Espacio separable

Espacio topológico con un subconjunto contable denso

En matemáticas , un espacio topológico se denomina separable si contiene un subconjunto denso y contable ; es decir, existe una secuencia de elementos del espacio tal que cada subconjunto abierto no vacío del espacio contiene al menos un elemento de la secuencia. ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Al igual que los demás axiomas de contabilidad , la separabilidad es una "limitación de tamaño", no necesariamente en términos de cardinalidad (aunque, en presencia del axioma de Hausdorff , esto resulta ser así; ver más abajo), sino en un sentido topológico más sutil. En particular, cada función continua en un espacio separable cuya imagen es un subconjunto de un espacio de Hausdorff está determinada por sus valores en el subconjunto denso contable.

Contraste la separabilidad con la noción relacionada de segunda contabilidad , que es en general más fuerte pero equivalente en la clase de espacios metrizables .

Primeros ejemplos

Cualquier espacio topológico que sea finito o infinito numerable es separable, ya que todo el espacio es un subconjunto denso numerable de sí mismo. Un ejemplo importante de un espacio separable incontable es la línea real , en la que los números racionales forman un subconjunto denso numerable. De manera similar, el conjunto de todos los vectores de longitud de los números racionales, , es un subconjunto denso numerable del conjunto de todos los vectores de longitud de los números reales, ; por lo tanto, para cada espacio euclidiano de dimensión , es separable. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Un ejemplo simple de un espacio que no es separable es un espacio discreto de cardinalidad incontable.

A continuación se ofrecen más ejemplos.

Separabilidad versus segunda contabilidad

Cualquier espacio de segundo orden contable es separable: si es una base contable, al elegir cualquiera de los no vacíos se obtiene un subconjunto denso contable. Por el contrario, un espacio metrizable es separable si y solo si es de segundo orden contable, lo que ocurre si y solo si es de Lindelöf . ${\displaystyle \{U_{n}\}}$ ${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$

Para comparar más a fondo estas dos propiedades:

• Un subespacio arbitrario de un segundo espacio contable es segundo contable; los subespacios de espacios separables no necesitan ser separables (ver más abajo).
• Cualquier imagen continua de un espacio separable es separable (Willard 1970, Th. 16.4a); incluso un cociente de un espacio de segundo conteo no necesita ser de segundo conteo.
• Un producto de, como máximo, un número continuo de espacios separables es separable (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). Un producto contable de espacios de segundo orden contable es de segundo orden contable, pero un producto incontable de espacios de segundo orden contable no necesita ni siquiera ser de primer orden contable.

Podemos construir un ejemplo de un espacio topológico separable que no sea numerable en segundo lugar. Consideremos cualquier conjunto incontable , elijamos algunos , y definamos la topología como la colección de todos los conjuntos que contienen (o están vacíos). Entonces, la clausura de es todo el espacio ( es el conjunto cerrado más pequeño que contiene ), pero cada conjunto de la forma es abierto. Por lo tanto, el espacio es separable pero no puede tener una base numerable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {x_{0}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{x_{0},x\}}$

Cardinalidad

La propiedad de separabilidad no impone en sí misma ninguna limitación a la cardinalidad de un espacio topológico: cualquier conjunto dotado de la topología trivial es separable, así como segundo numerable, cuasicompacto y conexo . El "problema" de la topología trivial son sus pobres propiedades de separación: su cociente de Kolmogorov es el espacio de un punto.

Un espacio de Hausdorff separable y numerable primero (en particular, un espacio métrico separable) tiene como máximo la cardinalidad continua . En un espacio de este tipo, la clausura está determinada por los límites de las sucesiones y cualquier sucesión convergente tiene como máximo un límite, por lo que existe una función sobreyectiva desde el conjunto de sucesiones convergentes con valores en el subconjunto denso numerable hasta los puntos de . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio de Hausdorff separable tiene cardinalidad como máximo , donde es la cardinalidad del continuo. Para este cierre se caracteriza en términos de límites de bases de filtro : si y , entonces si y solo si existe una base de filtro que consiste en subconjuntos de que converge a . La cardinalidad del conjunto de tales bases de filtro es como máximo . Además, en un espacio de Hausdorff, hay como máximo un límite para cada base de filtro. Por lo tanto, hay una sobreyección cuando ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle z\in {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S(Y)}$ ${\displaystyle 2^{2^{|Y|}}}$ ${\displaystyle S(Y)\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}=X.}$

Los mismos argumentos establecen un resultado más general: supongamos que un espacio topológico de Hausdorff contiene un subconjunto denso de cardinalidad . Entonces tiene cardinalidad como máximo y cardinalidad como máximo si es numerable en primer lugar. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$

El producto de, como máximo, un número continuo de espacios separables es un espacio separable (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). En particular, el espacio de todas las funciones desde la recta real hasta sí misma, dotado de la topología de producto, es un espacio de Hausdorff separable de cardinalidad . De manera más general, si es cualquier cardinal infinito, entonces un producto de, como máximo, espacios con subconjuntos densos de tamaño como máximo tiene, en sí mismo, un subconjunto denso de tamaño como máximo (teorema de Hewitt–Marczewski–Pondiczery). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Matemáticas constructivas

La separabilidad es especialmente importante en el análisis numérico y en las matemáticas constructivas , ya que muchos teoremas que pueden demostrarse para espacios no separables tienen pruebas constructivas solo para espacios separables. Estas pruebas constructivas pueden convertirse en algoritmos para su uso en el análisis numérico, y son los únicos tipos de pruebas aceptables en el análisis constructivo. Un ejemplo famoso de un teorema de este tipo es el teorema de Hahn-Banach .

Más ejemplos

Espacios separables

• Todo espacio métrico compacto (o espacio metrizable) es separable.
• Cualquier espacio topológico que sea la unión de un número contable de subespacios separables es separable. En conjunto, estos dos primeros ejemplos dan una prueba diferente de que el espacio euclidiano de dimensión 1 es separable. ${\displaystyle n}$
• El espacio de todas las funciones continuas desde un subconjunto compacto hasta la recta real es separable. ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Los espacios de Lebesgue , sobre un espacio de medida cuya σ-álgebra se genera contablemente y cuya medida es σ-finita, son separables para cualquier . ^[1] ${\displaystyle L^{p}\left(X,\mu \right)}$ ${\displaystyle \left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle }$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$
• El espacio de funciones continuas de valores reales en el intervalo unitario con métrica de convergencia uniforme es un espacio separable, ya que del teorema de aproximación de Weierstrass se deduce que el conjunto de polinomios de una variable con coeficientes racionales es un subconjunto denso contable de . El teorema de Banach-Mazur afirma que cualquier espacio de Banach separable es isométricamente isomorfo a un subespacio lineal cerrado de . ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle C([0,1])}$
• Un espacio de Hilbert es separable si y solo si tiene una base ortonormal numerable . De ello se deduce que cualquier espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isométrico al espacio de sucesiones sumables al cuadrado. ${\displaystyle \ell ^{2}}$
• Un ejemplo de un espacio separable que no es numerable en segundo lugar es la línea de Sorgenfrey , el conjunto de números reales equipado con la topología de límite inferior . ${\displaystyle \mathbb {S} }$
• Un σ-álgebra separable es un σ-álgebra que es un espacio separable cuando se considera como un espacio métrico con métrica para y una medida finita dada (y siendo el operador de diferencia simétrica ). ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A\triangle B)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \triangle }$

Espacios no separables

• El primer ordinal incontable , dotado de su topología de orden natural , no es separable. ${\displaystyle \omega _{1}}$
• El espacio de Banach de todas las sucesiones reales acotadas, con la norma suprema , no es separable. Lo mismo se aplica a . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$
• El espacio de Banach de funciones de variación acotada no es separable; nótese, sin embargo, que este espacio tiene aplicaciones muy importantes en matemáticas, física e ingeniería.

Propiedades

• Un subespacio de un espacio separable no necesita ser separable (véase el plano de Sorgenfrey y el plano de Moore ), pero todo subespacio abierto de un espacio separable es separable (Willard 1970, Th 16.4b). Asimismo, todo subespacio de un espacio métrico separable es separable.
• De hecho, todo espacio topológico es un subespacio de un espacio separable de la misma cardinalidad . En (Sierpiński 1952, p. 49) se da una construcción que suma como máximo una cantidad numerable de puntos; si el espacio fuera un espacio de Hausdorff, entonces el espacio construido en el que se inserta también es un espacio de Hausdorff.
• El conjunto de todas las funciones continuas de valor real en un espacio separable tiene una cardinalidad igual a , la cardinalidad del continuo . Esto se deduce porque dichas funciones están determinadas por sus valores en subconjuntos densos. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• De la propiedad anterior se puede deducir lo siguiente: si X es un espacio separable que tiene un subespacio discreto cerrado incontable, entonces X no puede ser normal . Esto demuestra que el plano de Sorgenfrey no es normal.
• Para un espacio de Hausdorff compacto X , los siguientes son equivalentes:
  1. X es el segundo contable.
  2. El espacio de funciones continuas de valor real en X con norma suprema es separable. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$
  3. X es metrizable.

Incorporación de espacios métricos separables

• Todo espacio métrico separable es homeomorfo a un subconjunto del cubo de Hilbert . Esto se establece en la demostración del teorema de metrización de Urysohn .
• Todo espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto del espacio de Banach (no separable) l ^∞ de todas las sucesiones reales acotadas con la norma suprema ; esto se conoce como incrustación de Fréchet. (Heinonen 2003)
• Todo espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto de C([0,1]), el espacio de Banach separable de funciones continuas [0,1] →  R , con la norma suprema . Esto se debe a Stefan Banach . (Heinonen 2003)
• Todo espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto del espacio universal de Urysohn .

Para espacios no separables :

• Un espacio métrico de densidad igual a un cardinal infinito α es isométrico a un subespacio de C([0,1] ^α , R ) , el espacio de funciones continuas reales sobre el producto de α copias del intervalo unitario. (Kleiber y Pervin 1969)

Referencias

1. Donald L. Cohn (2013). Teoría de la medida. Springer Science+Business Media ., Proposición 3.4.5.
2. Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "Propiedades de la clase de espacios compactos separables de medida" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. arXiv : math/9408201 . Bibcode :1994math......8201D. Si es una medida de Borel en , el álgebra de medida de es el álgebra de Boole de todos los conjuntos de Borel módulo -conjuntos nulos. Si es finito, entonces dicha álgebra de medida es también un espacio métrico, siendo la distancia entre los dos conjuntos la medida de su diferencia simétrica. Entonces, decimos que es separable si y solo si este espacio métrico es separable como un espacio topológico. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

• Heinonen, Juha (enero de 2003), Incrustaciones geométricas de espacios métricos (PDF) , consultado el 6 de febrero de 2009

• Kelley, John L. (1975), Topología general , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, Sr.  0370454
• Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969), "Un teorema generalizado de Banach-Mazur", Bull. Austral. Math. Soc. , 1 (2): 169–173, doi : 10.1017/S0004972700041411
• Sierpiński, Wacław (1952), Topología general , Mathematical Expositions, n.º 7, Toronto, Ontario: University of Toronto Press, MR  0050870
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446
• Willard, Stephen (1970), Topología general , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-08707-9, Sr.  0264581