Espacio pseudométrico

Generalización de espacios métricos en matemáticas

En matemáticas , un espacio pseudométrico es una generalización de un espacio métrico en el que la distancia entre dos puntos distintos puede ser cero o negativa. Los espacios pseudométricos fueron introducidos por Đuro Kurepa ^{[1] [2]} en 1934. De la misma manera que todo espacio normado es un espacio métrico , todo espacio seminormado es un espacio pseudométrico. Debido a esta analogía, el término espacio semimétrico (que tiene un significado diferente en topología ) a veces se utiliza como sinónimo, especialmente en análisis funcional .

Cuando se genera una topología utilizando una familia de pseudometrías, el espacio se denomina espacio de calibre .

Definición

Un espacio pseudométrico es un conjunto junto con una función de valor real no negativa llamada ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},}$pseudométrica , tal que para cada ${\displaystyle x,y,z\in X,}$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0.}$
2. Simetría : ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
3. Subaditividad / Desigualdad triangular : ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

A diferencia de un espacio métrico, los puntos en un espacio pseudométrico no necesitan ser distinguibles ; es decir, se pueden tener valores distintos ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle x\neq y.}$

Ejemplos

Cualquier espacio métrico es un espacio pseudométrico. La pseudometría surge naturalmente en el análisis funcional . Consideremos el espacio de funciones de valor real junto con un punto especial. Este punto induce entonces una pseudometría en el espacio de funciones, dada por ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$ $${\displaystyle d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$

Una seminorma induce la pseudométrica . Esta es una función convexa de una función afín de (en particular, una traslación ), y por lo tanto convexa en . (Lo mismo ocurre con .) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d(x,y)=p(x-y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Por el contrario, una pseudometría homogénea e invariante a la traducción induce una seminorma.

La pseudometría también surge en la teoría de variedades complejas hiperbólicas : véase métrica de Kobayashi .

Cada espacio de medida puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo para todo donde el triángulo denota diferencia simétrica . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ $${\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)}$$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}},}$

Si es una función y d ₂ es una pseudométrica en X ₂ , entonces da una pseudométrica en X ₁ . Si d ₂ es una métrica y f es inyectiva , entonces d ₁ es una métrica. ${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))}$

Topología

ElLa topología pseudométrica es latopologíagenerada por lasbolas abiertasque forman unabasepara la topología.^[3]Se dice que un espacio topológico es un $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},}$$espacio pseudometrizable ^[4]si al espacio se le puede dar una pseudometría tal que la topología pseudométrica coincida con la topología dada en el espacio.

La diferencia entre pseudometría y métrica es completamente topológica. Es decir, una pseudometría es una métrica si y solo si la topología que genera es T 0 (es decir, los puntos distintos son topológicamente distinguibles ).

Las definiciones de secuencias de Cauchy y completitud métrica para espacios métricos se trasladan sin cambios a los espacios pseudométricos. ^[5]

Identificación métrica

La desaparición de la pseudométrica induce una relación de equivalencia , llamada identificación métrica , que convierte el espacio pseudométrico en un espacio métrico completo . Esto se hace definiendo si . Sea el espacio cociente de por esta relación de equivalencia y defina Esto está bien definido porque para cualquier tenemos que y por lo tanto y viceversa. Entonces es una métrica en y es un espacio métrico bien definido, llamado espacio métrico inducido por el espacio pseudométrico . ^{[6] [7]} ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x'\in [x]}$ ${\displaystyle d(x,x')=0}$ ${\displaystyle d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)}$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ ${\displaystyle (X,d)}$

La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto es abierto (o cerrado) en si y solo si es abierto (o cerrado) en y está saturado . La identificación topológica es el cociente de Kolmogorov . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \pi (A)=[A]}$ ${\displaystyle \left(X^{*},d^{*}\right)}$ ${\displaystyle A}$

Un ejemplo de esta construcción es la compleción de un espacio métrico mediante sus sucesiones de Cauchy .

Véase también

• Métrica generalizada  – Geometría métrica
• Firma métrica  : número de valores propios positivos, negativos y cero de un tensor métrico
• Espacio métrico  – Espacio matemático con noción de distancia
• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica

Notas

1. Kurepa, Đuro (1934). "Tableaux ramifiés d'ensembles, espaces pseudodistaciés". CR Acad. Ciencia. París . 198 (1934): 1563-1565.
2. Collatz, Lothar (1966). Análisis funcional y matemáticas numéricas . Nueva York, San Francisco, Londres: Academic Press . pág. 51.
3. "Topología pseudométrica". PlanetMath .
4. Willard, pág. 23
5. Cain, George (verano de 2000). «Capítulo 7: Espacios pseudométricos completos» (PDF) . Archivado (PDF) del original el 7 de octubre de 2020. Consultado el 7 de octubre de 2020 .
6. Howes, Norman R. (1995). Análisis y topología modernos. Nueva York, NY: Springer. pág. 27. ISBN 0-387-97986-7. Recuperado el 10 de septiembre de 2012. Sea un espacio pseudométrico y defina una relación de equivalencia en por si . Sea el espacio cociente y la proyección canónica que mapea cada punto de sobre la clase de equivalencia que lo contiene. Defina la métrica en por para cada par . Se demuestra fácilmente que es de hecho una métrica y define la topología cociente en . ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle d(x,y)=0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X/\sim }$ ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \rho (a,b)=d(p^{-1}(a),p^{-1}(b))}$ ${\displaystyle a,b\in Y}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Y}$
7. Simon, Barry (2015). Un curso completo de análisis . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-1470410995.

Referencias

• Arkhangelskii, AV ; Pontryagin, LS (1990). Topología general I: conceptos básicos y construcciones Teoría de la dimensión . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Springer . ISBN 3-540-18178-4.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Contraejemplos en topología (nueva edición). Dover Publications . ISBN 0-486-68735-X.
• Willard, Stephen (2004) [1970], Topología general ( reimpresión de Dover de la edición de 1970), Addison-Wesley
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• "Ejemplo de espacio pseudométrico". PlanetMath .