Glosario de topología general

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Este es un glosario de algunos términos utilizados en la rama de las matemáticas conocida como topología . Aunque no existe una distinción absoluta entre las diferentes áreas de la topología, aquí la atención se centra en la topología general . Las siguientes definiciones también son fundamentales para la topología algebraica , la topología diferencial y la topología geométrica . Para obtener una lista de términos específicos de la topología algebraica, consulte Glosario de topología algebraica .

Se supone que todos los espacios de este glosario son espacios topológicos a menos que se indique lo contrario.

A

Absolutamente cerrado: Ver H-cerrado

Accesible: Ver . $T_{1}$

Punto de acumulación: Ver punto límite .

Topología de Alexandrov: La topología de un espacio X es una topología de Alexandrov (o se genera de forma finita ) si las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos en X son abiertas, o de manera equivalente, si las uniones arbitrarias de conjuntos cerrados son cerradas, o, nuevamente de manera equivalente, si los conjuntos abiertos son los conjuntos superiores de un poset . ^[1]

Casi discreto: Un espacio es casi discreto si todo conjunto abierto es cerrado (por lo tanto, abierto). Los espacios casi discretos son precisamente los espacios de dimensión cero generados finitamente.

α-cerrado, α-abierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X es α-abierto si , y el complemento de dicho conjunto es α-cerrado. ^[2] $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)$

Espacio de aproximación: Un espacio de aproximación es una generalización del espacio métrico basado en distancias punto a conjunto, en lugar de punto a punto.

B

Espacio Baire

Esto tiene dos significados comunes distintos:

Un espacio es un espacio de Baire si la intersección de cualquier colección contable de conjuntos abiertos densos es densa; véase espacio de Baire .
El espacio de Baire es el conjunto de todas las funciones desde los números naturales hasta los números naturales, con la topología de convergencia puntual; véase espacio de Baire (teoría de conjuntos) .

Base: Una colección B de conjuntos abiertos es una base (o base ) para una topología si cada conjunto abierto en es una unión de conjuntos en . La topología es la topología más pequeña que contiene y se dice que es generada por . $\tau$ $\tau$ $B$ $\tau$ $X$ $B$ $B$

Base: Ver bases .

β-abierto: Ver Semipreabierto .

b-abierto, b-cerrado: Un subconjunto de un espacio topológico es b-abierto si . El complemento de un conjunto b-abierto es b-cerrado. ^[2] $A$ $X$ $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} {X}A\derecha)$

Álgebra de Borel: El álgebra de Borel en un espacio topológico es el álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos. Se obtiene tomando la intersección de todas las álgebras al contener . $(X,\tau)$ $\sigma$ $\sigma$ $X$ $\tau$

conjunto de Borel: Un conjunto de Borel es un elemento de un álgebra de Borel.

Perímetro: El límite (o frontera ) de un conjunto es el cierre del conjunto menos su interior. De manera equivalente, el límite de un conjunto es la intersección de su cierre con el cierre de su complemento. El límite de un conjunto se denota por o . $A$ ${\displaystyle\partial A}$ $bd$ $A$

Encerrado: Un conjunto en un espacio métrico está acotado si tiene un diámetro finito . De manera equivalente, un conjunto está acotado si está contenido en alguna bola abierta de radio finito. Una función que toma valores en un espacio métrico está acotada si su imagen es un conjunto acotado.

C

Categoría de espacios topológicos: La categoría Top tiene espacios topológicos como objetos y mapas continuos como morfismos .

secuencia de cauchy: Una secuencia { x _n } en un espacio métrico ( M , d ) es una secuencia de Cauchy si, para cada número real positivo r , existe un número entero N tal que para todos los números enteros m , n > N , tenemos d ( x _m , x _norte ) < r .

conjunto cerrado: Un conjunto es cerrado si es a la vez abierto y cerrado.

bola cerrada: Si ( M , d ) es un espacio métrico , una bola cerrada es un conjunto de la forma D ( x ; r ) := { y en M : d ( x , y ) ≤ r }, donde x está en M y r es un número real positivo , el radio de la bola. Una bola cerrada de radio r es una bola r cerrada . Cada bola cerrada es un conjunto cerrado en la topología inducida en M por d . Tenga en cuenta que la bola cerrada D ( x ; r ) podría no ser igual al cierre de la bola abierta B ( x ; r ).

Conjunto cerrado: Un conjunto es cerrado si su complemento es miembro de la topología.

Función cerrada: Una función de un espacio a otro se cierra si la imagen de todo conjunto cerrado es cerrada.

Cierre: El cierre de un conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene el conjunto original. Es igual a la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen. Un elemento de cierre de un conjunto S es un punto de cierre de S .

Operador de cierre: Véase axiomas de cierre de Kuratowski .

Topología más gruesa: Si X es un conjunto, y si T ₁ y T ₂ son topologías en X , entonces T ₁ es más burdo (o más pequeño , más débil ) que T ₂ si T ₁ está contenido en T ₂ . Cuidado, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término más fuerte .

Comeagre: Un subconjunto A de un espacio X es comeagre ( comeager ) si su complemento X \ A es escaso . También llamado residual .

Compacto: Un espacio es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita . Todo espacio compacto es Lindelöf y paracompacto. Por tanto, todo espacio compacto de Hausdorff es normal. Véase también cuasicompacto .

Topología abierta y compacta: La topología compacta-abierta en el conjunto C ( X , Y ) de todos los mapas continuos entre dos espacios X e Y se define de la siguiente manera: dado un subconjunto compacto K de X y un subconjunto abierto U de Y , sea V ( K , U ) denota el conjunto de todos los mapas f en C ( X , Y ) tales que f ( K ) está contenido en U . Entonces, la colección de todos esos V ( K , U ) es una subbase para la topología compacta-abierta.

Completo: Un espacio métrico está completo si todas las secuencias de Cauchy convergen.

Completamente metrizable/completamente metrizable: Ver espacio completo .

Completamente normal: Un espacio es completamente normal si dos conjuntos separados tienen vecindades disjuntas .

Hausdorff completamente normal: Un espacio de Hausdorff completamente normal (o espacio T 5 ) es un espacio T ₁ completamente normal. (Un espacio completamente normal es Hausdorff si y sólo si es T ₁ , por lo que la terminología es consistente .) Todo espacio de Hausdorff completamente normal es Hausdorff normal.

Completamente regular: Un espacio es completamente regular si, siempre que C es un conjunto cerrado y x es un punto que no está en C , entonces C y { x } están funcionalmente separados.

Completamente T ₃: Véase Tychonoff .

Componente: Consulte Componente conectado / Componente conectado a ruta .

Conectado: Un espacio es conexo si no es la unión de un par de conjuntos abiertos no vacíos disjuntos . De manera equivalente, un espacio es conexo si los únicos conjuntos abiertos son el espacio completo y el conjunto vacío.

Componente conectado: Un componente conectado de un espacio es un subespacio conectado máximo no vacío. Cada componente conectado es cerrado y el conjunto de componentes conectados de un espacio es una partición de ese espacio.

Continuo: Una función de un espacio a otro es continua si la preimagen de todo conjunto abierto es abierta.

continuo: Un espacio se llama continuo si es un espacio de Hausdorff compacto y conexo.

Contráctil: Un espacio X es contráctil si la aplicación de identidad en X es homotópica a una aplicación constante. Todo espacio contráctil está simplemente conectado.

Topología de coproducto: Si { X _i } es una colección de espacios y X es la unión disjunta (teórica de conjuntos) de { X _i }, entonces la topología del coproducto (o topología de unión disjunta , suma topológica de Xi ₎ en X es la topología más fina para lo cual todos los mapas de inyección son continuos.

Espacio central compacto

espacio cósmico: Una imagen continua de algún espacio métrico separable . ^[3]

Condición de cadena contable: Un espacio X satisface la condición de cadena contable si cada familia de conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos por pares es contable.

Contablemente compacto: Un espacio es contablemente compacto si cada cubierta abierta contable tiene una subcubierta finita . Todo espacio contablemente compacto es pseudocompacto y débilmente compacto contablemente.

Contablemente localmente finito: Una colección de subconjuntos de un espacio X es localmente finita contablemente (o σ -localmente finita ) si es la unión de una colección contable de colecciones localmente finitas de subconjuntos de X.

Cubrir: Una colección de subconjuntos de un espacio es una cubierta (o cobertura ) de ese espacio si la unión de la colección es el espacio completo.

Cubierta: Ver portada .

Punto de corte: Si X es un espacio conexo con más de un punto, entonces un punto x de X es un punto de corte si el subespacio X − { x } está desconectado.

D

Punto del grupo δ, δ-cerrado, δ-abierto: Un punto x de un espacio topológico X es un punto de conglomerado δ de un subconjunto A si es para cada vecindad abierta U de x en X . El subconjunto A es δ-cerrado si es igual al conjunto de sus puntos del δ-cluster, y δ-abierto si su complemento es δ-cerrado. ^[4] $A\cap \operatorname {Int} _ {X}\left(\operatorname {Cl} _ {X}(U)\right)\neq \emptyset$

conjunto denso: Un conjunto es denso si tiene una intersección no vacía con todo conjunto abierto no vacío. De manera equivalente, un conjunto es denso si su cierre es todo el espacio.

Conjunto denso en sí mismo: Un conjunto es denso en sí mismo si no tiene ningún punto aislado .

Densidad: la cardinalidad mínima de un subconjunto denso de un espacio topológico. Un conjunto de densidad ℵ ₀ es un espacio separable . ^[5]

conjunto derivado: Si X es un espacio y S es un subconjunto de X , el conjunto derivado de S en X es el conjunto de puntos límite de S en X.

Espacio urbanizable: Un espacio topológico con un desarrollo . ^[6]

Desarrollo: Una colección contable de cubiertas abiertas de un espacio topológico, tal que para cualquier conjunto cerrado C y cualquier punto p en su complemento existe una cubierta en la colección tal que cada vecindad de p en la cubierta es disjunta de C. ^[6]

Diámetro: Si ( M , d ) es un espacio métrico y S es un subconjunto de M , el diámetro de S es el supremo de las distancias d ( x , y ), donde x e y varían sobre S .

Métrica discreta: La métrica discreta en un conjunto X es la función d : X × X → R tal que para todo x , y en X , d ( x , x ) = 0 y d ( x , y ) = 1 si x ≠ y . La métrica discreta induce la topología discreta en X.

Espacio discreto: Un espacio X es discreto si todo subconjunto de X es abierto. Decimos que X lleva la topología discreta . ^[7]

Topología discreta: Ver espacio discreto .

Topología de unión disjunta: Consulte Topología de coproducto .

Punto de dispersión: Si X es un espacio conexo con más de un punto, entonces un punto x de X es un punto de dispersión si el subespacio X − { x } está hereditariamente desconectado (sus únicos componentes conexos son los conjuntos de un punto).

Distancia: Ver espacio métrico .

Sombrero de burro (topología)

mi

Séquito: Ver Espacio uniforme .

Exterior: El exterior de un conjunto es el interior de su complemento.

F

F _σ conjunto: Un conjunto F σ es una unión contable de conjuntos cerrados. ^[8]

Filtrar

Ver también: Filtros en topología . Un filtro en un espacio X es una familia F no vacía de subconjuntos de X tal que se cumplen las siguientes condiciones:

El conjunto vacío no está en F .
La intersección de cualquier número finito de elementos de F está nuevamente en F .
Si A está en F y si B contiene A , entonces B está en F.

Topología final: En un conjunto X con respecto a una familia de funciones en , está la topología más fina en X que hace que esas funciones sean continuas . ^[9] $X$

Topología fina (teoría potencial): En el espacio euclidiano , la topología más burda que hace que todas las funciones subarmónicas (equivalentemente todas las funciones superarmónicas) sean continuas. ^[10] $\mathbb {R} ^{n}$

Topología más fina: Si X es un conjunto, y si T ₁ y T ₂ son topologías en X , entonces T ₂ es más fino (o más grande , más fuerte ) que T ₁ si T ₂ contiene a T ₁ . Cuidado, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término más débil .

Generado finitamente: Véase topología de Alexandrov .

Primera categoría: Ver Escaso .

primero contable: Un espacio es contable primero si cada punto tiene una base local contable .

frechet: Ver T1 .

Frontera: Ver Límite .

Juego completo: Un subconjunto compacto K del plano complejo se llama completo si su complemento es conexo. Por ejemplo, el disco unitario cerrado está lleno, mientras que el círculo unitario no.

funcionalmente separados: Dos conjuntos A y B en un espacio X están funcionalmente separados si existe un mapa continuo f : X → [0, 1] tal que f ( A ) = 0 y f ( B ) = 1.

GRAMO

conjunto G _δ: Un conjunto G δ o un conjunto límite interno es una intersección contable de conjuntos abiertos. ^[8]

G _δ espacio: Un espacio en el que todo conjunto cerrado es un conjunto G _{δ .}^[8]

Punto genérico: Un punto genérico para un conjunto cerrado es un punto para el cual el conjunto cerrado es el cierre del conjunto singleton que contiene ese punto. ^[11]

h

Hausdorff: Un espacio de Hausdorff (o espacio T 2 ) es aquel en el que cada dos puntos distintos tienen vecindades disjuntas . Todo espacio de Hausdorff es T ₁ .
H-cerrado: Un espacio es H-cerrado, o cerrado de Hausdorff o absolutamente cerrado , si está cerrado en todos los espacios de Hausdorff que lo contienen.
Hemicompacto: Un espacio es hemicompacto si existe una secuencia de subconjuntos compactos de modo que cada subconjunto compacto está contenido en uno de ellos.
hereditariamente p: Un espacio es hereditariamente P para alguna propiedad P si cada subespacio también es P.
Hereditario: Se dice que una propiedad de los espacios es hereditaria si siempre que un espacio tiene esa propiedad, también la tiene cada subespacio del mismo. ^[12] Por ejemplo, la segunda contabilidad es una propiedad hereditaria.
Homeomorfismo: Si X e Y son espacios, un homeomorfismo de X a Y es una función biyectiva f : X → Y tal que f y f ⁻¹ son continuas. Entonces se dice que los espacios X e Y son homeomorfos . Desde el punto de vista de la topología, los espacios homeomórficos son idénticos.
Homogéneo: Un espacio X es homogéneo si, para cada x e y en X , existe un homeomorfismo f : X → X tal que f ( x ) = y . Intuitivamente, el espacio parece igual en todos los puntos. Todo grupo topológico es homogéneo.
Mapas homotópicos: Dos aplicaciones continuas f , g : X → Y son homotópicas (en Y ) si existe una aplicación continua H : X × [0, 1] → Y tal que H ( x , 0) = f ( x ) y H ( x , 1) = g ( x ) para todo x en X . Aquí, a X × [0, 1] se le da la topología del producto. La función H se llama homotopía (en Y ) entre f y g .
homotopía: Ver mapas homotópicos .
Hiperconectado: Un espacio es hiperconectado si no hay dos conjuntos abiertos no vacíos que sean disjuntos ^[13] Todo espacio hiperconectado es conexo. ^[13]

I

Mapa de identificación: Ver mapa de cocientes .
Espacio de identificación: Véase Espacio cociente .
Espacio indiscreto: Ver topología trivial .
Topología de dimensión infinita: Véase variedad de Hilbert y variedades Q , es decir, variedades (generalizadas) modeladas en el espacio de Hilbert y en el cubo de Hilbert, respectivamente.
Conjunto de limitación interior: Un conjunto G _δ . ^[8]
Interior: El interior de un conjunto es el conjunto abierto más grande contenido en el conjunto original. Es igual a la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en él. Un elemento del interior de un conjunto S es un punto interior de S.
Punto interior: Ver Interior .
Punto aislado: Un punto x es un punto aislado si el singleton { x } está abierto. De manera más general , si S es un subconjunto de un espacio X , y si x es un punto de S , entonces x es un punto aislado de S si { x } está abierto en la topología del subespacio en S.
Isomorfismo isométrico: Si M ₁ y M ₂ son espacios métricos, un isomorfismo isométrico de M ₁ a M ₂ es una isometría biyectiva f : M ₁ → M ₂ . Se dice entonces que los espacios métricos son isométricamente isomórficos . Desde el punto de vista de la teoría del espacio métrico, los espacios isométricamente isomórficos son idénticos.
isometria: Si ( M ₁ , d ₁ ) y ( M ₂ , d ₂ ) son espacios métricos, una isometría de M ₁ a M ₂ es una función f : M ₁ → M ₂ tal que d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x , y ) para todo x , y en M ₁ . Toda isometría es inyectiva , aunque no toda isometría es sobreyectiva .

k

Axioma de Kolmogorov: Ver T0 .

Axiomas de cierre de Kuratowski

Los axiomas de cierre de Kuratowski son un conjunto de axiomas satisfechos por la función que lleva cada subconjunto de X a su cierre:

Isotonicidad : Todo conjunto está contenido en su cierre.
Idempotencia : El cierre del cierre de un conjunto es igual al cierre de ese conjunto.
Preservación de uniones binarias : La clausura de la unión de dos conjuntos es la unión de sus clausuras.
Preservación de uniones nulas : El cierre del conjunto vacío está vacío.

Si c es una función del conjunto potencia de X respecto de sí mismo, entonces c es un operador de cierre si satisface los axiomas de cierre de Kuratowski. Los axiomas de cierre de Kuratowski pueden usarse entonces para definir una topología en X declarando que los conjuntos cerrados son los puntos fijos de este operador, es decir, un conjunto A está cerrado si y sólo si c ( A ) = A.

Topología de Kolmogorov: T _Kol = {R, }∪{(a,∞): a es el número real}; el par (R,T _Kol ) se denomina Recta Kolmogorov . $\varnothing$

l

espacio L: Un espacio L es un espacio hereditariamente Lindelöf que no es hereditariamente separable . Una línea de Suslin sería un espacio L. ^[14]

Topología más grande: Consulte Topología más fina .

punto límite: Un punto x en un espacio X es un punto límite de un subconjunto S si todo conjunto abierto que contiene x también contiene un punto de S distinto del propio x . Esto equivale a exigir que cada vecindad de x contenga un punto de S distinto del propio x .

Punto límite compacto: Véase Débilmente contablemente compacto .

Lindelöf: Un espacio es Lindelöf si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable .

base local: Un conjunto B de vecindades de un punto x de un espacio X es una base local (o base local , base de vecindad , base de vecindad ) en x si cada vecindad de x contiene algún miembro de B.

Base local: Ver base local .

Espacio local (P): Hay dos definiciones para que un espacio sea "localmente (P)", donde (P) es una propiedad topológica o de teoría de conjuntos: que cada punto tiene una vecindad con la propiedad (P), o que cada punto tiene una base vecina para la cual cada miembro tiene propiedad (P). La primera definición suele tomarse como localmente compacta, contablemente compacta, metrizable, separable, contable; el segundo para conexión local. ^[15]

Subconjunto cerrado localmente: Un subconjunto de un espacio topológico que es la intersección de un subconjunto abierto y cerrado. De manera equivalente, es un subconjunto relativamente abierto de su cierre.

Localmente compacto: Un espacio es localmente compacto si cada punto tiene una vecindad compacta: a veces se utiliza la definición alternativa de que cada punto tiene una base local que consta de vecindades compactas: éstas son equivalentes para los espacios de Hausdorff. ^[15] Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es Tychonoff.

Conectado localmente: Un espacio está conectado localmente si cada punto tiene una base local que consta de barrios conectados. ^[15]

Localmente denso: consulte Preapertura .

Localmente finito: Una colección de subconjuntos de un espacio es localmente finita si cada punto tiene una vecindad que tiene una intersección no vacía con sólo un número finito de subconjuntos. Véase también contablemente localmente finito , punto finito .

Localmente metrizable / Localmente metrizable: Un espacio es localmente metrizable si cada punto tiene una vecindad metrizable. ^[15]

Conectado localmente: Un espacio está conectado localmente por caminos si cada punto tiene una base local que consta de vecindarios conectados por caminos. ^[15] Un espacio conectado por una ruta local está conectado si y sólo si está conectado por una ruta.

Localmente simplemente conectado: Un espacio está localmente simplemente conectado si cada punto tiene una base local que consta de vecindarios simplemente conectados.

Bucle: Si x es un punto en un espacio X , un bucle en x en X (o un bucle en X con punto base x ) es una ruta f en X , tal que f (0) = f (1) = x . De manera equivalente, un bucle en X es un mapa continuo desde el círculo unitario S ¹ hasta X .

METRO

Pobre: Si X es un espacio y A es un subconjunto de X , entonces A es escaso en X (o de primera categoría en X ) si es la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte. Si A no es exiguo en X , A es de segunda categoría en X. ^[dieciséis]

Metacompacto: Un espacio es metacompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto puntual finito.

Métrico: Ver Espacio métrico .

Invariante métrico: Una invariante métrica es una propiedad que se conserva bajo isomorfismo isométrico.

Mapa de métricas: Si X e Y son espacios métricos con métricas d _X y d _Y respectivamente, entonces un mapa métrico es una función f de X a Y , tal que para cualquier punto x e y en X , d _Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _X ( x , y ). Un mapa métrico es estrictamente métrico si la desigualdad anterior es estricta para todo x e y en X.

Espacio métrico

Un espacio métrico ( M , d ) es un conjunto M equipado con una función d : M × M → R que satisface los siguientes axiomas para todo x , y y z en M :

d ( x , y ) ≥ 0
d ( x , x ) = 0
si d ( x , y ) = 0 entonces x = y ( identidad de indiscernibles )
d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetría )
d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( desigualdad del triángulo )

La función d es una métrica de M y d ( x , y ) es la distancia entre x e y . La colección de todas las bolas abiertas de M es la base para una topología en M ; esta es la topología de M inducida por d . Todo espacio métrico es Hausdorff y paracompacto (y por tanto normal y Tychonoff). Cada espacio métrico es primero contable.

Metrizable / Metrisable: Un espacio es metrizable si es homeomorfo a un espacio métrico. Todo espacio metrizable es Hausdorff y paracompacto (y por tanto normal y Tychonoff). Todo espacio metrizable es primero contable.

Monolito: Cada espacio compacto X ultraconectado no vacío tiene un subconjunto abierto propio más grande; este subconjunto se llama monolito .

espacio de moore: Un espacio de Moore es un espacio regular de Hausdorff desarrollable . ^[6]

norte

Casi abierto: ver preabierto .

Barrio / Barrio: Una vecindad de un punto x es un conjunto que contiene un conjunto abierto que a su vez contiene el punto x . De manera más general, una vecindad de un conjunto S es un conjunto que contiene un conjunto abierto que a su vez contiene el conjunto S. Por tanto, una vecindad de un punto x es una vecindad del conjunto singleton { x }. (Tenga en cuenta que, según esta definición, el vecindario en sí no tiene por qué ser abierto. Muchos autores exigen que los vecindarios sean abiertos; tenga cuidado de tener en cuenta las convenciones).

Base /base del barrio: Ver base local .

Sistema de vecindad para un punto x: Un sistema de vecindad en un punto x en un espacio es la colección de todas las vecindades de x .

Neto: Una red en un espacio X es una aplicación de un conjunto dirigido A a X. Una red de A a X generalmente se denota ( x _α ), donde α es una variable de índice que abarca A. Toda secuencia es una red, tomando A como el conjunto dirigido de números naturales con el orden habitual.

Normal: Un espacio es normal si dos conjuntos cerrados disjuntos tienen vecindades disjuntas. ^[8] Todo espacio normal admite una partición de unidad .

Casa normal: Un espacio de Hausdorff normal (o espacio T 4 ) es un espacio T ₁ normal. (Un espacio normal es Hausdorff si y sólo si es T ₁ , por lo que la terminología es consistente.) Todo espacio normal de Hausdorff es Tychonoff.

En ninguna parte densa: Un conjunto nada denso es un conjunto cuya clausura tiene un interior vacío.

oh

tapa abierta: Una portada abierta es una portada que consta de conjuntos abiertos. ^[6]

bola abierta: Si ( M , d ) es un espacio métrico, una bola abierta es un conjunto de la forma B ( x ; r ) := { y en M : d ( x , y ) < r }, donde x está en M y r es un número real positivo , el radio de la bola. Una bola abierta de radio r es una bola r abierta . Cada bola abierta es un conjunto abierto en la topología de M inducida por d .
Condición abierta: Ver propiedad abierta .
conjunto abierto: Un conjunto abierto es miembro de la topología.
Función abierta: Una función de un espacio a otro está abierta si la imagen de cada conjunto abierto está abierta.
Propiedad abierta: Una propiedad de los puntos en un espacio topológico se dice "abierta" si aquellos puntos que la poseen forman un conjunto abierto . Tales condiciones adoptan a menudo una forma común, y puede decirse que esa forma es una condición abierta ; por ejemplo, en espacios métricos , se define una bola abierta como se indicó anteriormente y se dice que "la desigualdad estricta es una condición abierta".

Ortocompacto: Un espacio es ortocompacto, si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que preserva el interior .

PAG

Paracompacto: Un espacio es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito. Paracompacto implica metacompacto. ^[17] Los espacios paracompactos de Hausdorff son normales. ^[18]

Partición de la unidad: Una partición de la unidad de un espacio X es un conjunto de funciones continuas de X a [0, 1] tal que cualquier punto tiene una vecindad donde todas menos un número finito de funciones son idénticamente cero, y la suma de todas las funciones en todo el espacio es idénticamente 1.

Camino: Un camino en un espacio X es un mapa continuo f desde el intervalo unitario cerrado [0, 1] hasta X . El punto f (0) es el punto inicial de f ; el punto f (1) es el punto terminal de f . ^[13]

Conectado por camino: Un espacio X es conexo por caminos si, por cada dos puntos x , y en X , hay un camino f de x a y , es decir, un camino con punto inicial f (0) = x y punto terminal f (1) = y . Todo espacio conectado por camino está conectado. ^[13]

Componente conectado a la ruta: Un componente de un espacio conectado por caminos es un subespacio máximo no vacío conectado por caminos. El conjunto de componentes de un espacio conectados por caminos es una partición de ese espacio, que es más fina que la partición en componentes conectados. ^{[13] El conjunto de componentes de un espacio}X conectados por caminos se denota por π ₀ ( X ) .

Perfectamente normal: un espacio normal que también es G _δ . ^[8]

base π: Una colección B de conjuntos abiertos no vacíos es una base π para una topología τ si cada conjunto abierto no vacío en τ incluye un conjunto de B. ^[19]

Punto: Un punto es un elemento de un espacio topológico. De manera más general, un punto es un elemento de cualquier conjunto con una estructura topológica subyacente; por ejemplo, un elemento de un espacio métrico o de un grupo topológico también es un "punto".

Punto de cierre: Ver Cierre .

Polaco: Un espacio es polaco si es separable y completamente metrizable, es decir, si es homeomorfo a un espacio métrico separable y completo.

poliádico: Un espacio es poliádico si es la imagen continua de la potencia de una compactación en un punto de un espacio de Hausdorff localmente compacto y no compacto.

punto p: Un punto de un espacio topológico es un punto P si su filtro de vecindades está cerrado bajo intersecciones contables.

Precompacto: Consulte Relativamente compacto .

Conjunto preabierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X está preabierto si . ^[4] $A\subseteq \operatorname {Int} _ {X}\left(\operatorname {Cl} _ {X}A\right)$

Topología prodiscreta: La topología prodiscreta en un producto A ^G es la topología del producto cuando a cada factor A se le da la topología discreta. ^[20]

Topología del producto: Si es una colección de espacios y X es el producto cartesiano (teórico de conjuntos) de entonces la topología del producto en X es la topología más burda para la cual todos los mapas de proyección son continuos. $\left(X_{i}\right)$ $\left(X_{i}\right),$

Función/mapeo adecuados: Una función continua f desde un espacio X a un espacio Y es propia si es un conjunto compacto en X para cualquier subespacio compacto C de Y. $f^{-1}(C)$

Espacio de proximidad: Un espacio de proximidad ( X , d ) es un conjunto X equipado con una relación binaria d entre subconjuntos de X que satisfacen las siguientes propiedades:

Para todos los subconjuntos A , B y C de X ,

A d B implica B d A
A d B implica que A no está vacío
Si A y B tienen una intersección no vacía, entonces A d B
A d ( B C ) si y sólo si ( A d B o A d C ) $\taza$
Si, para todos los subconjuntos E de X , tenemos ( A d E o B d E ), entonces debemos tener A d ( X − B )

pseudocompacto: Un espacio es pseudocompacto si cada función continua de valor real en el espacio está acotada.

pseudométrico: Véase Espacio pseudométrico .

Espacio pseudométrico: Un espacio pseudométrico ( M , d ) es un conjunto M equipado con una función de valor real que satisface todas las condiciones de un espacio métrico, excepto posiblemente la identidad de los indiscernibles. Es decir, los puntos en un espacio pseudométrico pueden estar "infinitamente cerca" sin ser idénticos. La función d es pseudométrica en M . Cada métrica es una pseudométrica. $d:M\times M\to \mathbb {R}$

Barrio pinchado / Barrio pinchado: Una vecindad perforada de un punto x es una vecindad de x , menos { x }. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = { y : −1 < y < 1} es una vecindad de x = 0 en la recta real , por lo que el conjunto es una vecindad perforada de 0. $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}$

q

Cuasicompacto: Ver compacto . Algunos autores definen "compacto" para incluir el axioma de separación de Hausdorff y utilizan el término cuasicompacto para referirse a lo que en este glosario llamamos simplemente "compacto" (sin el axioma de Hausdorff). Esta convención se encuentra más comúnmente en francés y en ramas de las matemáticas fuertemente influenciadas por el francés.

mapa de cociente: Si X e Y son espacios, y si f es una sobreyección de X a Y , entonces f es una aplicación de cociente (o aplicación de identificación ) si, para cada subconjunto U de Y , U es abierto en Y si y sólo si f ^-¹ ( U ) está abierto en X . En otras palabras, Y tiene la topología f -fuerte. De manera equivalente, es un mapa cociente si y solo si es la composición transfinita de mapas , donde es un subconjunto. Tenga en cuenta que esto no implica que f sea una función abierta. $f$ $X\rightarrow X/Z$ $Z\subconjunto X$

Espacio cociente: Si X es un espacio, Y es un conjunto y f : X → Y es cualquier función sobreyectiva , entonces la topología del cociente en Y inducida por f es la topología más fina para la cual f es continua. El espacio X es un espacio cociente o espacio de identificación . Por definición, f es un mapa de cocientes. El ejemplo más común de esto es considerar una relación de equivalencia en X , con Y el conjunto de clases de equivalencia y f el mapa de proyección natural. Esta construcción es dual a la construcción de la topología subespacial.

R

Refinamiento: Una cobertura K es un refinamiento de una cobertura L si cada miembro de K es un subconjunto de algún miembro de L.
Regular: Un espacio es regular si, siempre que C es un conjunto cerrado y x es un punto que no está en C , entonces C y x tienen vecindades disjuntas .
Hausdorff normal: Un espacio es Hausdorff regular (o T ₃ ) si es un espacio T ₀ regular. (Un espacio regular es Hausdorff si y sólo si es T ₀ , por lo que la terminología es coherente).
Abierto regularmente: Un subconjunto de un espacio X es regular abierto si es igual al interior de su cierre; dualmente, un conjunto cerrado regular es igual al cierre de su interior. ^[21] Un ejemplo de conjunto abierto no regular es el conjunto U = $(0,1)$ ∪ $(1,2)$ en R con su topología normal, ya que 1 está en el interior de la clausura de U , pero no en Ud . Los subconjuntos abiertos regulares de un espacio forman un álgebra booleana completa . ^[21]
Relativamente compacto: Un subconjunto Y de un espacio X es relativamente compacto en X si la clausura de Y en X es compacta.
Residual: Si X es un espacio y A es un subconjunto de X , entonces A es residual en X si el complemento de A es escaso en X. También llamado comeagre o comeager .
Soluble: Un espacio topológico se llama resoluble si es expresable como la unión de dos subconjuntos densos disjuntos .
Llanta compacta: Un espacio es compacto de borde si tiene una base de conjuntos abiertos cuyos límites son compactos.

S

espacio S: Un espacio S es un espacio hereditariamente separable que no es hereditariamente Lindelöf . ^[14]

Disperso: Un espacio X está disperso si cada subconjunto A no vacío de X contiene un punto aislado en A.

Scott: La topología de Scott en un poset es aquella en la que los conjuntos abiertos son aquellos conjuntos superiores inaccesibles mediante uniones dirigidas. ^[22]

Segunda categoría: Ver Escaso .

Segundo contable: Un espacio es contable en segundo lugar o perfectamente separable si tiene una base contable para su topología. ^[8] Cada segundo espacio contable es primero contable, separable y Lindelöf.

Semilocalmente simplemente conectado: Un espacio X es simplemente conexo semilocalmente si, para cada punto x en X , existe una vecindad U de x tal que cada bucle en x en U es homotópico en X al bucle constante x . Todo espacio simplemente conexo y todo espacio simplemente conexo localmente está conexo semilocalmente simple. (Compárese con localmente simplemente conectado; aquí, se permite que la homotopía viva en X , mientras que en la definición de localmente simplemente conectado, la homotopía debe vivir en U .)

Semiabierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X se llama semiabierto si . ^[23] $A\subseteq \operatorname {Cl} _ {X}\left(\operatorname {Int} _ {X}A\right)$

Semipreabierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X se llama semi-preabierto si ^[2] $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)$

semirregular: Un espacio es semirregular si los conjuntos abiertos regulares forman una base.

Separable: Un espacio es separable si tiene un subconjunto denso contable . ^[8]^[16]

Apartado: Dos conjuntos A y B están separados si cada uno es disjunto del cierre del otro.

Secuencialmente compacto: Un espacio es secuencialmente compacto si cada secuencia tiene una subsecuencia convergente. Todo espacio secuencialmente compacto es contablemente compacto, y cada primer espacio contable y contablemente compacto es secuencialmente compacto.

mapa corto: Ver mapa de métricas

Simplemente conectado: Un espacio es simplemente conexo si está conexo por caminos y cada bucle es homotópico a un mapa constante.

Topología más pequeña: Consulte Topología más gruesa .

Sobrio: En un espacio sobrio , todo subconjunto cerrado irreductible es el cierre de exactamente un punto: es decir, tiene un punto genérico único . ^[24]

Estrella: La estrella de un punto en una determinada cobertura de un espacio topológico es la unión de todos los conjuntos de la cobertura que contienen el punto. Ver refinamiento de estrellas .

$f$ -Topología fuerte: Sea un mapa de espacios topológicos. Decimos que tiene la topología fuerte si, para cada subconjunto , uno tiene que está abierto en si y solo si está abierto en $f\colon X\rightarrow Y$ $Y$ $f$ $U\subset Y$ $U$ $Y$ $f^{-1}(U)$ $X$

Topología más fuerte: Consulte Topología más fina . Cuidado, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término topología más débil .

Subbase: Una colección de conjuntos abiertos es una subbase (o subbase ) para una topología si cada conjunto abierto propio no vacío en la topología es la unión de una intersección finita de conjuntos en la subbase. Si es cualquier colección de subconjuntos de un conjunto X , la topología en X generada por es la topología más pequeña que contiene esta topología y consta del conjunto vacío, X y todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de. Por lo tanto, es una subbase para la topología que genera. ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}};$ ${\mathcal {B}}.$ ${\mathcal {B}}$

Subbase: Ver Subbase .

Subcubierta: Una cobertura K es una subcobertura (o subcobertura ) de una cobertura L si cada miembro de K es miembro de L.

subcubriendo: Ver Subcubierta .
Espacio submáximo: Se dice que un espacio topológico es submáximo si cada subconjunto del mismo es localmente cerrado, es decir, cada subconjunto es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado .

Aquí hay algunos datos sobre la submaximidad como propiedad de los espacios topológicos:

Cada espacio de puerta es submáximo.
Todo espacio submáximo es débilmente submáximo, es decir, todo conjunto finito está localmente cerrado.
Todo espacio submáximo es irresoluble . ^[25]

Subespacio: Si T es una topología en un espacio X , y si A es un subconjunto de X , entonces la topología subespacial en A inducida por T consta de todas las intersecciones de conjuntos abiertos en T con A. Esta construcción es dual a la construcción de la topología del cociente.

t

T 0: Un espacio es T 0 (o Kolmogorov ) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, hay un conjunto abierto que contiene x pero no y , o hay un conjunto abierto que contiene y pero no x .

T 1: Un espacio es T 1 (o Fréchet o accesible ) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, hay un conjunto abierto que contiene x pero no y . (Compárese con T ₀ ; aquí se nos permite especificar qué punto estará contenido en el conjunto abierto). De manera equivalente, un espacio es T ₁ si todos sus singletons son cerrados. Cada espacio T _{1 es T}₀ .

T 2: Véase espacio de Hausdorff .

T 3: Véase Hausdorff regular .

T 3½: Véase espacio de Tychonoff .

T 4: Véase Hausdorff normal .

T 5: Véase Hausdorff completamente normal .

Arriba: Ver Categoría de espacios topológicos .

θ-punto de conglomerado, θ-cerrado, θ-abierto: Un punto x de un espacio topológico X es un punto de conglomerado θ de un subconjunto A si es para cada vecindad abierta U de x en X . El subconjunto A es θ-cerrado si es igual al conjunto de sus puntos θ-cluster, y θ-abierto si su complemento es θ-cerrado. ^[23] $A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset$

Invariante topológico: Una invariante topológica es una propiedad que se conserva bajo el homeomorfismo. Por ejemplo, la compacidad y la conectividad son propiedades topológicas, mientras que la limitación y la integridad no lo son. La topología algebraica es el estudio de construcciones de álgebra abstracta topológicamente invariantes en espacios topológicos.

Espacio topológico: Un espacio topológico ( X , T ) es un conjunto X equipado con una colección T de subconjuntos de X que satisfacen los siguientes axiomas :

El conjunto vacío y X están en T .
La unión de cualquier colección de conjuntos en T también está en T.
La intersección de cualquier par de conjuntos en T también está en T.

La colección T es una topología en X .

Suma topológica: Consulte Topología de coproducto .

Topológicamente completo: Los espacios completamente metrizables (es decir, espacios topológicos homeomorfos a espacios métricos completos) a menudo se denominan topológicamente completos ; a veces el término también se utiliza para espacios Čech-completos o espacios completamente uniformizables .

Topología: Ver espacio topológico .

Totalmente delimitado: Un espacio métrico M está totalmente acotado si, para todo r > 0, existe una cobertura finita de M por bolas abiertas de radio r . Un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.

Totalmente desconectado: Un espacio está totalmente desconectado si no tiene ningún subconjunto conexo con más de un punto.

Topología trivial: La topología trivial (o topología indiscreta ) de un conjunto X consiste precisamente en el conjunto vacío y todo el espacio X.

Tychónoff: Un espacio de Tychonoff (o espacio de Hausdorff completamente regular , espacio completamente T ₃ , espacio T _3,5 ) es un espacio T ₀ completamente regular. (Un espacio completamente regular es Hausdorff si y sólo si es T ₀ , por lo que la terminología es consistente.) Todo espacio de Tychonoff es Hausdorff regular.

Ud.

Ultraconectado: Un espacio está ultraconectado si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos que sean disjuntos. ^[13] Todo espacio ultraconectado está conectado por caminos.

ultramétrico: Una métrica es ultramétrica si satisface la siguiente versión más fuerte de la desigualdad del triángulo : para todo x , y , z en M , d ( x , z ) ≤ max( d ( x , y ), d ( y , z )) .

Isomorfismo uniforme: Si X e Y son espacios uniformes , un isomorfismo uniforme de X a Y es una función biyectiva f : X → Y tal que f y f ⁻¹ son uniformemente continuas . Entonces se dice que los espacios son uniformemente isomorfos y comparten las mismas propiedades uniformes .

Uniformizable /Uniformizable: Un espacio es uniformizable si es homeomorfo a un espacio uniforme.

Espacio uniforme: Un espacio uniforme es un conjunto X equipado con una colección no vacía Φ de subconjuntos del producto cartesiano X × X que satisface los siguientes axiomas :

si U está en Φ, entonces U contiene { ( x , x ) | x en X }.
si U está en Φ, entonces { ( y , x ) | ( x , y ) en U } también está en Φ
si U está en Φ y V es un subconjunto de X × X que contiene U , entonces V está en Φ
si U y V están en Φ, entonces U ∩ V está en Φ
si U está en Φ, entonces existe V en Φ tal que, siempre que ( x , y ) y ( y , z ) estén en V , entonces ( x , z ) esté en U.

Los elementos de Φ se llaman entornos , y Φ en sí se llama estructura uniforme en X. La estructura uniforme induce una topología en X donde las vecindades básicas de x son conjuntos de la forma { y : ( x , y )∈ U } para U ∈Φ.

Estructura uniforme: Ver Espacio uniforme .

W.

Topología débil: La topología débil en un conjunto, con respecto a una colección de funciones de ese conjunto en espacios topológicos, es la topología más burda del conjunto que hace que todas las funciones sean continuas.
Topología más débil: Consulte Topología más gruesa . Cuidado, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término topología más fuerte .
Débilmente contablemente compacto: Un espacio es débilmente compacto contablemente (o compacto de punto límite ) si cada subconjunto infinito tiene un punto límite.
Débilmente hereditario: Se dice que una propiedad de los espacios es débilmente hereditaria si siempre que un espacio tiene esa propiedad, también la tiene cada subespacio cerrado del mismo. Por ejemplo, la compacidad y la propiedad de Lindelöf son propiedades débilmente hereditarias, aunque ninguna de ellas es hereditaria.
Peso: El peso de un espacio X es el número cardinal más pequeño κ tal que X tiene una base cardinal κ. (Tenga en cuenta que dicho número cardinal existe porque toda la topología forma una base y porque la clase de números cardinales está bien ordenada ).
Bien conectado: Ver Ultraconectados . (Algunos autores utilizan este término estrictamente para espacios compactos ultraconectados).

z

Dimensión cero: Un espacio es de dimensión cero si tiene una base de conjuntos abiertos. ^[26]

Ver también

Teoría de conjuntos ingenua , teoría de conjuntos axiomática y función para definiciones relativas a conjuntos y funciones.
Topología para una breve historia y descripción del área temática.
Espacios topológicos para definiciones y ejemplos básicos.
Lista de temas de topología general
Lista de ejemplos en topología general.

Conceptos específicos de topología

Otros glosarios

Referencias

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enlaces externos

Un glosario de definiciones en topología.