Espacio hemicompacto

En matemáticas , en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico de Hausdorff es hemicompacto si tiene una secuencia de subconjuntos compactos tales que cada subconjunto compacto del espacio se encuentra dentro de algún conjunto compacto en la secuencia. ^[1] Esto obliga a que la unión de la secuencia sea todo el espacio, porque cada punto es compacto y, por lo tanto, debe estar en uno de los conjuntos compactos.

Ejemplos

• Todo espacio compacto es hemicompacto.
• La linea real es hemicompacta.
• Cada espacio de Lindelöf localmente compacto es hemicompacto.

Propiedades

Todo espacio hemicompacto es σ-compacto ^[2] y si además es numerable primero entonces es localmente compacto . Si un espacio hemicompacto es débilmente localmente compacto , entonces es agotable por conjuntos compactos .

Aplicaciones

Si es un espacio hemicompacto, entonces el espacio de todas las funciones continuas a un espacio métrico con la topología compacta-abierta es metrizable . ^[3] Para ver esto, tome una secuencia de subconjuntos compactos de tal manera que cada subconjunto compacto de se encuentre dentro de algún conjunto compacto en esta secuencia (la existencia de tal secuencia se sigue de la hemicompacidad de ). Defina pseudometría ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X,M)}$ ${\displaystyle f:X\to M}$ ${\displaystyle (M,\delta )}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle d_{n}(f,g)=\sup _{x\in K_{n}}\delta {\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\quad f,g\in C(X,M),n\in \mathbb {N} .}$

Entonces

${\displaystyle d(f,g)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}}$

define una métrica sobre la cual se induce la topología compacta-abierta. ${\displaystyle C(X,M)}$

Véase también

• Espacio compacto
• Agotable por conjuntos compactos
• Espacio localmente compacto
• Espacio Lindelöf

Notas

1. Willard 2004, Conjunto de problemas en la sección 17.
2. Willard 2004, pág. 126
3. Conway 1990, Ejemplo IV.2.2.

Referencias

• Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.
• Conway, JB (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN. 0-387-97245-5.

Enlaces externos

• espacio hemicompacto en nLab
• hemicompacto en base π