En topología , el sombrero de burro es un espacio topológico compacto formado al tomar un triángulo sólido y pegar sus tres lados, con la orientación de un lado invertida. Simplemente pegando dos lados orientados en la dirección opuesta obtendríamos un cono muy parecido al gorro de burro , pero al pegar el tercer lado se identifica la base del gorro con una línea que une la base con el punto. [1]
El nombre se debe a EC Zeeman , quien observó que cualquier complejo 2 contráctil (como el sombrero de burro) después de tomar el producto cartesiano con el intervalo unitario cerrado parecía ser colapsable. [1] Esta observación se conoció como la conjetura de Zeeman [2] y Zeeman demostró que implicaba la conjetura de Poincaré . [1]
El sombrero de burro es contráctil , pero no colapsable . La contractibilidad se puede ver fácilmente al notar que el sombrero de burro se incrusta en la bola 3 y la deformación de la bola 3 se retrae sobre el sombrero de burro. Alternativamente, note que el sombrero de burro es el complejo CW obtenido al pegar el límite de una celda 2 sobre el círculo. El mapa de pegado es homotópico al mapa de identidad en el círculo y, por lo tanto, el complejo es homotópicamente equivalente al disco. Por el contrario, no es colapsable porque no tiene una cara libre. [1]