Teorema de Stone-Weierstrass

En análisis matemático , el teorema de aproximación de Weierstrass establece que cada función continua definida en un intervalo cerrado $[a, b]$ puede aproximarse uniformemente tanto como se desee mediante una función polinómica . Debido a que los polinomios se encuentran entre las funciones más simples y debido a que las computadoras pueden evaluar polinomios directamente, este teorema tiene relevancia tanto práctica como teórica, especialmente en la interpolación polinomial . La versión original de este resultado fue establecida por Karl Weierstrass en 1885 utilizando la transformada de Weierstrass .

Marshall H. Stone generalizó considerablemente el teorema ^[1] y simplificó la demostración. ^[2] Su resultado se conoce como teorema de Stone-Weierstrass . El teorema de Stone-Weierstrass generaliza el teorema de aproximación de Weierstrass en dos direcciones: en lugar del intervalo real $[a, b]$ , se considera un espacio $X$ compacto arbitrario de Hausdorff , y en lugar del álgebra de funciones polinómicas, una variedad de otras familias de funciones continuas Las funciones activadas se muestran como suficientes, como se detalla a continuación. El teorema de Stone-Weierstrass es un resultado vital en el estudio del álgebra de funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff . $X$

Además, existe una generalización del teorema de Stone-Weierstrass a espacios de Tychonoff no compactos , es decir, cualquier función continua en un espacio de Tychonoff se aproxima uniformemente en conjuntos compactos mediante álgebras del tipo que aparece en el teorema de Stone-Weierstrass y se describe a continuación.

Una generalización diferente del teorema original de Weierstrass es el teorema de Mergelyan , que lo generaliza a funciones definidas en ciertos subconjuntos del plano complejo .

Teorema de aproximación de Weierstrass

El enunciado del teorema de aproximación descubierto originalmente por Weierstrass es el siguiente:

Teorema de aproximación de Weierstrass : supongamos que $f$ es una función continua de valor real definida en el intervalo real $[a, b]$ . Para cada $ε > 0$ , existe un polinomio $p$ tal que para todo $x$ en $[a, b]$ , tenemos $| f (x) - p (x) | < ε$ , o equivalentemente, la norma suprema $‖ f - p ‖ < ε$ .

En esa página se describe una prueba constructiva de este teorema utilizando polinomios de Bernstein .

Aplicaciones

Como consecuencia del teorema de aproximación de Weierstrass, se puede demostrar que el espacio $C[a, b]$ es separable : las funciones polinómicas son densas y cada función polinómica puede aproximarse uniformemente por una con coeficientes racionales ; sólo hay un número contable de polinomios con coeficientes racionales. Dado que $C[a, b]$ es metrizable y separable, se deduce que $C[a, b]$ tiene cardinalidad como máximo $2 ℵ 0$ . (Observación: este resultado de cardinalidad también se deriva del hecho de que una función continua sobre los reales está determinada únicamente por su restricción a los racionales.)

Teorema de Stone-Weierstrass, versión real

El conjunto $C[a, b]$ de funciones continuas de valor real en $[a, b]$ , junto con la norma suprema $‖ f ‖ = sup a \leq x \leq b | f (x) |$ es un álgebra de Banach , (es decir, un álgebra asociativa y un espacio de Banach tal que $‖ fg ‖ \leq ‖ f ‖\cdot‖ g ‖$ para todo $f$ $,$ $g$ ). El conjunto de todas las funciones polinómicas forma una subálgebra de $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ (es decir, un subespacio vectorial de $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ que está cerrado bajo la multiplicación de funciones), y el contenido del teorema de aproximación de Weierstrass es que esto la subálgebra es densa en $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ .

Stone comienza con un espacio $X$ compacto arbitrario de Hausdorff y considera el álgebra $C(X, R)$ de funciones continuas de valor real en $X$ , con la topología de convergencia uniforme . Quiere encontrar subálgebras de $C(X, R)$ que sean densas. Resulta que la propiedad crucial que debe satisfacer una subálgebra es que separa puntos : se dice que un conjunto $A$ de funciones definidas en $X$ separa puntos si, para cada dos puntos diferentes $xey$ $en$ X $existe$ una función $p$ en $A$ con $p$ $($ $x$ $) \neq$ $p$ $($ $y$ $)$ . Ahora podemos afirmar:

Teorema de Stone-Weierstrass (números reales) : supongamos que $X$ es un espacio compacto de Hausdorff y $A$ es una subálgebra de $C (X, R)$ que contiene una función constante distinta de cero. Entonces $A$ es denso en $C(X, R)$ si y sólo si separa puntos.

Esto implica la afirmación original de Weierstrass ya que los polinomios en $[a, b]$ forman una subálgebra de $C[a, b]$ que contiene las constantes y separa los puntos.

Versión localmente compacta

Una versión del teorema de Stone-Weierstrass también es cierta cuando $X$ es sólo localmente compacto . Sea $C 0 (X, R)$ el espacio de funciones continuas de valor real en $X$ que desaparecen en el infinito ; es decir, una función continua $f$ está en $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ si, para cada $ε$ $> 0$ , existe un conjunto compacto $K$ $\subset$ $X$ tal que $|$ $f$ $| <$ $ε$ en $X$ $\$ $K$ . Nuevamente, $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ es un álgebra de Banach con la norma suprema . Se dice que una subálgebra $A$ de $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ no desaparece en ninguna parte si no todos los elementos de $A$ desaparecen simultáneamente en un punto; es decir, para cada $x$ en $X$ , hay alguna $f$ en $A$ tal que $f$ $($ $x$ $) \neq 0$ . El teorema se generaliza de la siguiente manera:

Teorema de Stone-Weierstrass (espacios localmente compactos) : supongamos que $X$ es un espacio de Hausdorff localmente compacto y $A$ es una subálgebra de $C 0 (X, R)$ . Entonces $A$ es denso en $C 0 (X, R)$ (dada la topología de convergencia uniforme ) si y sólo si separa puntos y no desaparece en ninguna parte.

Esta versión implica claramente la versión anterior en el caso de que $X$ sea compacto, ya que en ese caso $C 0 (X, R) = C(X, R)$ . También hay versiones más generales de Stone-Weierstrass que debilitan el supuesto de compacidad local. ^[3]

Aplicaciones

El teorema de Stone-Weierstrass se puede utilizar para demostrar las dos afirmaciones siguientes, que van más allá del resultado de Weierstrass.

Si $f$ es una función continua de valor real definida en el conjunto $[$ $a$ $,$ $b$ $] \times [$ $c$ $,$ $d$ $]$ y $ε$ $> 0$ , entonces existe una función polinómica $p$ en dos variables tal que $|$ $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $) -$ $p$ $($ $x$ $,$ $y$ $) | <$ $ε$ para todo $x$ en $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ e $y$ en $[$ $c$ $,$ $d$ $]$ . ^[^{cita necesaria}^]
Si $X$ e $Y$ son dos espacios compactos de Hausdorff y $f : X \times Y \to R$ es una función continua, entonces para cada $ε > 0$ existen $n > 0$ y funciones continuas $f$ $1$ $, ...,$ $f$ $n$ sobre $X$ y funciones continuas $g$ $1$ $, ...,$ $g$ $n$ en $Y$ tal que $‖$ $f$ $- Σ$ $f$ $i$ $g$ $i$ $‖ <$ $ε$ . ^[^{cita necesaria}^]

Teorema de Stone-Weierstrass, versión compleja

Un poco más general es el siguiente teorema, donde consideramos el álgebra de funciones continuas de valores complejos en el espacio compacto , nuevamente con la topología de convergencia uniforme. Esta es un álgebra C* con la operación * dada por conjugación compleja puntual . $C(X,\mathbb {C} )$ $X$

Teorema de Stone-Weierstrass (números complejos) : sea un espacio compacto de Hausdorff y un subconjunto separador de . Entonces el complejo *-álgebra unital generado por es denso en . $X$ $S$ $C(X,\mathbb {C} )$ $S$ $C(X,\mathbb {C} )$

El álgebra unital compleja generada por consiste en todas aquellas funciones que se pueden obtener a partir de los elementos de agregando la función constante $1$ y sumándolas, multiplicándolas, conjugándolas o multiplicándolas con escalares complejos y repitiéndolas un número finito de veces. . $S$ $S$

Este teorema implica la versión real, porque si una red de funciones de valores complejos se aproxima uniformemente a una función dada, entonces las partes reales de esas funciones se aproximan uniformemente a la parte real de esa función, y porque para subconjuntos reales, tomar las partes reales del álgebra unital compleja (autoadjunta) generada concuerda con el álgebra unital real generada. $f_{n}\a f$ $\operatorname {Re} f_ {n}\to \operatorname {Re} f$ $S\subconjunto C(X,\mathbb {R} )\subconjunto C(X,\mathbb {C} ),$

Como en el caso real, una analogía de este teorema es válida para espacios de Hausdorff localmente compactos.

La siguiente es una aplicación de esta versión compleja.

Serie de Fourier : El conjunto de combinaciones lineales de funciones $e n (x) = e 2 πinx, n \in Z$ es denso en $C([0, 1]/{0, 1})$ , donde identificamos los puntos finales del intervalo $[ 0, 1]$ para obtener un círculo. Una consecuencia importante de esto es que los $e n$ son una base ortonormal del espacio $L 2 ([0, 1])$ de funciones integrables al cuadrado en $[0, 1]$ . ^{[ cita necesaria ]}

Teorema de Stone-Weierstrass, versión cuaternión

Siguiendo a Holladay (1957), considere el álgebra $C(X, H)$ de funciones continuas valoradas en cuaterniones en el espacio compacto $X$ , nuevamente con la topología de convergencia uniforme.

Si un cuaternión $q$ se escribe en la forma ${\estilo de texto q=a+ib+jc+kd}$

su parte escalar $a$ es el número real . ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$

Asimismo

la parte escalar de $- qi$ es $b$ , que es el número real . ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$
la parte escalar de $- qj$ es $c$ que es el número real . ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$
la parte escalar de $- qk$ es $d$ , que es el número real . ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$

Entonces podemos afirmar:

Teorema de Stone-Weierstrass (números de cuaterniones) : supongamos que $X$ es un espacio compacto de Hausdorff y $A$ es una subálgebra de $C (X, H)$ que contiene una función constante distinta de cero. Entonces $A$ es denso en $C(X, H)$ si y sólo si separa puntos .

Teorema de Stone-Weierstrass, versión C*-álgebra

El espacio de funciones continuas de valores complejos en un espacio compacto de Hausdorff, es decir, es el ejemplo canónico de un álgebra C* conmutativa unital . El espacio X puede verse como el espacio de estados puros en , con la topología débil-*. Siguiendo la señal anterior, una extensión no conmutativa del teorema de Stone-Weierstrass, que sigue sin resolverse, es la siguiente: $X$ $C(X,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$

Conjetura : si un álgebra C* unital tiene una subálgebra C* que separa los estados puros de , entonces . ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$

En 1960, Jim Glimm demostró una versión más débil de la conjetura anterior.

Teorema de Stone-Weierstrass (álgebras C*) ^[4] — Si un álgebra C* unital tiene una subálgebra C* que separa el espacio de estados puros (es decir, el cierre débil-* de los estados puros) de , entonces . ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$

Versiones de celosía

Sea $X$ un espacio compacto de Hausdorff. La demostración original del teorema de Stone utilizó la idea de redes en $C(X, R)$ . Un subconjunto $L$ de $C(X, R)$ se llama celosía si para dos elementos cualesquiera $f$ $,$ $g$ $\in$ $L$ , las funciones $max{$ $f$ $,$ $g$ $}, min{$ $f$ $,$ $g$ $}$ también pertenecen a $L$ . La versión reticular del teorema de Stone-Weierstrass establece:

Teorema de Stone-Weierstrass (redes) : supongamos que $X$ es un espacio compacto de Hausdorff con al menos dos puntos y $L$ es una red en $C (X, R)$ con la propiedad de que para dos elementos distintos $x$ e $y$ de $X$ y dos elementos reales cualesquiera números $a$ y $b$ existe un elemento $f$ $\in$ $L$ con $f$ $($ $x$ $) =$ $a$ y $f$ $($ $y$ $) =$ $b$ . Entonces $L$ es denso en $C($ $X$ $,$ $R$ $)$ .

Las versiones anteriores de Stone-Weierstrass se pueden probar a partir de esta versión una vez que uno se da cuenta de que la propiedad de la red también se puede formular utilizando el valor absoluto $| f |$ que a su vez puede aproximarse mediante polinomios en $f$ . Una variante del teorema se aplica a subespacios lineales de $C($ $X$ $,$ $R$ $)$ cerrados bajo máx: ^[5]

Teorema de Stone-Weierstrass (máximo cerrado) : supongamos que $X$ es un espacio compacto de Hausdorff y $B$ es una familia de funciones en $C (X, R)$ tales que

$B$ separa puntos.
$B$ contiene la función constante 1.
Si $f$ $\in$ $B$ entonces $af$ $\in$ $B$ para todas las constantes $a$ $\in$ $R$ .
Si $f$ $,$ $g$ $\in$ $B$ , entonces $f$ $+$ $g$ $, max{$ $f$ $,$ $g$ $} \in$ $B$ .

Entonces $B$ es denso en $C(X, R)$ .

Hay información más precisa disponible:

Supongamos que

X

es un espacio compacto de Hausdorff con al menos dos puntos y

L

es una red en

C(X, R)

. La función

φ \in C(X, R)

pertenece a la clausura de

L

si y sólo si para cada par de puntos distintos x e y en

X

y para cada

ε > 0

existe alguna

f

\in

L

para la cual

|

f

(

x

) -

φ

(

x

) | <

ε

|

f

(

y

) -

φ

(

y

) | <

ε

teorema del obispo

Otra generalización del teorema de Stone-Weierstrass se debe a Errett Bishop . El teorema de Bishop es el siguiente: ^[6]

Teorema de Bishop : sea $A$ una subálgebra cerrada del álgebra compleja de Banach $C (X, C)$ de funciones continuas de valores complejos en un espacio compacto de Hausdorff $X$ , utilizando la norma suprema. Para $S \subset X$ escribimos $A S = {g| S : gramo \in A}$ . Supongamos que $f \in C(X, C)$ tiene la siguiente propiedad:

f | S \in A S

para todo conjunto máximo

S \subset X

tal que todas las funciones reales de

A S

sean constantes.

Entonces $f$ $\in$ $A$ .

Glicksberg (1962) ofrece una breve demostración del teorema de Bishop utilizando de manera esencial el teorema de Krein-Milman , así como el teorema de Hahn-Banach : el proceso de Louis de Branges (1959). Véase también Rudin (1973, §5.7).

teorema de nachbin

El teorema de Nachbin proporciona un análogo del teorema de Stone-Weierstrass para álgebras de funciones suaves con valores complejos en una variedad suave. ^[7] El teorema de Nachbin es el siguiente: ^[8]

Teorema de Nachbin : sea $A$ una subálgebra del álgebra $C \infty (M)$ de funciones suaves en una variedad suave de dimensión finita $M$ . Supongamos que $A$ separa los puntos de $M$ y también separa los vectores tangentes de $M$ : para cada punto m ∈ M y vector tangente v en el espacio tangente en m , existe una f ∈ $A$ tal que d f ( x )( v ) ≠ 0. Entonces $A$ es denso en $C \infty (M)$ .

Historia editorial

En 1885 también se publicó una versión en inglés del artículo cuyo título era Sobre la posibilidad de dar una representación analítica a una función arbitraria de variable real . ^[9]^[10]^[11]^[12]^[13] Según la matemática Yamilet Quintana , Weierstrass "sospechaba que algunas funciones analíticas podían representarse mediante series de potencias ". ^[13]^[12]

Ver también

Teorema de Müntz-Szász
polinomio de Bernstein
El fenómeno de Runge muestra que encontrar un polinomio $P$ tal que $f$ $($ $x$ $) =$ $P$ $($ $x$ $) para algún$ $x$ $=$ $x$ $n$ finamente espaciado es una mala manera de intentar encontrar un polinomio que se aproxime $a f$ uniformemente. Un mejor enfoque, explicado, por ejemplo, en Rudin (1976), p. 160, ecuación. (51) y sigs., consiste en construir polinomios $P$ que se aproximan uniformemente $a f$ tomando la convolución de $f$ con una familia de núcleos polinomiales adecuadamente elegidos.
Teorema de Mergelyan , relativo a aproximaciones polinómicas de funciones complejas.

Notas

^ Stone, MH (1937), "Aplicaciones de la teoría de los anillos booleanos a la topología general", Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10.2307/1989788 , JSTOR 1989788
^ Stone, MH (1948), "El teorema de aproximación generalizado de Weierstrass", Revista de matemáticas , 21 (4): 167–184, doi :10.2307/3029750, JSTOR 3029750, MR 0027121; 21 (5), 237–254.
^ Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley. pag. 293.ISBN 0-486-43479-6.
^ Glimm, James (1960). "Un teorema de Stone-Weierstrass para álgebras C *". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 72 (2): 216–244 [Teorema 1]. doi :10.2307/1970133. JSTOR 1970133.
^ Hewitt, E ; Stromberg, K (1965), Análisis real y abstracto , Springer-Verlag, Teorema 7.29
^ Bishop, Errett (1961), "Una generalización del teorema de Stone-Weierstrass", Pacific Journal of Mathematics , 11 (3): 777–783, doi : 10.2140/pjm.1961.11.777
^ Nachbin, L. (1949), "Sur les algèbres densas de funciones diferenciables sur une variété", CR Acad. Ciencia. París , 228 : 1549-1551
^ Llavona, José G. (1986), Aproximación de funciones continuamente diferenciables , Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 9780080872414
^ Pinkus, Allan. "Weierstrass y la teoría de la aproximación" (PDF) . Revista de teoría de la aproximación . 107 (1): 8. ISSN 0021-9045. OCLC 4638498762. Archivado (PDF) desde el original el 19 de octubre de 2013 . Consultado el 3 de julio de 2021 .
^ Pinkus, Allan (2004). "Métodos de densidad y resultados en teoría de aproximación". Volumen del centenario de Orlicz . Publicaciones del Centro Banach. 64 . Instituto de Matemáticas, Academia Polaca de Ciencias : 3. CiteSeerX 10.1.1.62.520 . ISSN 0137-6934. OCLC 200133324. Archivado desde el original el 3 de julio de 2021.
^ Ciesielski, Zbigniew ; Pełczyński, Aleksander ; Skrzypczak, Leszek (2004). Volumen del centenario de Orlicz: actas de las conferencias "La Conferencia del Centenario de Wladyslaw Orlicz" y Espacios funcionales VII: Poznan, 20-25 de julio de 2003. Vol. 1, núm. I, Conferencias plenarias. Publicaciones del Centro Banach. vol. 64. Instituto de Matemáticas. Academia Polaca de Ciencias. pag. 175. OCLC 912348549.
^ ab Quintana, Yamilet; Pérez D. (2008). "Un estudio sobre el teorema de aproximación de Weierstrass". Divulgaciones Matemáticas . 16 (1): 232. OCLC 810468303 . Consultado el 3 de julio de 2021 . La percepción de Weierstrass sobre las funciones analíticas era la de funciones que podían representarse mediante series de potencias.(arXiv 0611038v2).
^ ab Quintana, Yamilet (2010). "Sobre las extensiones de Hilbert del teorema de Weierstrass con pesos". Revista de espacios funcionales . 8 (2). Horizonte científico: 202. arXiv : math/0611034 . doi : 10.1155/2010/645369 . ISSN 0972-6802. OCLC 7180746563.(arXiv 0611034v3). Citando: DS Lubinsky, El teorema de Weierstrass en el siglo XX: una selección , en Quaestiones Mathematicae 18 (1995), 91-130.

Referencias

Holladay, John C. (1957), "El teorema de Stone-Weierstrass para los cuaterniones" (PDF) , Proc. América. Matemáticas. Soc. , 8 : 656, doi : 10.1090/S0002-9939-1957-0087047-7.
Louis de Branges (1959), "El teorema de Stone-Weierstrass", Proc. América. Matemáticas. Soc. , 10 (5): 822–824, doi : 10.1090/s0002-9939-1959-0113131-7.
Jan Brinkhuis y Vladimir Tikhomirov (2005) Optimización: conocimientos y aplicaciones , Princeton University Press ISBN 978-0-691-10287-0 SEÑOR 2168305.
Glimm, James (1960), "Un teorema de Stone-Weierstrass para álgebras C*", Annals of Mathematics , segunda serie, 72 (2): 216–244, doi :10.2307/1970133, JSTOR 1970133
Glicksberg, Irving (1962), "Medidas ortogonales a álgebras y conjuntos de antisimetría", Transactions of the American Mathematical Society , 105 (3): 415–435, doi : 10.2307/1993729 , JSTOR 1993729.
Rudin, Walter (1976), Principios del análisis matemático (3.ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8
Rudin, Walter (1973), Análisis funcional , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8.
JG Burkill, Conferencias sobre aproximación por polinomios (PDF).

Obras historicas

La publicación histórica de Weierstrass (en idioma alemán ) está disponible gratuitamente en el archivo digital en línea de la Brandenburgische Akademie der Wissenschaften de Berlín :

K. Weierstrass (1885). Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 1885 (II).
Erste Mitteilung (parte 1) págs. 633–639, Zweite Mitteilung (parte 2) págs.

enlaces externos

"Teorema de Stone-Weierstrass", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]