Topología abierta y compacta

En matemáticas , la topología compacta-abierta es una topología definida sobre el conjunto de mapas continuos entre dos espacios topológicos . La topología compacta-abierta es una de las topologías comúnmente utilizadas en espacios funcionales y se aplica en la teoría de la homotopía y el análisis funcional . Fue introducido por Ralph Fox en 1945. ^[1]

Si el codominio de las funciones consideradas tiene una estructura uniforme o una estructura métrica, entonces la topología compacta-abierta es la "topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos ". Es decir, una secuencia de funciones converge en la topología compacta-abierta precisamente cuando converge uniformemente en cada subconjunto compacto del dominio . ^[2]

Definición

Sean $X$ e $Y$ dos espacios topológicos , y denotemos por $C (X, Y)$ el conjunto de todas las aplicaciones continuas entre $X$ e $Y.$ Dado un subconjunto compacto $K$ de $X$ y un subconjunto abierto $U$ de $Y$ , sea $V (K, U)$ el conjunto de todas las funciones $f$ $\in$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ tales que $f$ $($ $K$ $)$ $\subseteq$ $U.$ En otras palabras, . Entonces, la colección de todos esos $V$ $($ $K$ $,$ $U$ $)$ es una subbase para la topología compacta-abierta en $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ . (Esta colección no siempre forma una base para una topología en $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ .) $V(K,U)=C(K,U)\times _ {C(K,Y)}C(X,Y)$

Cuando se trabaja en la categoría de espacios generados compactamente , es común modificar esta definición restringiendo a la subbase formada a partir de aquellas $K$ que son imagen de un espacio compacto de Hausdorff . Por supuesto, si $X$ se genera de forma compacta y Hausdorff, esta definición coincide con la anterior. Sin embargo, la definición modificada es crucial si se quiere que la categoría conveniente de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta sea cartesiana cerrada , entre otras propiedades útiles. ^[3]^[4]^[5] La confusión entre esta definición y la anterior se debe al uso diferente de la palabra compacto .

Si $X$ es localmente compacto, entonces de la categoría de espacios topológicos siempre tiene un adjunto derecho . Este adjunto coincide con la topología abierta compacta y puede usarse para definirla de forma única. Se puede considerar que la modificación de la definición de espacios generados de forma compacta toma el adjunto del producto en la categoría de espacios generados de forma compacta en lugar de la categoría de espacios topológicos, lo que garantiza que siempre exista el adjunto correcto. $X\veces -$ $Hom(X,-)$

Propiedades

Si $*$ es un espacio de un punto, entonces se puede identificar C $(*, Y)$ con $Y$ , y bajo esta identificación la topología compacta-abierta concuerda con la topología en $Y.$ De manera más general, si $X$ es un espacio discreto , entonces $C (X, Y)$ puede identificarse con el producto cartesiano de $| X |$ copias de $Y$ y la topología compacta-abierta concuerda con la topología del producto .
Si $Y$ es $T 0$ , $T 1$ , Hausdorff , regular o Tychonoff , entonces la topología compacta-abierta tiene el axioma de separación correspondiente .
Si $X$ es Hausdorff y $S$ es una subbase para $Y$ , entonces la colección ${V (K, U): U \in S, K compact}$ es una subbase para la topología compacta-abierta en $C (X, Y)$ . ^[6]
Si $Y$ es un espacio métrico (o más generalmente, un espacio uniforme ), entonces la topología compacta-abierta es igual a la topología de convergencia compacta . En otras palabras, si $Y$ es un espacio métrico, entonces una secuencia ${f n}$ converge a $f$ en la topología compacta-abierta si y sólo si para cada subconjunto compacto $K$ de $X$ , ${$ $f$ $n$ $}$ converge uniformemente a $f$ en $K.$ Si $X$ es compacto e $Y$ es un espacio uniforme, entonces la topología compacta-abierta es igual a la topología de convergencia uniforme .
Si $X, Y$ y $Z$ son espacios topológicos, con $Y$ Hausdorff localmente compacto (o incluso simplemente preregular localmente compacto ), entonces el mapa de composición $C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z),$ dado por $(f, g) \mapsto f \circ g,$ es continuo (aquí todos los espacios funcionales reciben la topología compacta-abierta y $C (Y, Z) \times C (X, Y)$ recibe la topología del producto ).
Si $X$ es un espacio de Hausdorff (o preregular) localmente compacto, entonces el mapa de evaluación $e : C (X, Y) \times X \to Y$ , definido por $e (f, x) = f (x)$ , es continuo. Esto puede verse como un caso especial de lo anterior donde $X$ es un espacio de un punto.
Si $X$ es compacto e $Y$ es un espacio métrico con métrica $d$ , entonces la topología compacta-abierta en $C (X, Y)$ es metrizable , y una métrica para ello viene dada por $e (f, g) = sup {d (f (x), g (x)): x en X},$ para $f$ $,$ $g$ en $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ .

Aplicaciones

La topología abierta compacta se puede utilizar para topología de los siguientes conjuntos: ^[7]

$\Omega (X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=f(1)=x_{0}\}$ , el espacio de bucle de en , $X$ $x_{0}$
$E(X,x_{0},x_{1})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}{\text{ y }}f(1)=x_{ 1}\}$ ,
$E(X,x_{0})=\{f:I\to X:f(0)=x_{0}\}$ .

Además, existe una equivalencia de homotopía entre los espacios . ^[7] Estos espacios topológicos son útiles en la teoría de la homotopía porque pueden usarse para formar un espacio topológico y un modelo para el tipo de homotopía del conjunto de clases de mapas de homotopía. $C(\Sigma X,Y)\cong C(X,\Omega Y)$ $C(X,Y)$

\pi (X,Y)=\{[f]:X\to Y|f{\text{ es una clase de homotopía}}\}.

Esto se debe a que es el conjunto de componentes de la ruta , es decir, hay un isomorfismo de conjuntos. $\pi (X,Y)$ $C(X,Y)$

\pi (X,Y)\to C(I,C(X,Y))/\sim

¿Dónde está la equivalencia de homotopía? ${\displaystyle\sim}$

Funciones diferenciables de Fréchet

Sean $X$ e $Y$ dos espacios de Banach definidos sobre el mismo campo , y sea $C m (U, Y)$ el conjunto de todas $las m funciones$ diferenciables continuamente de Fréchet del subconjunto abierto $U \subseteq X$ a $Y.$ La topología compacta-abierta es la topología inicial inducida por las seminormas.

p_{K}(f)=\sup \left\{\left\|D^{j}f(x)\right\|\ :\ x\in K,0\leq j\leq m\ bien\}

donde $D 0 f (x) = f (x)$ , para cada subconjunto compacto $K \subseteq U$ . ^{[ se necesita aclaración ]}

Ver también

Topología de convergencia uniforme
Convergencia uniforme : modo de convergencia de una secuencia de funciones

Referencias

^ Zorro, Ralph H. (1945). "Sobre topologías para espacios funcionales". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 51 (6): 429–433. doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08370-0 .
^ Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer-Verlag. pag. 230.
^ McCord, MC (1969). "Clasificación de espacios y productos simétricos infinitos". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 146 : 273–298. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251719-4 . JSTOR 1995173.
^ "Un curso conciso en topología algebraica" (PDF) .
^ "Espacios generados de forma compacta" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 14 de enero de 2012 .
^ Jackson, James R. (1952). "Espacios de mapeos sobre productos topológicos con aplicaciones a la teoría de la homotopía" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 3 (2): 327–333. doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047322-4 . JSTOR 2032279.
^ ab Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitri. Topología homotópica (2ª ed.). págs. 20-23.

Dugundji, J. (1966). Topología . Allyn y Becon. ASIN B000KWE22K.
O.Ya. Viro, OA Ivanov, VM Kharlamov y N.Yu. Netsvetaev (2007) Libro de texto sobre Problemas de topología elemental.
"Topología compacta-abierta". PlanetMath .
Topología y grupoides Sección 5.9 Ronald Brown, 2006