En lógica matemática , y particularmente en su teoría de modelos de subcampos , un modelo saturado M es aquel que realiza tantos tipos completos como pueda "esperarse razonablemente" dado su tamaño. Por ejemplo, un modelo de ultrapotencia de los hiperreales está saturado, lo que significa que cada secuencia anidada descendente de conjuntos internos tiene una intersección no vacía. [1]
Sea κ un número cardinal finito o infinito y M un modelo en algún lenguaje de primer orden . Entonces M se llama κ -saturado si para todos los subconjuntos A ⊆ M de cardinalidad menor que κ , el modelo M realiza todos los tipos completos sobre A . El modelo M se llama saturado si es | M |-saturado donde | METRO | denota la cardinalidad de M . Es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos de parámetros de tamaño inferior a | M |. Según algunos autores, un modelo M se denomina contablemente saturado si está -saturado; es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos contables de parámetros. [2] Según otros, está contablemente saturado si es contable y saturado. [3]
La noción aparentemente más intuitiva (que se realizan todos los tipos completos del lenguaje) resulta ser demasiado débil (y se denomina apropiadamente saturación débil , que es lo mismo que 1-saturación). La diferencia radica en el hecho de que muchas estructuras contienen elementos que no son definibles (por ejemplo, cualquier elemento trascendental de R es, por definición de la palabra, no definible en el lenguaje de campos ). Sin embargo, todavía forman parte de la estructura, por lo que necesitamos tipos para describir las relaciones con ellos. Por tanto, permitimos conjuntos de parámetros de la estructura en nuestra definición de tipos. Este argumento nos permite discutir características específicas del modelo que de otro modo podríamos pasar por alto; por ejemplo, un límite en una secuencia creciente específica c n se puede expresar realizando el tipo { x ≥ c n : n ∈ ω}, que usa contablemente muchos parámetros. Si la secuencia no es definible, este hecho sobre la estructura no se puede describir usando el lenguaje base, por lo que una estructura débilmente saturada puede no vincular la secuencia, mientras que una estructura ℵ 1 -saturada sí lo hará.
La razón por la que sólo requerimos conjuntos de parámetros que sean estrictamente más pequeños que el modelo es trivial: sin esta restricción, ningún modelo infinito está saturado. Considere un modelo M y el tipo { x ≠ m : m ∈ M }. Cada subconjunto finito de este tipo se realiza en el modelo (infinito) M , por lo que por compacidad es consistente con M , pero trivialmente no se realiza. Cualquier definición que sea universalmente insatisfecha es inútil; de ahí la restricción.
Existen modelos saturados para ciertas teorías y cardinalidades:
Se puede demostrar que tanto la teoría de Q como la teoría del gráfico aleatorio contable son ω-categóricas mediante el método de ida y vuelta . Esto se puede generalizar de la siguiente manera: el modelo único de cardinalidad κ de una teoría categórica κ contable está saturado.
Sin embargo, la afirmación de que cada modelo tiene una extensión elemental saturada no se puede demostrar en ZFC . De hecho, esta afirmación equivale a [ cita necesaria ] la existencia de una clase adecuada de cardenales κ tal que κ < κ = κ . La última identidad es equivalente a κ = λ + = 2 λ para algunos λ , o κ es fuertemente inaccesible .
La noción de modelo saturado es dual a la noción de modelo primo de la siguiente manera: sea T una teoría contable en un lenguaje de primer orden (es decir, un conjunto de oraciones mutuamente consistentes en ese lenguaje) y sea P un número primo. modelo de T. Entonces P admite una incrustación elemental en cualquier otro modelo de T. La noción equivalente para modelos saturados es que cualquier modelo "razonablemente pequeño" de T está elementalmente incrustado en un modelo saturado, donde "razonablemente pequeño" significa una cardinalidad no mayor que la del modelo en el que va a estar incrustado. Cualquier modelo saturado también es homogéneo . Sin embargo, mientras que para las teorías contables existe un modelo primo único, los modelos saturados son necesariamente específicos de una cardinalidad particular. Dados ciertos supuestos de la teoría de conjuntos, existen modelos saturados (aunque de cardinalidad muy grande) para teorías arbitrarias. Para λ - teorías estables , existen modelos saturados de cardinalidad λ .
