Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)

Generalización de la acotación

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un conjunto en un espacio vectorial topológico se llama acotado o acotado de von Neumann , si cada vecindad del vector cero se puede inflar para incluir el conjunto. Un conjunto que no está acotado se llama ilimitado .

Los conjuntos acotados son una forma natural de definir topologías polares localmente convexas en los espacios vectoriales de un par dual , ya que el conjunto polar de un conjunto acotado es un conjunto absolutamente convexo y absorbente . El concepto fue introducido por primera vez por John von Neumann y Andrey Kolmogorov en 1935 .

Definición

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre un campo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Un subconjunto de se llama von Neumann acotado o simplemente acotado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1. Definición : Para cada vecindad del origen existe un real tal que ^{[nota 1]} para todos los escalares que satisfacen ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq sV}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\geq r.}$
   • Ésta fue la definición introducida por John von Neumann en 1935. ^[1]
2. ${\displaystyle B}$es absorbido por cada barrio del origen. ^[2]
3. Para cada vecindad del origen existe un escalar tal que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B\subseteq sV.}$
4. Para cada vecindad del origen existe un real tal que para todos los escalares satisface ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle sB\subseteq V}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq r.}$
5. Para cada vecindad del origen existe un real tal que para todo real ^[3] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle tB\subseteq V}$ ${\displaystyle 0<t\leq r.}$
6. Cualquiera de las afirmaciones (1) a (5) anteriores, pero con la palabra "vecindario" reemplazada por cualquiera de las siguientes: " vecindario equilibrado ", "vecindario equilibrado abierto", "vecindario equilibrado cerrado", "vecindario abierto", "barrio cerrado". vecindario".
   • por ejemplo, el enunciado (2) puede llegar a ser: está acotado si y sólo si es absorbido por cada vecindad equilibrada del origen. ^[1] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
   • Si es localmente convexo , entonces también se puede agregar el adjetivo "convexo" a cualquiera de estos 5 reemplazos. ${\displaystyle X}$
7. Para cada secuencia de escalares que converge y cada secuencia de la secuencia converge en ^[1] ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
   • Esta fue la definición de "limitado" que utilizó Andrey Kolmogorov en 1934, que es la misma definición introducida por Stanisław Mazur y Władysław Orlicz en 1933 para TVS metrizables. Kolmogorov usó esta definición para demostrar que un TVS es seminormable si y sólo si tiene una vecindad convexa acotada del origen. ^[1]
8. Para cada secuencia en la secuencia converge en ^[4] ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
9. Cada subconjunto contable de está acotado (según cualquier condición definitoria distinta de ésta). ^[1] ${\displaystyle B}$

Si se trata de una base de vecindad en el origen, esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

10. Cualquiera de las declaraciones (1) a (5) anteriores pero con los vecindarios limitados a aquellos que pertenecen a ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
    • por ejemplo, la afirmación (3) puede convertirse en: Para cada existe un escalar tal que ${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B\subseteq sV.}$

Si es un espacio localmente convexo cuya topología está definida por una familia de seminormas continuas , entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

11. ${\displaystyle p(B)}$está limitado para todos ^[1] ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$
12. Existe una secuencia de escalares distintos de cero tal que para cada secuencia de la secuencia está limitada (de acuerdo con cualquier condición definitoria distinta de esta). ^[1] ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$
13. Porque todo está acotado (según cualquier condición definitoria distinta de ésta) en el espacio seminormado ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p).}$
14. B está débilmente acotado, es decir, todo funcional lineal continuo está acotado en B ^[5]

Si es un espacio normado con norma (o más generalmente, si es un espacio seminorma y es simplemente una seminorma ), ^{[nota 2]} entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

14. ${\displaystyle B}$es un subconjunto acotado por normas de Por definición, esto significa que existe un número real tal que para todo ^[1] ${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \|b\|\leq r}$ ${\displaystyle b\in B.}$
15. ${\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$
    • Por lo tanto, si es un mapa lineal entre dos espacios normados (o seminormados) y si la bola unitaria cerrada (alternativamente, abierta) está centrada en el origen, entonces es un operador lineal acotado (lo que, recordando, significa que su operador norma es finito) si y sólo si la imagen de esta pelota debajo es un subconjunto acotado por normas de ${\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty }$ ${\displaystyle L(B)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}$
16. ${\displaystyle B}$es un subconjunto de alguna bola (abierta o cerrada). ^{[nota 3]}
    • No es necesario que esta bola esté centrada en el origen, pero su radio debe (como de costumbre) ser positivo y finito.

Si es un subespacio vectorial del TVS , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

17. ${\displaystyle B}$está contenido en el cierre de ^[1] ${\displaystyle \{0\}.}$
    • En otras palabras, un subespacio vectorial de está acotado si y sólo si es un subconjunto de (el espacio vectorial) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$
    • Recuerde que es un espacio de Hausdorff si y sólo si está cerrado. Entonces, el único subespacio vectorial acotado de un TVS de Hausdorff es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Un subconjunto que no está acotado se llama ilimitado .

Bornología y sistemas fundamentales de conjuntos acotados.

La colección de todos los conjuntos acotados en un espacio vectorial topológico se llama bornología de von Neumann o bornología ( canónica ) de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Un sistema base o fundamental de conjuntos acotados de es un conjunto de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de es un subconjunto de algunos ^[1] El conjunto de todos los subconjuntos acotados de forma trivialmente un sistema fundamental de conjuntos acotados de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

En cualquier TVS localmente convexo , el conjunto de discos cerrados y acotados son una base del conjunto acotado. ^[1]

Ejemplos y condiciones suficientes

A menos que se indique lo contrario, un espacio vectorial topológico (TVS) no necesita ser de Hausdorff ni localmente convexo .

• Los conjuntos finitos están acotados. ^[1]
• Todo subconjunto totalmente acotado de un TVS está acotado. ^[1]
• Todo conjunto relativamente compacto en un espacio vectorial topológico está acotado. Si el espacio está equipado con una topología débil, lo contrario también es cierto.
• El conjunto de puntos de una secuencia de Cauchy está acotado, el conjunto de puntos de una red de Cauchy no necesita estar acotado.
• El cierre del origen (refiriéndose al cierre del conjunto ) es siempre un subespacio vectorial cerrado acotado. Este conjunto es el único subespacio vectorial acotado más grande (con respecto a la inclusión de conjuntos ) de En particular, si es un subconjunto acotado de entonces también lo es ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Conjuntos ilimitados

Un conjunto que no está acotado se dice que es ilimitado .

Cualquier subespacio vectorial de un TVS que no esté contenido en el cierre de es ilimitado ${\displaystyle \{0\}}$

Existe un espacio de Fréchet que tiene un subconjunto acotado y también un subespacio vectorial denso tal que no está contenido en la clausura (en ) de ningún subconjunto acotado de ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M.}$

Propiedades de estabilidad

• En cualquier TVS, las uniones finitas , las sumas finitas de Minkowski , los múltiplos escalares, las traslaciones, los subconjuntos, los cierres , los interiores y los cascos equilibrados de conjuntos acotados están nuevamente acotados. ^[1]
• En cualquier TVS localmente convexo , la cubierta convexa (también llamada envolvente convexa ) de un conjunto acotado vuelve a estar acotada. ^[7] Sin embargo, esto puede ser falso si el espacio no es localmente convexo, ya que los espacios Lp (no localmente convexos) no tienen subconjuntos convexos abiertos no triviales. ^[7] ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$
• La imagen de un conjunto acotado bajo un mapa lineal continuo es un subconjunto acotado del codominio. ^[1]
• Un subconjunto de un producto arbitrario (cartesiano) de TVS está acotado si y sólo si su imagen bajo cada proyección de coordenadas está acotada.
• Si y es un subespacio vectorial topológico de entonces está acotado en si y sólo si está acotado en ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y.}$
  • En otras palabras, un subconjunto está acotado si y sólo si está acotado en cada (o equivalentemente, en algún) superespacio vectorial topológico de ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades

Un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una vecindad acotada de cero si y sólo si su topología puede definirse mediante una única seminorma .

El polar de un conjunto acotado es un conjunto absolutamente convexo y absorbente .

Condición de contabilidad de Mackey ^[8]  : sies una secuencia contable de subconjuntos acotados de unespacio vectorial topológico localmente convexometrizable, entonces existe un subconjunto acotadodey una secuenciade números reales positivos tal quepara todos(o equivalentemente, tal que). ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}B_{1}\cup {\tfrac {1}{r_{2}}}B_{2}\cup {\tfrac {1}{r_{3}}}B_{3}\cup \cdots \subseteq B}$

Utilizando la definición de conjuntos uniformemente acotados que se da a continuación, la condición de contabilidad de Mackey se puede reformular como: Si hay subconjuntos acotados de un espacio localmente convexo metrizable , entonces existe una secuencia de números reales positivos tales que están acotados uniformemente. En palabras, dada cualquier familia contable de conjuntos acotados en un espacio metrizable localmente convexo, es posible escalar cada conjunto según su propio real positivo para que queden uniformemente acotados. ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots }$ ${\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }$

Generalizaciones

Conjuntos uniformemente acotados

Se dice que una familia de conjuntos de subconjuntos de un espacio vectorial topológico es ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$uniformemente acotado siexiste algún subconjunto acotadodetal que ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},}$$

$${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$

normadoseminormadoacotada por normas ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle M\geq 0}$ ${\textstyle \|b\|\leq M}$ ${\displaystyle b\in \cup {\mathcal {B}},}$ ${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}$

Se dice que un conjunto de mapas desde hasta es ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$uniformemente acotado en un conjunto dado si la familiaestá uniformemente acotada enlo que por definición significa que existe algún subconjunto acotadodetal queo equivalentemente, si y sólo sies un subconjunto acotado de Un conjuntode aplicaciones lineales entre dos normados (o seminormados) espaciosyestá uniformemente acotada en alguna (o equivalentemente, cada) bola abierta (y/o bola cerrada no degenerada) siy sólo si susnormas de operadorestán uniformemente acotadas; es decir, si y sólo si ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle H(C):=\{h(C):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,}$ ${\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}$

Proposición ^[9]  -  Sea un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos y sea cualquier subconjunto acotado de Then está acotado uniformemente en (es decir, la familia está acotada uniformemente en ) si se cumple alguna de las siguientes condiciones : ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{h(C):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo .
2. ${\displaystyle C}$es un subespacio compacto convexo de Hausdorff de y para cada órbita es un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y.}$

Dado que cada subconjunto singleton de es también un subconjunto acotado, se deduce que si es un conjunto equicontinuo de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos y (no necesariamente Hausdorff o localmente convexo), entonces la órbita de cada es un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle Y.}$

Subconjuntos acotados de módulos topológicos.

La definición de conjuntos acotados se puede generalizar a módulos topológicos . Un subconjunto de un módulo topológico sobre un anillo topológico está acotado si para cualquier vecindad de existe una vecindad tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0_{M}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle wA\subseteq B.}$

Ver también

• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Conjunto bornívoro  : un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado.
• Función acotada  : una función matemática cuyo conjunto de valores están acotados.
• Operador acotado  : transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos
• Punto límite  : concepto matemático relacionado con subconjuntos de espacios vectoriales
• Espacio compacto  – Tipo de espacio matemático
• Criterio de normalidad de Kolmogorov  - Caracterización de espacios normables
• Limitación local
• Espacio totalmente delimitado  – Generalización de la compacidad

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
2. Schaefer 1970, pag. 25.
3. Rudin 1991, pag. 8.
4. Wilansky 2013, pag. 47.
5. Narici Beckenstein (2011). Espacios vectoriales topológicos (2ª ed.). págs.253, teorema 8.8.7. ISBN 978-1-58488-866-6.
6. Wilansky 2013, pag. 57.
7. Narici y Beckenstein 2011, pag. 162.
8. Narici y Beckenstein 2011, pag. 174.
9. Rudin 1991, págs. 42-47.
10. Rudin 1991, págs. 46-47.

Notas

1. Para cualquier conjunto y escalar, la notación denota el conjunto. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle sA}$ ${\displaystyle sA:=\{sa:a\in A\}.}$
2. Esto significa que la topología es igual a la topología inducida por Tenga en cuenta que cada espacio normado es un espacio seminorma y cada norma es una seminorma. La definición de topología inducida por una seminorma es idéntica a la definición de topología inducida por una norma. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|.}$
3. Si es un espacio normado o un espacio seminormado , entonces las bolas abiertas y cerradas de radio (donde es un número real) centradas en un punto son, respectivamente, los conjuntos y cualquier conjunto de este tipo se llama bola (no degenerada) . ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle B_{<r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}}$ ${\textstyle B_{\leq r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.}$

Bibliografía

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