Espacio de Hausdorff débil

En matemáticas , un espacio débil de Hausdorff o espacio débilmente Hausdorff es un espacio topológico donde la imagen de cada función continua de un espacio compacto de Hausdorff en el espacio es cerrada . ^[1] En particular, todo espacio de Hausdorff es Hausdorff débil. Como propiedad de separación , es más fuerte que T ₁ , lo que equivale a la afirmación de que los puntos son cerrados. Específicamente, todo espacio débil de Hausdorff es un espacio T 1 . ^{[2] [3]}

El concepto fue introducido por MC McCord ^[4] para solucionar un inconveniente de trabajar con la categoría de espacios de Hausdorff. A menudo se utiliza junto con los espacios generados de forma compacta en topología algebraica . Para ello, véase la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .

Espacios de k-Hausdorff

AEl espacio k-Hausdorff ^[5]es un espacio topológico que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada subespacio compacto es Hausdorff .
2. La diagonal está k-cerrada en ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X.}$
   • Un subconjunto es ${\displaystyle A\subseteq Y}$k-cerrado , siestá cerradopara cada compacto ${\displaystyle A\cap C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\subseteq Y.}$
3. Cada subespacio compacto es cerrado y fuertemente localmente compacto.
   • Un espacio esfuertemente localmente compacto si para cadalos vecindarios(no necesariamente abiertos)deexiste un vecindario compactodetal que ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle V\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V\subseteq U.}$

Propiedades

• Un espacio de k-Hausdorff es un Hausdorff débil, ya que si es k-Hausdorff y es una función continua de un espacio compacto , entonces es compacto, por lo tanto, Hausdorff, por lo tanto, cerrado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:C\to X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle f(C)}$
• Un espacio de Hausdorff es k-Hausdorff. Porque un espacio es de Hausdorff si y solo si la diagonal está cerrada en y cada subconjunto cerrado es un conjunto k-cerrado . ${\displaystyle \{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X,}$
• Un espacio k-Hausdorff es KC.El espacio KC es un espacio topológico en el que cada subespacio compacto está cerrado.
• Para demostrar que la topología coherente inducida por subespacios compactos de Hausdorff preserva los subespacios compactos de Hausdorff y su topología de subespacio se requiere que el espacio sea k-Hausdorff; el Hausdorff débil no es suficiente. Por lo tanto, k-Hausdorff puede considerarse la definición más fundamental.

Espacios Δ-Hausdorff

AEl espacio Δ-Hausdorff es un espacio topológico donde la imagen de cadacaminoes cerrada; es decir, si siempreque es continua entonceses cerrada enTodo espacio débil de Hausdorff es-Hausdorff, y todoespacio -Hausdorff es unespacioT 1 . Un espacio es ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle f([0,1])}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$Δ-generado si su topología es latopología más finatal que cada mapa-símplextopológicoaes continuo.Los espacios de -Hausdorff son aespacios -generados como los espacios de Hausdorff débiles son a espacios generados de forma compacta. ${\displaystyle f:\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$

Véase también

• Espacio de punto fijo  : espacio donde todas las funciones tienen puntos fijos, un espacio de Hausdorff donde cada función continua desde el espacio hacia sí mismo tiene un punto fijo.
• Espacio de Hausdorff  – Tipo de espacio topológico
• Espacio Hausdorff local
• Topología de puntos particulares
• Espacio cuasitotopológico  : un conjunto X equipado con una función que asocia a cada espacio de Hausdorff compacto K una colección de aplicaciones K→C que satisfacen ciertas condiciones naturalesPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Axioma de separación  – Axiomas en topología que definen nociones de “separación”

Referencias

1. Hoffmann, Rudolf-E. (1979), "Sobre espacios débiles de Hausdorff", Archiv der Mathematik , 32 (5): 487–504, doi :10.1007/BF01238530, SEÑOR  0547371.
2. JP May, Un curso conciso de topología algebraica . (1999) University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (Ver capítulo 5) 
3. Strickland, Neil P. (2009). "La categoría de espacios CGWH" ( PDF ) .
4. McCord, MC (1969), "Clasificación de espacios y productos simétricos infinitos", Transactions of the American Mathematical Society , 146 : 273–298, doi : 10.2307/1995173 , JSTOR  1995173, MR  0251719.
5. Lawson, J; Madison, B (1974). "Cocientes de k-semigrupos". Semigroup Forum . 9 : 1–18. doi :10.1007/BF02194829.