados a considerar la estructura , que de hecho es una extensión de lo que realiza el tipo. Desafortunadamente, esta extensión no es elemental, por ejemplo, no satisface . En particular, la oración se satisface con esta estructura y no con .
Entonces, deseamos realizar el tipo en una extensión elemental. Podemos hacer esto definiendo una nueva estructura L , que denotaremos . El dominio de la estructura será donde esté el conjunto de números enteros adornados de tal manera que . Denotemos el orden habitual de . Interpretamos el símbolo en nuestra nueva estructura mediante . La idea es que estemos sumando una " cadena", o copia de los números enteros, sobre todo los ordinales finitos. Claramente cualquier elemento de realiza el tipo . Además, se puede comprobar que esta extensión es elemental.
Otro ejemplo: el tipo completo del número 2 sobre el conjunto vacío, considerado como miembro de los números naturales, sería el conjunto de todos los enunciados de primer orden (en el lenguaje de la aritmética de Peano ), que describen una variable x , que son verdadero cuando x = 2. Este conjunto incluiría fórmulas como , y . Este es un ejemplo de tipo aislado, ya que, trabajando sobre la teoría de los naturales, la fórmula implica todas las demás fórmulas que son verdaderas sobre el número 2.
Como ejemplo adicional, las declaraciones
y
que describen la raíz cuadrada de 2 son consistentes con los axiomas de campos ordenados y pueden extenderse a un tipo completo. Este tipo no se realiza en el campo ordenado de números racionales, pero sí en el campo ordenado de reales. De manera similar, el conjunto infinito de fórmulas (sobre el conjunto vacío) {x>1, x>1+1, x>1+1+1, ...} no se realiza en el campo ordenado de números reales, pero se realiza en el campo ordenado de los hiperreales . De manera similar, podemos especificar un tipo que se realiza mediante un hiperreal infinitesimal que viola la propiedad de Arquímedes .
La razón por la que es útil restringir los parámetros a un determinado subconjunto del modelo es que ayuda a distinguir los tipos que pueden satisfacerse de los que no. Por ejemplo, utilizando todo el conjunto de números reales como parámetros, se podría generar un conjunto infinito e incontable de fórmulas como , , ... que descartarían explícitamente todos los valores reales posibles para x y, por lo tanto, nunca podrían realizarse dentro de los números reales.
Es útil considerar el conjunto de n -tipos completos sobre A como un espacio topológico . Considere la siguiente relación de equivalencia sobre fórmulas en las variables libres x 1 ,..., x n con parámetros en A :
Se puede demostrar que si y sólo si están contenidos exactamente en los mismos tipos completos.
El conjunto de fórmulas en variables libres x 1 ,..., x n sobre A hasta esta relación de equivalencia es un álgebra booleana (y es canónicamente isomorfa al conjunto de A subconjuntos definibles de M n ). Los n tipos completos corresponden a ultrafiltros de esta álgebra booleana. El conjunto de n tipos completos se puede convertir en un espacio topológico tomando los conjuntos de tipos que contienen una fórmula dada como base de conjuntos abiertos . Esto construye el espacio de Stone asociado al álgebra de Boole, que es un espacio compacto , de Hausdorff y totalmente desconectado .
Ejemplo . La teoría completa de campos algebraicamente cerrados de característica 0 tiene eliminación de cuantificadores , lo que permite mostrar que los posibles tipos 1 completos (sobre el conjunto vacío) corresponden a:
En otras palabras, los tipos 1 corresponden exactamente a los ideales primos del anillo polinomial Q [ x ] sobre los racionales Q : si r es un elemento del modelo de tipo p , entonces el ideal correspondiente a p es el conjunto de polinomios con r como raíz (que es sólo el polinomio cero si r es trascendental). De manera más general, los n tipos completos corresponden a los ideales primos del anillo polinómico Q [ x 1 ,..., x n ], es decir, a los puntos del espectro primo de este anillo. (De hecho, la topología del espacio de Stone puede verse como la topología de Zariski de un anillo booleano inducido de forma natural a partir del álgebra de Boole. Si bien la topología de Zariski no es en general Hausdorff, sí lo es en el caso de los anillos booleanos.) Por ejemplo , si q ( x , y ) es un polinomio irreducible en dos variables, hay un tipo 2 cuyas realizaciones son (informalmente) pares ( x , y ) de elementos con q ( x , y ) = 0.
Dado un p completo de tipo n , uno puede preguntarse si existe un modelo de la teoría que omite p ; en otras palabras, no hay n -tupla en el modelo que realiza p . Si p es un punto aislado en el espacio de Stone, es decir, si { p } es un conjunto abierto, es fácil ver que todo modelo realiza p (al menos si la teoría es completa). El teorema de tipos omitidos dice que, a la inversa, si p no está aislado, entonces hay un modelo contable que omite p (siempre que el lenguaje sea contable).
Ejemplo : en la teoría de campos algebraicamente cerrados de característica 0, hay un tipo 1 representado por elementos que son trascendentales sobre el campo primo Q. Este es un punto no aislado del espacio de Piedra (de hecho, el único punto no aislado). El cuerpo de los números algebraicos es un modelo que omite este tipo, y la clausura algebraica de cualquier extensión trascendental de los racionales es un modelo que realiza este tipo.
Todos los demás tipos son "números algebraicos" (más precisamente, son conjuntos de enunciados de primer orden satisfechos por algún número algebraico dado), y todos esos tipos se realizan en todos los campos algebraicamente cerrados de característica 0.
