Topologías en espacios de mapas lineales.

En matemáticas , particularmente en análisis funcional , los espacios de aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales pueden estar dotados de una variedad de topologías . El estudio del espacio de mapas lineales y estas topologías puede dar una idea de los espacios mismos.

El artículo Topologías de operadores analiza topologías en espacios de mapas lineales entre espacios normados , mientras que este artículo analiza topologías en dichos espacios en el entorno más general de espacios vectoriales topológicos (TVS).

Topologías de convergencia uniforme en espacios arbitrarios de mapas.

En todo momento se asume lo siguiente:

1. ${\displaystyle T}$es cualquier conjunto no vacío y es una colección no vacía de subconjuntos de inclusión dirigida por subconjunto (es decir, para cualquiera existe algo tal que ). ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$
2. ${\displaystyle Y}$es un espacio vectorial topológico (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo).
3. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$es una base de vecindades de 0 en ${\displaystyle Y.}$
4. ${\displaystyle F}$es un subespacio vectorial de ^{[nota 1]} que denota el conjunto de funciones totalmente valoradas con dominio ${\displaystyle Y^{T}=\prod _{t\in T}Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:T\to Y}$ ${\displaystyle T.}$

𝒢-topología

Los siguientes conjuntos constituirán los subconjuntos abiertos básicos de topologías en espacios de mapas lineales. Para cualquier subconjunto y dejar ${\displaystyle G\subseteq T}$ ${\displaystyle N\subseteq Y,}$

$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N):=\{f\in F:f(G)\subseteq N\}.}$$

La familia

$${\displaystyle \{{\mathcal {U}}(G,N):G\in {\mathcal {G}},N\in {\mathcal {N}}\}}$$

base de vecindad ^[1]notopología de convergencia uniforme en los conjuntos entopología^[2][3] ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Se dice que un subconjunto de es fundamental con respecto a si cada uno es un subconjunto de algún elemento en En este caso, la colección se puede reemplazar sin cambiar la topología en ^[2] También se puede reemplazar con la colección de todos los subconjuntos de todos uniones finitas de elementos de sin cambiar la topología resultante en ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F.}$

Llame a un subconjunto de -limitado si es un subconjunto acotado de para cada ^[5] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in F.}$

Teorema ^{[2] [5]}  —  La topología on es compatible con la estructura del espacio vectorial de si y sólo si cada está acotado; es decir, si y sólo si para todos y cada uno está acotado en ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\in F,}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle Y.}$

Propiedades

A continuación se describirán las propiedades de los conjuntos abiertos básicos, así que supongamos que y Then es un subconjunto absorbente de si y sólo si para todos los absorbentes . ^[6] Si está equilibrado ^[6] (respectivamente, convexo ), entonces también lo está ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N).}$

La igualdad siempre se cumple. Si es un escalar entonces , en particular, ^[6] Además, ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {U}}(\varnothing ,N)=F}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,sN),}$ ${\displaystyle -{\mathcal {U}}(G,N)={\mathcal {U}}(G,-N).}$

$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)-{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N-N)}$$

^[5]

$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)+{\mathcal {U}}(G,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M+N).}$$

Para cualquier subconjunto y cualquier subconjunto no vacío ^[5] ${\displaystyle G,H\subseteq X}$ ${\displaystyle M,N\subseteq Y,}$

$${\displaystyle {\mathcal {U}}(G\cup H,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N)}$$

• si entonces ^[6] ${\displaystyle M\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,M)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• si entonces ${\displaystyle G\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(H,N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,N).}$
• Para cualquiera y subconjuntos de if entonces ${\displaystyle M,N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle G,H,K}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(K,M\cap N)\subseteq {\mathcal {U}}(G,M)\cap {\mathcal {U}}(H,N).}$

Para cualquier familia de subconjuntos de y cualquier familia de barrios del origen en ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle Y,}$

$${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S,N\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}{\mathcal {U}}(S,N)\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {U}}\left(G,\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}M\right)=\bigcap _{M\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {U}}(G,M).}$$

Estructura uniforme

Para cualquier y ser cualquier séquito de (donde está dotado de su uniformidad canónica ), dejemos ${\displaystyle G\subseteq T}$ ${\displaystyle U\subseteq Y\times Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)~:=~\left\{(u,v)\in Y^{T}\times Y^{T}~:~(u(g),v(g))\in U\;{\text{ for every }}g\in G\right\}.}$$

uniformidad de convergencia uniformeconvergencia de estructura uniforme^[7]​​estructura uniforme de convergencia^[7] ${\displaystyle G\subseteq T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}(G,U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Redes y convergencia uniforme

Sea y sea una red en Then para cualquier subconjunto de digamos que converja uniformemente a on si para cada existe algo tal que para cada satisfactorio (o equivalentemente, para cada ). ^[5] ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle i\geq i_{0},I}$ ${\displaystyle f_{i}-f\in {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle f_{i}(g)-f(g)\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$

Teorema ^[5]  -  Si y si es una red en entonces en la topología en si y solo si para cada converge uniformemente a en ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle f_{\bullet }\to f}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G.}$

Propiedades heredadas

Convexidad local

Si es localmente convexo , entonces también lo es la topología y si es una familia de seminormas continuas que generan esta topología, entonces la topología es inducida por la siguiente familia de seminormas: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

$${\displaystyle p_{G,i}(f):=\sup _{x\in G}p_{i}(f(x)),}$$

^[8] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

hausdorffness

Si es Hausdorff y entonces la topología es Hausdorff. ^[5] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T=\bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$

Supongamos que es un espacio topológico. Si es Hausdorff y es el subespacio vectorial que consta de todos los mapas continuos que están acotados en cada y si es denso, entonces la topología es Hausdorff. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$

Limitación

Un subconjunto de está acotado en la topología si y sólo si para cada está acotado en ^[8] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H(G)=\bigcup _{h\in H}h(G)}$ ${\displaystyle Y.}$

Ejemplos de topologías 𝒢

Convergencia puntual

Si dejamos que sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de entonces la topología se llama topología de convergencia puntual . La topología de convergencia puntual es idéntica a la topología subespacial que hereda de cuando está dotada de la topología de producto habitual . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle Y^{T}}$

Si es un espacio topológico de Hausdorff completamente regular y no trivial y es el espacio de todas las funciones continuas valoradas reales (o complejas) en la topología de convergencia puntual es metrizable si y solo si es contable. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

𝒢-topologías en espacios de mapas lineales continuos

A lo largo de esta sección asumiremos que y son espacios vectoriales topológicos . será una colección no vacía de subconjuntos de dirigidos por inclusión. denotará el espacio vectorial de todos los mapas lineales continuos desde dentro. Si se da la topología heredada de entonces, este espacio con esta topología se denota por . El espacio dual continuo de un espacio vectorial topológico sobre el campo (que asumiremos que son números reales o complejos ) es el espacio vectorial y se denota por . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle L(X;\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

La topología en es compatible con la estructura del espacio vectorial de si y sólo si para todos y todo el conjunto está acotado, como asumiremos en el resto del artículo. Tenga en cuenta en particular que este es el caso si consta de subconjuntos acotados (von-Neumann) de ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f\in L(X;Y)}$ ${\displaystyle f(G)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

Supuestos sobre 𝒢

Supuestos que garantizan una topología vectorial

• ( está dirigido): será una colección no vacía de subconjuntos de inclusión dirigida por (subconjunto). Es decir, para cualquiera existe tal que . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G,H\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$

La suposición anterior garantiza que la colección de conjuntos forma una base de filtro . El siguiente supuesto garantizará que los conjuntos estén equilibrados . Cada TVS tiene una base de vecindad en 0 que consta de conjuntos equilibrados, por lo que esta suposición no es complicada. ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$

• ( están balanceados): es una vecindad base del origen en la que se compone íntegramente de conjuntos balanceados . ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle Y}$

La siguiente suposición se hace muy comúnmente porque garantizará que cada conjunto absorba en ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$ ${\displaystyle L(X;Y).}$

• ( están acotados): se supone que consiste enteramente en subconjuntos acotados de ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

El siguiente teorema proporciona formas en las que se pueden modificar sin cambiar la topología resultante. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y.}$

Teorema ^[6]  -  Sea una colección no vacía de subconjuntos acotados de Entonces la topología de no se modifica si se reemplaza por cualquiera de las siguientes colecciones de subconjuntos (también acotados) de : ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$

1. todos los subconjuntos de todas las uniones finitas de conjuntos en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
2. todos los múltiplos escalares de todos los conjuntos en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
3. todas las sumas finitas de Minkowski de conjuntos en ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
4. el casco equilibrado de cada conjunto ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$
5. el cierre de cada set ; ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

y si y son localmente convexos, entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

6. el casco cerrado , convexo y equilibrado de cada conjunto en ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Supuestos comunes

Algunos autores (por ejemplo, Narici) exigen que se cumpla la siguiente condición, lo que implica, en particular, que esté dirigido por la inclusión de subconjuntos: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$se supone cerrado con respecto a la formación de subconjuntos de uniones finitas de conjuntos en (es decir, cada subconjunto de cada unión finita de conjuntos en pertenece a ). ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Algunos autores (por ejemplo, Trèves ^[9] ) exigen que esté dirigido bajo inclusión de subconjunto y que cumpla la siguiente condición: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Si y es un escalar entonces existe tal que ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle sG\subseteq H.}$

Si se trata de una bornología que suele ser el caso, entonces estos axiomas se cumplen. Si es una familia saturada de subconjuntos acotados de entonces estos axiomas también se cumplen. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

hausdorffness

Un subconjunto de un TVS cuyo tramo lineal es un subconjunto denso de se dice que es un subconjunto total de Si es una familia de subconjuntos de un TVS, entonces se dice que es total si el tramo lineal de es denso en ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \bigcup _{G\in {\mathcal {G}}}G}$ ${\displaystyle T.}$

Si es el subespacio vectorial que consta de todos los mapas lineales continuos que están acotados en cada uno, entonces la topología es Hausdorff si es Hausdorff y es total en ^[6] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y^{T}}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T.}$

Lo completo

Para los siguientes teoremas, supongamos que es un espacio vectorial topológico y es un espacio de Hausdorff localmente convexo y es una colección de subconjuntos acotados que cubre está dirigido por inclusión de subconjuntos y satisface la siguiente condición: si y es un escalar, entonces existe un tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle sG\subseteq H.}$

• ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$está completo si
  1. ${\displaystyle X}$es localmente convexo y Hausdorff,
  2. ${\displaystyle Y}$está completo y
  3. siempre que sea un mapa lineal, entonces restringido a cada conjunto es continuo implica que es continuo, ${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle u}$
• Si es un espacio Mackey, entonces está completo si y sólo si ambos y están completos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle X_{\mathcal {G}}^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$
• Si tiene cañón, entonces es Hausdorff y casi completo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
• Sean y TVS cuasi completos y supongamos que (1) tiene forma de barril , o bien (2) es un espacio de Baire y y son localmente convexos. Si cubre, entonces todo subconjunto cerrado equicontinuo de está completo y es cuasicompleto. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
• Sea un espacio bornológico , un espacio localmente convexo y una familia de subconjuntos acotados de tal manera que el rango de cada secuencia nula esté contenido en algún Si es cuasi completo (respectivamente, completo ), entonces también lo es . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$

Limitación

Sean y espacios vectoriales topológicos y un subconjunto de Entonces los siguientes son equivalentes: ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y).}$

1. ${\displaystyle H}$está limitado en ; ${\displaystyle L_{\mathcal {G}}(X;Y)}$
2. Porque todo está limitado ; ^[8] ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H(G):=\bigcup _{h\in H}h(G)}$ ${\displaystyle Y}$
3. Para cada vecindad del origen en el conjunto absorbe cada ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}.}$

Si es una colección de subconjuntos acotados cuya unión es total en entonces cada subconjunto equicontinuo de está acotado en la topología. ^[11] Además, si y son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

• si está acotado en (es decir, acotado puntualmente o simplemente acotado), entonces está acotado en la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos completos, acotados, equilibrados y convexos de ^[13] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$
• si es casi completo (lo que significa que los subconjuntos cerrados y acotados están completos), entonces los subconjuntos acotados de son idénticos para todas las topologías, donde es cualquier familia de subconjuntos acotados de cobertura ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

La topología de la convergencia puntual.

Al dejar ser el conjunto de todos los subconjuntos finitos de tendrá la topología débil o la topología de convergencia puntual o la topología de convergencia simple y con esta topología se denota por . Desafortunadamente, esta topología a veces también se denomina topología de operador fuerte , lo que puede generar ambigüedad; ^[6] por esta razón, este artículo evitará referirse a esta topología con este nombre. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

Un subconjunto de se llama simplemente acotado o débilmente acotado si está acotado en . ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$

La topología débil tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle L(X;Y)}$

• Si es separable (es decir, tiene un subconjunto denso contable) y si es un espacio vectorial topológico metrizable, entonces todo subconjunto equicontinuo de es metrizable; si además es separable entonces también lo es ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H.}$
  • Entonces, en particular, en cada subconjunto equicontinuo de la topología de la convergencia puntual es metrizable. ${\displaystyle L(X;Y),}$
• Denotemos el espacio de todas las funciones desde hacia Si se da la topología de convergencia puntual, entonces el espacio de todas las funciones lineales (continuas o no) hacia está cerrado . ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$
  • Además, es denso en el espacio de todos los mapas lineales (continuos o no) en ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
• Supongamos que y son localmente convexos. Cualquier subconjunto simplemente acotado de está acotado cuando tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos convexos, equilibrados , acotados y completos de. Si además es cuasi completo, entonces las familias de subconjuntos acotados de son idénticas para todas las topologías en tal que sea una familia. de conjuntos acotados que cubren ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$

Subconjuntos equicontinuos

• El cierre débil de un subconjunto equicontinuo de es equicontinuo. ${\displaystyle L(X;Y)}$
• Si es localmente convexo, entonces el casco equilibrado convexo de un subconjunto equicontinuo de es equicontinuo. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
• Sean y TVS y supongamos que (1) tiene forma de barril , o bien (2) es un espacio de Baire y y son localmente convexos. Entonces todo subconjunto simplemente acotado de es equicontinuo. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$
• En un subconjunto equicontinuo, las siguientes topologías son idénticas: (1) topología de convergencia puntual en un subconjunto total de ; (2) la topología de la convergencia puntual; (3) la topología de la convergencia precompacta. ^[11] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(X;Y),}$ ${\displaystyle X}$

Convergencia compacta

Al dejar ser el conjunto de todos los subconjuntos compactos de tendrá la topología de convergencia compacta o la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos y con esta topología se denota por . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$

La topología de convergencia compacta tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle L(X;Y)}$

• Si es un espacio de Fréchet o un espacio LF y si es un espacio de Hausdorff localmente convexo completo , entonces está completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$
• En subconjuntos equicontinuos de las siguientes topologías coinciden: ${\displaystyle L(X;Y),}$
  • La topología de la convergencia puntual en un subconjunto denso de ${\displaystyle X,}$
  • La topología de la convergencia puntual en ${\displaystyle X,}$
  • La topología de la convergencia compacta.
  • La topología de la convergencia precompacta.
• Si es un espacio de Montel y es un espacio vectorial topológico, entonces y tienen topologías idénticas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{c}(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Topología de convergencia limitada

Al dejar ser el conjunto de todos los subconjuntos acotados de tendrá la topología de convergencia acotada o la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados y con esta topología se denota por . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

La topología de convergencia limitada tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle L(X;Y)}$

• Si es un espacio bornológico y si es un espacio de Hausdorff localmente convexo completo , entonces es completo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
• Si y son ambos espacios normados, entonces la topología inducida por la norma del operador habitual es idéntica a la topología inducida por la norma del operador habitual . ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
  • En particular, si es un espacio normado, entonces la topología normal habitual en el espacio dual continuo es idéntica a la topología de convergencia acotada en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Todo subconjunto equicontinuo de está acotado en . ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$

Topologías polares

En todo momento, asumimos que se trata de un TVS. ${\displaystyle X}$

𝒢-topologías versus topologías polares

Si es un TVS cuyos subconjuntos acotados son exactamente los mismos que sus subconjuntos débilmente acotados (por ejemplo, si es un espacio localmente convexo de Hausdorff), entonces una topología -on (como se define en este artículo) es una topología polar y, a la inversa, toda topología polar si una topología. En consecuencia, en este caso los resultados mencionados en este artículo se pueden aplicar a topologías polares. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Sin embargo, si es un TVS cuyos subconjuntos acotados no son exactamente los mismos que sus subconjuntos débilmente acotados, entonces la noción de "acotado en " es más fuerte que la noción de " -acotado en " (es decir, acotado en implica -acotado en ), de modo que una topología (como se define en este artículo) no es necesariamente una topología polar. Una diferencia importante es que las topologías polares son siempre localmente convexas, mientras que las topologías -no tienen por qué serlo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Las topologías polares tienen resultados más sólidos que las topologías más generales de convergencia uniforme descritas en este artículo y remitimos la lectura al artículo principal: topología polar . Aquí enumeramos algunas de las topologías polares más comunes.

Lista de topologías polares

Supongamos que es un TVS cuyos subconjuntos acotados son los mismos que sus subconjuntos débilmente acotados. ${\displaystyle X}$

Notación : si denota una topología polar, entonces dotado de esta topología se denotará por o simplemente (por ejemplo, tendríamos que y todos denotaremos con dotado de ). ${\displaystyle \Delta (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$

𝒢-ℋ topologías en espacios de mapas bilineales

Denotaremos el espacio de mapas bilineales continuos por separado y denotaremos el espacio de mapas bilineales continuos, donde y son espacios vectoriales topológicos sobre el mismo campo (ya sean números reales o complejos). De manera análoga a cómo colocamos una topología en podemos colocar una topología en y . ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$

Sean (respectivamente, ) una familia de subconjuntos de (respectivamente, ) que contienen al menos un conjunto no vacío. Denotemos la colección de todos los conjuntos donde podemos ubicar en la topología y, en consecuencia, en cualquiera de sus subconjuntos, en particular on y on . Esta topología se conoce como topología - o topología de convergencia uniforme en los productos de . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}},}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}.}$ ${\displaystyle Z^{X\times Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\times {\mathcal {H}}}$

Sin embargo, como antes, esta topología no es necesariamente compatible con la estructura del espacio vectorial de o sin el requisito adicional de que para todos los mapas bilineales, en este espacio (es decir, en o en ) y para todos y el conjunto esté acotado en If ambos y consisten en conjuntos acotados, entonces este requisito se cumple automáticamente si estamos topogizando, pero este puede no ser el caso si estamos intentando topogizar . La topología de será compatible con la estructura del espacio vectorial de si ambos y consisten en conjuntos acotados y se cumple cualquiera de las siguientes condiciones: ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}},}$ ${\displaystyle b(G,H)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle B(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}-{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• ${\displaystyle X}$y son espacios en forma de cañón y son localmente convexos. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$
• ${\displaystyle X}$es un espacio F , es metrizable y es Hausdorff, en cuyo caso ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)=B(X,Y;Z).}$
• ${\displaystyle X,Y,}$y son los duales fuertes de los espacios reflexivos de Fréchet. ${\displaystyle Z}$
• ${\displaystyle X}$está normado y y los duales fuertes de los espacios reflexivos de Fréchet. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

La topología ε

Supongamos que y son espacios localmente convexos y sean y las colecciones de subconjuntos equicontinuos de y , respectivamente. Entonces la topología será una topología de espacio vectorial topológico. Esta topología se llama ε-topología y con esta topología se denota por o simplemente por ${\displaystyle X,Y,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\prime }-{\mathcal {H}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)};Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{b\left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}$

Parte de la importancia de este espacio vectorial y esta topología es que contiene muchos subespacios, como los que denotamos por Cuando se da este subespacio, su topología subespacial se denota por ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Z\right),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right).}$

En el caso de que el campo de estos espacios vectoriales sea un producto tensorial de y. De hecho, si y son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces el espacio vectorial es isomorfo, lo que a su vez es igual a ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma (Y^{\prime },Y)}\right),}$ ${\displaystyle L\left(X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y\right).}$

Estos espacios tienen las siguientes propiedades:

• Si y son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces es completo si y sólo si ambos y son completos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Si y están ambos normados (respectivamente, ambos Banach), entonces también lo está ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\epsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}$

Ver también

• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Operador lineal acotado  : transformación lineal entre espacios vectoriales topológicosPages displaying short descriptions of redirect targets
• sistema dual
• Topología dual
• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Modos de convergencia  : propiedad de una secuencia o serie
• Norma del operador  – Medida del "tamaño" de los operadores lineales
• Topología polar  : topología de espacio dual de convergencia uniforme en alguna subcolección de subconjuntos acotados
• Espacio dual fuerte  : espacio dual continuo dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados
• Topologías sobre el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Convergencia uniforme  : modo de convergencia de una secuencia de funciones
• Espacio uniforme  : espacio topológico con noción de propiedades uniformes.
• Topología débil  - Término matemático
  • Topología vaga

Referencias

1. Debido a que es solo un conjunto que aún no se supone que esté dotado de ninguna estructura de espacio vectorial, aún no se debe suponer que consta de mapas lineales, que es una notación que actualmente no se puede definir. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F\subseteq Y^{T}}$

1. Tenga en cuenta que cada conjunto es una vecindad del origen de esta topología, pero no es necesariamente una vecindad abierta del origen. ${\displaystyle {\mathcal {U}}(G,N)}$
2. Schaefer y Wolff 1999, págs. 79–88.
3. En la práctica, generalmente consiste en una colección de conjuntos con ciertas propiedades y este nombre se cambia apropiadamente para reflejar este conjunto de modo que si, por ejemplo, es la colección de subconjuntos compactos de (y es un espacio topológico), entonces esta topología es llamada topología de convergencia uniforme en los subconjuntos compactos de ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T.}$
4. Narici y Beckenstein 2011, págs.
5. Jarchow 1981, págs.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs. 371–423.
7. Grothendieck 1973, págs. 1-13.
8. Schaefer y Wolff 1999, pág. 81.
9. Trèves 2006, Capítulo 32.
10. Schaefer y Wolff 1999, pág. 80.
11. Schaefer y Wolff 1999, pág. 83.
12. Schaefer y Wolff 1999, pág. 117.
13. Schaefer y Wolff 1999, pág. 82.
14. Schaefer y Wolff 1999, pág. 87.

Bibliografía

• Grothendieck, Alejandro (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon y Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y Análisis Funcional: Curso Introductorio a la Teoría de la Dualidad Topología-Bornología y su uso en Análisis Funcional . Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional. vol. 26. Amsterdam Nueva York Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087137-0. SEÑOR  0500064. OCLC  316549583.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de conferencias de matemáticas . vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.