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Espacio completamente metrizable

En matemáticas , un espacio completamente metrizable [1] ( espacio topológicamente completo métricamente [2] ) es un espacio topológico ( X , T ) para el cual existe al menos una métrica d en X tal que ( X , d ) es un espacio métrico completo y d induce la topología T . El término espacio topológicamente completo es empleado por algunos autores como sinónimo de espacio completamente metrizable [3] , pero a veces también se usa para otras clases de espacios topológicos, como espacios completamente uniformizables [4] o espacios Čech-completos.

Diferencia entreespacio métrico completoyespacio completamente metrizable

La distinción entre un espacio completamente metrizable y un espacio métrico completo reside en que existe al menos una métrica en la definición de espacio completamente metrizable, lo que no es lo mismo que se dé una métrica (lo último daría la definición de espacio métrico completo). Una vez que hacemos la elección de la métrica en un espacio completamente metrizable (de entre todas las métricas completas compatibles con la topología), obtenemos un espacio métrico completo. En otras palabras, la categoría de espacios completamente metrizables es una subcategoría de la de espacios topológicos, mientras que la categoría de espacios métricos completos no lo es (en cambio, es una subcategoría de la categoría de espacios métricos). La metrizabilidad completa es una propiedad topológica mientras que la completitud es una propiedad de la métrica. [5]

Ejemplos

Propiedades

Grupos topológicos abelianos completamente metrizables

Cuando se habla de espacios con más estructura que la topología, como los grupos topológicos , el significado natural de las palabras “completamente metrizable” sería posiblemente la existencia de una métrica completa que también sea compatible con esa estructura adicional, además de inducir su topología. Para los grupos topológicos abelianos y los espacios vectoriales topológicos , “compatible con la estructura adicional” podría significar que la métrica es invariante ante las traslaciones.

Sin embargo, no puede surgir ninguna confusión cuando se habla de un grupo topológico abeliano o de un espacio vectorial topológico que es completamente metrizable: se puede demostrar que todo grupo topológico abeliano (y, por tanto, también todo espacio vectorial topológico) que es completamente metrizable como espacio topológico (es decir, admite una métrica completa que induce su topología) también admite una métrica completa invariante que induce su topología. [13]

Esto implica, por ejemplo, que todo espacio vectorial topológico completamente metrizable es completo. En efecto, un espacio vectorial topológico se denomina completo si y solo si su uniformidad (inducida por su topología y la operación de adición) es completa; la uniformidad inducida por una métrica invariante a la traslación que induce la topología coincide con la uniformidad original.

Véase también

Notas

  1. ^ Willard, Definición 24.2
  2. ^ Kelley, Problema 6.K, pág. 207
  3. ^ p. ej. Steen y Seebach, I §5: Espacios métricos completos
  4. ^ Kelley, Problema 6.L, pág. 208
  5. ^ Willard 1970 Sección 24.
  6. ^ Willard, Capítulo 24
  7. ^ Willard, Ejercicio 25A
  8. ^ Willard, Teorema 24.13
  9. ^ Willard, Capítulo 24
  10. ^ Willard, Capítulo 24
  11. ^ Porque un producto de espacios metrizables no vacíos es metrizable si y sólo si como máximo un número contable de factores tienen más de un punto (Willard, Capítulo 22).
  12. ^ Willard, Capítulo 24
  13. ^ Klee, VL (1952). "Métricas invariantes en grupos (solución de un problema de Banach)" (PDF) . Proc. Amer. Math. Soc . 3 (3): 484–487. doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 .

Referencias