Agotamiento por conjuntos compactos

En matemáticas , especialmente en topología general y análisis , un agotamiento por conjuntos compactos ^[1] de un espacio topológico es una secuencia anidada de subconjuntos compactos de ; es decir ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset K_{3}\subset \cdots ,}$

tal que está contenido en el interior de , es decir para cada y . ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle K_{i+1}}$ ${\displaystyle K_{i}\subset {\text{int}}(K_{i+1})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$

Por ejemplo, considere y la secuencia de bolas cerradas Para un espacio de Hausdorff localmente compacto que es una unión numerable de subconjuntos compactos, podemos construir un agotamiento como sigue. Escribimos como una unión de conjuntos compactos . Luego, elegimos inductivamente conjuntos abiertos con cierres compactos, donde . Entonces es un agotamiento requerido. Para un espacio de Hausdorff localmente compacto que es segundo-contable, se puede usar un argumento similar para construir un agotamiento. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{i}=\{x:|x|\leq i\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{1}^{\infty }K_{n}}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}\supset {\overline {V_{n-1}}}\cup K_{n}}$ ${\displaystyle V_{0}=\emptyset }$ ${\displaystyle {\overline {V_{n}}}}$

Ocasionalmente, algunos autores abandonan el requisito de que esté en el interior de , pero entonces la propiedad se convierte en la misma que la de que el espacio sea σ-compacto , es decir, una unión numerable de subconjuntos compactos. Por ejemplo, es σ-compacto pero no admite un agotamiento por conjuntos compactos ya que no es localmente compacto. ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle K_{i+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Solicitud

Para un espacio de Hausdorff , se puede utilizar un agotamiento por conjuntos compactos para mostrar que el espacio es paracompacto. ^[2] De hecho, supongamos que tenemos una secuencia creciente de subconjuntos abiertos tales que y cada uno es compacto y está contenido en . Sea una cobertura abierta de . También dejamos . Entonces, para cada , es una cobertura abierta del conjunto compacto y, por lo tanto, admite una subcobertura finita . Entonces es un refinamiento localmente finito de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots }$ ${\displaystyle X=\bigcup V_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {V_{n}}}}$ ${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V_{n}=\emptyset ,\,n\leq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \{(V_{n+1}-{\overline {V_{n-2}}})\cap U\mid U\in {\mathcal {U}}\}}$ ${\displaystyle {\overline {V_{n}}}-V_{n-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}:=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {V}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Observación: La prueba muestra de hecho que cada cubierta abierta admite un refinamiento contable que consiste en conjuntos abiertos con cierres compactos y cada uno de cuyos miembros interseca sólo un número finito de otros. ^[2]

El siguiente tipo de recíproco también es válido. Un espacio de Hausdorff paracompacto localmente compacto con un número contable de componentes conexos es una unión contable de conjuntos compactos ^[3] y, por lo tanto, admite un agotamiento por subconjuntos compactos.

Relación con otras propiedades

Un espacio que admite un agotamiento por conjuntos compactos se llama agotable por conjuntos compactos . ^{[ cita requerida ]}

Los siguientes son equivalentes para un espacio topológico : ^[4] ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es agotable mediante conjuntos compactos.
2. ${\displaystyle X}$es σ-compacto y débilmente localmente compacto .
3. ${\displaystyle X}$Es de tipo lindelöf y débilmente localmente compacto.

(donde débilmente localmente compacto significa localmente compacto en el sentido débil de que cada punto tiene un vecindario compacto ).

La propiedad hemicompacta es intermedia entre agotable por conjuntos compactos y σ-compacto. Todo espacio agotable por conjuntos compactos es hemicompacto ^[5] y todo espacio hemicompacto es σ-compacto, pero las implicaciones inversas no se cumplen. Por ejemplo, el espacio de Arens-Fort y el espacio de Appert son hemicompactos, pero no agotables por conjuntos compactos (porque no son débilmente localmente compactos), ^[6] y el conjunto de números racionales con la topología usual es σ-compacto, pero no hemicompacto. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Todo espacio regular que sea una unión contable de conjuntos compactos es paracompacto . ^{[ cita requerida ]}

Notas

1. Lee 2011, pág. 110.
2. Warner 1983, cap. 1. Lema 1.9.
3. Wall, Proposición A.2.8. (ii) NB: la prueba en la referencia parece problemática. Se puede solucionar construyendo una cubierta abierta cuyo miembro intersecta sólo un número finito de otros. (Luego usamos el hecho de que un grafo conexo localmente finito es contable).
4. "Una pregunta sobre compacidad local y $\sigma$-compacidad". Mathematics Stack Exchange .
5. "¿Un espacio no Hausdorff localmente compacto y $\sigma$-compacto implica un espacio hemicompacto?". Mathematics Stack Exchange .
6. "¿Puede un espacio hemicompacto dejar de ser débilmente localmente compacto?". Mathematics Stack Exchange .
7. "¿Un espacio $\sigma$-compacto pero no hemicompacto?". Mathematics Stack Exchange .

Referencias

• Leon Ehrenpreis , Teoría de distribuciones para espacios localmente compactos , American Mathematical Society , 1982. ISBN 0-8218-1221-1 . 
• Hans Grauert y Reinhold Remmert , Teoría de los espacios de Stein , Springer Verlag (Clásicos de matemáticas), 2004. ISBN 978-3540003731 . 
• Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1.
• Warner, Frak W. (1983). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie . Textos de posgrado en matemáticas. Springer-Verlag.
• Wall, CTC Topología diferencial. Cambridge University Press. ISBN 9781107153523.

Enlaces externos

• "Agotamiento por conjuntos compactos". PlanetMath .
• "Existencia de agotamiento por conjuntos compactos". Mathematics Stack Exchange .