En matemáticas y especialmente en geometría compleja , la métrica de Kobayashi es una pseudométrica asociada intrínsecamente a cualquier variedad compleja . Fue introducida por Shoshichi Kobayashi en 1967. Las variedades hiperbólicas de Kobayashi son una clase importante de variedades complejas, definidas por la propiedad de que la pseudométrica de Kobayashi es una métrica. La hiperbolicidad de Kobayashi de una variedad compleja X implica que cada función holomorfa desde la línea compleja C hasta X es constante.
Los orígenes del concepto se encuentran en el lema de Schwarz en análisis complejo . Es decir, si f es una función holomorfa en el disco unitario abierto D en los números complejos C tal que f (0) = 0 y | f ( z )| < 1 para todo z en D , entonces la derivada f '(0) tiene valor absoluto como máximo 1. De manera más general, para cualquier función holomorfa f de D a sí misma (no necesariamente enviando 0 a 0), existe un límite superior más complicado para la derivada de f en cualquier punto de D . Sin embargo, el límite tiene una formulación simple en términos de la métrica de Poincaré , que es una métrica riemanniana completa en D con curvatura −1 (isométrica al plano hiperbólico ). Es decir: cada función holomorfa de D a sí misma es decreciente en distancia con respecto a la métrica de Poincaré en D .
Este es el comienzo de una fuerte conexión entre el análisis complejo y la geometría de curvatura negativa. Para cualquier espacio complejo X (por ejemplo, una variedad compleja), la pseudométrica de Kobayashi d X se define como la pseudométrica más grande en X tal que
para todas las aplicaciones holomorfas f desde el disco unitario D hasta X , donde denota la distancia en la métrica de Poincaré en D . [1] En cierto sentido, esta fórmula generaliza el lema de Schwarz a todos los espacios complejos; pero puede ser vacía en el sentido de que la pseudométrica de Kobayashi d X puede ser idénticamente cero. Por ejemplo, es idénticamente cero cuando X es la línea compleja C . (Esto ocurre porque C contiene discos arbitrariamente grandes, las imágenes de las aplicaciones holomorfas f a : D → C dadas por f ( z ) = az para números positivos arbitrariamente grandes a .)
Un espacio complejo X se dice que es hiperbólico de Kobayashi si la pseudométrica de Kobayashi d X es una métrica, lo que significa que d X ( x , y ) > 0 para todo x ≠ y en X . De manera informal, esto significa que hay un límite genuino en el tamaño de los discos que se mapean holomorfamente en X . En estos términos, el lema de Schwarz dice que el disco unitario D es hiperbólico de Kobayashi, y más precisamente que la métrica de Kobayashi en D es exactamente la métrica de Poincaré. La teoría se vuelve más interesante a medida que se encuentran más ejemplos de variedades hiperbólicas de Kobayashi. (Para una variedad hiperbólica de Kobayashi X , la métrica de Kobayashi es una métrica intrínsecamente determinada por la estructura compleja de X ; no está del todo claro que esto deba suceder alguna vez. Una variedad real de dimensión positiva nunca tiene una métrica intrínseca en este sentido, porque su grupo de difeomorfismos es demasiado grande para permitir eso).
Para un espacio hiperbólico de Kobayashi X , cada función holomorfa C → X es constante, por la propiedad de disminución de la distancia de la pseudometría de Kobayashi. Esta es a menudo la consecuencia más importante de la hiperbolicidad. Por ejemplo, el hecho de que C menos 2 puntos sea hiperbólico implica el teorema de Picard de que la imagen de cualquier función completa no constante C → C omite como máximo un punto de C. La teoría de Nevanlinna es un descendiente más cuantitativo del teorema de Picard .
El teorema de Brody dice que un espacio complejo compacto X es hiperbólico de Kobayashi si y solo si cada función holomorfa C → X es constante. [3] Una aplicación es que la hiperbolicidad es una condición abierta (en la topología euclidiana) para familias de espacios complejos compactos. [4] Mark Green usó el argumento de Brody para caracterizar la hiperbolicidad para subespacios complejos cerrados X de un toro complejo compacto: X es hiperbólico si y solo si no contiene ninguna traducción de un subtoro de dimensión positiva. [5]
Si una variedad compleja X tiene una métrica hermítica con curvatura seccional holomorfa limitada superiormente por una constante negativa, entonces X es hiperbólica de Kobayashi. [6] En dimensión 1, esto se llama lema de Ahlfors -Schwarz.
Los resultados anteriores dan una descripción completa de qué variedades complejas son hiperbólicas de Kobayashi en dimensión compleja 1. La imagen es menos clara en dimensiones superiores. Un problema central abierto es la conjetura de Green – Griffiths – Lang : si X es una variedad proyectiva compleja de tipo general , entonces debería haber un subconjunto algebraico cerrado Y no igual a X tal que cada función holomorfa no constante C → X se aplique a Y . [7]
Clemens y Voisin demostraron que para n al menos 2, una hipersuperficie muy general X en CP n +1 de grado d al menos 2 n +1 tiene la propiedad de que cada subvariedad cerrada de X es de tipo general. [8] ("Muy general" significa que la propiedad se cumple para todas las hipersuperficies de grado d fuera de una unión contable de subconjuntos algebraicos de menor dimensión del espacio proyectivo de todas esas hipersuperficies). Como resultado, la conjetura de Green–Griffiths–Lang implicaría que una hipersuperficie muy general de grado al menos 2 n +1 es hiperbólica de Kobayashi. Nótese que no se puede esperar que todas las hipersuperficies suaves de un grado dado sean hiperbólicas, por ejemplo porque algunas hipersuperficies contienen líneas (isomorfas a CP 1 ). Tales ejemplos muestran la necesidad del subconjunto Y en la conjetura de Green–Griffiths–Lang.
La conjetura sobre la hiperbolicidad es conocida para hipersuperficies de grado suficientemente alto, gracias a una serie de avances de Siu , Demailly y otros, utilizando la técnica de diferenciales de jet . Por ejemplo, Diverio, Merker y Rousseau demostraron que una hipersuperficie general en CP n +1 de grado al menos 2 n 5 satisface la conjetura de Green-Griffiths-Lang. [9] ("General" significa que esto es válido para todas las hipersuperficies de grado dado fuera de una unión finita de subconjuntos algebraicos de dimensión inferior del espacio proyectivo de todas esas hipersuperficies). En 2016, Brotbek [10] dio una prueba de la conjetura de Kobayashi para la hiperbolicidad de hipersuperficies generales de alto grado, basada en el uso de ecuaciones diferenciales wronskianas; Ya Deng y Demailly obtuvieron entonces límites de grado explícitos en dimensión arbitraria, por ejemplo [ (en) 2n+2 /3 ] por este último. [11] Se conocen mejores límites para el grado en dimensiones bajas.
McQuillan demostró la conjetura de Green–Griffiths–Lang para cada superficie proyectiva compleja de tipo general cuyos números de Chern satisfacen c 1 2 > c 2 . [12] Para una variedad arbitraria X de tipo general, Demailly demostró que cada mapa holomorfo C → X satisface algunas (de hecho, muchas) ecuaciones diferenciales algebraicas . [13]
En la dirección opuesta, Kobayashi conjeturó que la pseudométrica de Kobayashi es idénticamente cero para las variedades de Calabi–Yau . Esto es cierto en el caso de superficies K3 , usando que cada superficie proyectiva K3 está cubierta por una familia de curvas elípticas. [14] De manera más general, Campana dio una conjetura precisa acerca de qué variedades proyectivas complejas X tienen pseudométrica de Kobayashi igual a cero. Es decir, esto debería ser equivalente a que X sea especial en el sentido de que X no tiene fibración racional sobre un orbifold de dimensión positiva de tipo general. [15]
Para una variedad proyectiva X , el estudio de las aplicaciones holomorfas C → X tiene cierta analogía con el estudio de los puntos racionales de X , un tema central de la teoría de números . Hay varias conjeturas sobre la relación entre estos dos temas. En particular, sea X una variedad proyectiva sobre un cuerpo de números k . Fijemos una incrustación de k en C . Luego Lang conjeturó que la variedad compleja X ( C ) es hiperbólica de Kobayashi si y solo si X tiene solo un número finito de puntos F -racionales para cada cuerpo de extensión finito F de k . Esto es consistente con los resultados conocidos sobre puntos racionales, en particular el teorema de Faltings sobre subvariedades de variedades abelianas .
Más precisamente, sea X una variedad proyectiva de tipo general sobre un cuerpo de números k . Sea el conjunto excepcional Y la clausura de Zariski de la unión de las imágenes de todas las funciones holomorfas no constantes C → X . Según la conjetura de Green–Griffiths–Lang, Y debería ser un subconjunto cerrado propio de X (y, en particular, no ser igual a X ). La conjetura fuerte de Lang predice que Y está definido sobre k y que X − Y tiene sólo un número finito de puntos F -racionales para cada cuerpo de extensión finito F de k . [16]
En el mismo espíritu, para una variedad proyectiva X sobre un cuerpo numérico k (o, más generalmente, un cuerpo finitamente generado k de característica cero), Campana conjeturó que la pseudométrica de Kobayashi de X ( C ) es idénticamente cero si y sólo si X tiene puntos racionales potencialmente densos , lo que significa que hay un cuerpo de extensión finito F de k tal que el conjunto X ( F ) de F puntos -racionales es denso de Zariski en X . [17]
La métrica de Carathéodory es otra pseudométrica intrínseca en variedades complejas, basada en aplicaciones holomorfas hacia el disco unidad en lugar de desde el disco unidad. La pseudométrica infinitesimal de Kobayashi es una pseudométrica de Finsler cuya función de distancia asociada es la pseudométrica de Kobayashi como se definió anteriormente. [18] La forma pseudovolumen de Kobayashi-Eisenman es una medida intrínseca en un complejo n -fold, basada en aplicaciones holomorfas desde el polidisco n -dimensional a X . Se entiende mejor que la pseudométrica de Kobayashi. En particular, cada variedad proyectiva de tipo general es medida-hiperbólica , lo que significa que la forma pseudovolumen de Kobayashi-Eisenman es positiva fuera de un subconjunto algebraico de dimensión inferior. [19]
Se han considerado pseudometrías análogas para estructuras afines y proyectivas planas, así como para conexiones proyectivas más generales y conexiones conformes . [20]
