Topología de Appert

Ejemplo de una topología en el conjunto de números enteros positivos

En topología general , una rama de las matemáticas, la topología de Appert , llamada así por Antoine Appert (1934), es una topología sobre el conjunto X = {1, 2, 3, ... } de números enteros positivos . ^[1] En la topología de Appert, los conjuntos abiertos son aquellos que no contienen 1, y aquellos que contienen asintóticamente casi todos los números enteros positivos. El espacio X con la topología de Appert se llama espacio de Appert . ^[1]

Construcción

Para un subconjunto S de X , sea N( n , S ) el número de elementos de S que son menores o iguales a n :

${\displaystyle \mathrm {N} (n,S)=\#\{m\in S:m\leq n\}.}$

S se define como abierto en la topología de Appert si no contiene 1 o si tiene una densidad asintótica igual a 1, es decir, satisface

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\text{N}}(n,S)}{n}}=1}$.

El conjunto vacío es abierto porque no contiene al 1, y todo el conjunto X es abierto ya que para todo n . ${\displaystyle {\text{N}}(n,X)/n=1}$

Topologías relacionadas

La topología de Appert está estrechamente relacionada con la topología del espacio de Fort que surge de dar al conjunto de números enteros mayores que uno la topología discreta y luego tomar el punto 1 como el punto en el infinito en una compactificación de un punto del espacio. ^[1] La topología de Appert es más fina que la topología del espacio de Fort, ya que cualquier subconjunto cofinito de X tiene una densidad asintótica igual a 1.

Propiedades

• Los subconjuntos cerrados S de X son aquellos que contienen 1 o que tienen densidad asintótica cero, es decir . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {N} (n,S)/n=0}$
• Cada punto de X tiene una base local de conjuntos clopen , es decir, X es un espacio de dimensión cero . ^[1]
  Demostración : Todo entorno abierto de 1 también es cerrado. Para cualquier , es tanto cerrado como abierto. ${\displaystyle x\neq 1}$ ${\displaystyle \{x\}}$
• X es Hausdorff y perfectamente normal (T ₆ ).
  Demostración : X es T ₁ . Dados dos conjuntos cerrados disjuntos A y B , al menos uno de ellos, digamos A , no contiene 1. A es entonces clopen y A y su complemento son vecindades disjuntas respectivas de A y B , lo que muestra que X es normal y Hausdorff. Finalmente, cualquier subconjunto, en particular cualquier subconjunto cerrado, en un espacio numerable T _{1 es un G δ} , por lo que X es perfectamente normal.
• X es contable, pero no primer contable , ^[1] y por lo tanto no segundo contable y no metrizable .
• Un subconjunto de X es compacto si y solo si es finito. En particular, X no es localmente compacto , ya que no existe un entorno compacto de 1.
• X no es numerablemente compacto . ^[1]
  Demostración: El conjunto infinito tiene densidad asintótica cero, por lo tanto es cerrado en X. Cada uno de sus puntos está aislado. Como X contiene un subconjunto discreto cerrado infinito, no es compacto en puntos límite y, por lo tanto, no es numerablemente compacto. ${\displaystyle \{2^{n}:n\geq 1\}}$

Véase también

• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos

Notas

1. Steen y Seebach 1995, págs. 117-118

Referencias

• Appert, Antoine (1934), Propriétés des Espaces Abstraits les Plus Généraux, Actual. Ciencia. Indiana, Hermann, MR  3533016.
• Steen, LA; Seebach, JA (1995), Contraejemplos en topología , Dover, ISBN 0-486-68735-X.