Esfera de Riemann

Modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito

La esfera de Riemann se puede visualizar como el plano de números complejos envuelto alrededor de una esfera (mediante alguna forma de proyección estereográfica ; los detalles se dan a continuación).

En matemáticas , la esfera de Riemann , llamada así por Bernhard Riemann , ^[1] es un modelo del plano complejo extendido (también llamado plano complejo cerrado ): el plano complejo más un punto en el infinito . Este plano extendido representa los números complejos extendidos , es decir, los números complejos más un valor para el infinito . Con el modelo de Riemann, el punto está cerca de números muy grandes, así como el punto está cerca de números muy pequeños. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$

Los números complejos extendidos son útiles en el análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, de manera que se comportan bien expresiones como . Por ejemplo, cualquier función racional en el plano complejo se puede extender a una función holomorfa en la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeándose al infinito. De manera más general, cualquier función meromórfica se puede considerar como una función holomorfa cuyo codominio es la esfera de Riemann. ${\displaystyle 1/0=\infty }$

En geometría , la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann y es una de las variedades complejas más simples . En geometría proyectiva , la esfera es un ejemplo de un espacio proyectivo complejo y puede considerarse como la línea proyectiva compleja , el espacio proyectivo de todas las líneas complejas en . Al igual que con cualquier superficie de Riemann compacta , la esfera también puede verse como una curva algebraica proyectiva , lo que la convierte en un ejemplo fundamental en geometría algebraica . También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y la geometría, como la esfera de Bloch de la mecánica cuántica y en otras ramas de la física . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

Números complejos extendidos

Los números complejos extendidos consisten en los números complejos junto con . El conjunto de números complejos extendidos se puede escribir como , y a menudo se denota agregando alguna decoración a la letra , como ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }},\quad {\overline {\mathbf {C} }},\quad {\text{or}}\quad \mathbf {C} _{\infty }.}$

Esta notación también se ha utilizado, pero como también se utiliza para el plano perforado , puede generar ambigüedad. ^[2] ${\displaystyle \mathbf {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \setminus \{0\}}$

Geométricamente, el conjunto de números complejos extendidos se denomina esfera de Riemann (o plano complejo extendido ).

Operaciones aritméticas

La suma de números complejos se puede ampliar definiendo, para , ${\displaystyle z\in \mathbf {C} }$

${\displaystyle z+\infty =\infty }$

para cualquier número complejo , y la multiplicación puede definirse por ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z\times \infty =\infty }$

para todos los números complejos distintos de cero , con . Nótese que y se dejan sin definir . A diferencia de los números complejos, los números complejos extendidos no forman un cuerpo , ya que no tiene un inverso aditivo ni multiplicativo . No obstante, es habitual definir la división en por ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty \times \infty =\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$ ${\displaystyle 0\times \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {C} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{and}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0}$

para todos los números complejos distintos de cero con y . Los cocientes y se dejan sin definir. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \infty /0=\infty }$ ${\displaystyle 0/\infty =0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$

Funciones racionales

Cualquier función racional (en otras palabras, es el cociente de funciones polinómicas y de con coeficientes complejos, tales que y no tienen ningún factor común) puede extenderse a una función continua en la esfera de Riemann. Específicamente, si es un número complejo tal que el denominador es cero pero el numerador es distinto de cero, entonces puede definirse como . Además, puede definirse como el límite de como , que puede ser finito o infinito. ${\displaystyle f(z)=g(z)/h(z)}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle h(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle h(z)}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle h(z_{0})}$ ${\displaystyle g(z_{0})}$ ${\displaystyle f(z_{0})}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle f(\infty )}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z\to \infty }$

El conjunto de funciones racionales complejas, cuyo símbolo matemático es , forman todas las funciones holomorfas posibles desde la esfera de Riemann hasta sí misma, cuando se la considera como una superficie de Riemann , excepto la función constante que toma el valor en todas partes. Las funciones de forman un campo algebraico, conocido como el campo de funciones racionales sobre la esfera . ${\displaystyle \mathbf {C} (z)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {C} (z)}$

Por ejemplo, dada la función

${\displaystyle f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}}$

podemos definir , ya que el denominador es cero en , y ya que como . Usando estas definiciones, se convierte en una función continua desde la esfera de Riemann hasta sí misma. ${\displaystyle f(\pm 5)=\infty }$ ${\displaystyle \pm 5}$ ${\displaystyle f(\infty )=3}$ ${\displaystyle f(z)\to 3}$ ${\displaystyle z\to \infty }$ ${\displaystyle f}$

Como una variedad compleja

Como variedad compleja unidimensional , la esfera de Riemann se puede describir mediante dos gráficos , ambos con dominio igual al plano de números complejos . Sea un número complejo en una copia de , y sea un número complejo en otra copia de . Identifique cada número complejo distinto de cero del primero con el número complejo distinto de cero del segundo . Luego, el mapa ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle 1/\xi }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$

Se denomina mapa de transición entre las dos copias de —las llamadas cartas— pegándolas entre sí. Dado que los mapas de transición son holomorfos , definen una variedad compleja, llamada esfera de Riemann . Como variedad compleja de 1 dimensión compleja (es decir, 2 dimensiones reales), también se denomina superficie de Riemann . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Intuitivamente, los mapas de transición indican cómo pegar dos planos para formar la esfera de Riemann. Los planos se pegan de manera "de adentro hacia afuera", de modo que se superponen casi en todas partes, y cada plano aporta solo un punto (su origen) que falta en el otro plano. En otras palabras, (casi) todos los puntos de la esfera de Riemann tienen un valor y un valor, y los dos valores están relacionados por . El punto donde debería tener entonces el valor " "; en este sentido, el origen del gráfico juega el papel de en el gráfico. Simétricamente, el origen del gráfico juega el papel de en el gráfico. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta =1/\xi }$ ${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \xi }$

Topológicamente , el espacio resultante es la compactificación de un punto de un plano en la esfera. Sin embargo, la esfera de Riemann no es simplemente una esfera topológica. Es una esfera con una estructura compleja bien definida , de modo que alrededor de cada punto de la esfera hay un entorno que puede identificarse biholomórficamente con . ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Por otra parte, el teorema de uniformización , resultado central en la clasificación de las superficies de Riemann, establece que toda superficie de Riemann simplemente conexa es biholomorfa respecto del plano complejo, el plano hiperbólico o la esfera de Riemann. De éstas, la esfera de Riemann es la única que es una superficie cerrada (una superficie compacta sin borde ). Por tanto, la esfera bidimensional admite una estructura compleja única que la convierte en una variedad compleja unidimensional.

Como la línea proyectiva compleja

La esfera de Riemann también puede definirse como la línea proyectiva compleja . Los puntos de la línea proyectiva compleja pueden definirse como clases de equivalencia de vectores no nulos en el espacio vectorial complejo : dos vectores no nulos y son equivalentes si y solo si para algún coeficiente no nulo . ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (w,z)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle (w,z)=(\lambda u,\lambda v)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbf {C} }$

En este caso, la clase de equivalencia se escribe utilizando coordenadas proyectivas . Dado cualquier punto en la línea proyectiva compleja, uno de y debe ser distinto de cero, digamos . Luego, por la noción de equivalencia, , que está en un gráfico para la variedad esférica de Riemann. ^[3] ${\displaystyle [w,z]}$ ${\displaystyle [w,z]}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w\neq 0}$ ${\displaystyle [w,z]=\left[1,z/w\right]}$

Este tratamiento de la esfera de Riemann se conecta más fácilmente con la geometría proyectiva. Por ejemplo, cualquier línea (o cónica suave) en el plano proyectivo complejo es biholomorfa con respecto a la línea proyectiva compleja. También es conveniente para estudiar los automorfismos de la esfera , más adelante en este artículo.

Como una esfera

Proyección estereográfica de un número complejo A sobre un punto α de la esfera de Riemann.

La esfera de Riemann puede visualizarse como la esfera unitaria en el espacio real tridimensional . Para ello, considérese la proyección estereográfica desde la esfera unitaria menos el punto sobre el plano que identificamos con el plano complejo por . En coordenadas cartesianas y coordenadas esféricas sobre la esfera (con el cenit y el acimut ), la proyección es ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle z=0,}$ ${\displaystyle \zeta =x+iy}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}={\cot }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{i\varphi }.}$

De manera similar, la proyección estereográfica sobre el plano identificado con otra copia del plano complejo se escribe ${\displaystyle (0,0,-1)}$ ${\displaystyle z=0,}$ ${\displaystyle \xi =x-iy,}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{-i\varphi }.}$

Las inversas de estas dos proyecciones estereográficas son aplicaciones del plano complejo a la esfera. La primera inversa cubre la esfera excepto el punto , y la segunda cubre la esfera excepto el punto . Los dos planos complejos, que son los dominios de estas aplicaciones, se identifican de manera diferente con el plano , porque es necesaria una inversión de orientación para mantener una orientación consistente en la esfera. ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,-1)}$ ${\displaystyle z=0}$

Las funciones de transición entre las coordenadas y se obtienen componiendo una proyección con la inversa de la otra. Resultan ser y , como se ha descrito anteriormente. Por tanto, la esfera unitaria es difeomorfa con respecto a la esfera de Riemann. ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta =1/\xi }$ ${\displaystyle \xi =1/\zeta }$

Bajo este difeomorfismo, el círculo unitario en el gráfico , el círculo unitario en el gráfico , y el ecuador de la esfera unitaria se identifican. El disco unitario se identifica con el hemisferio sur , mientras que el disco unitario se identifica con el hemisferio norte . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle |\zeta |<1}$ ${\displaystyle z<0}$ ${\displaystyle |\xi |<1}$ ${\displaystyle z>0}$

Métrico

Una superficie de Riemann no viene equipada con ninguna métrica riemanniana particular . Sin embargo, la estructura conforme de la superficie de Riemann determina una clase de métricas: todas aquellas cuya estructura conforme subordinada es la dada. En más detalle: la estructura compleja de la superficie de Riemann determina de manera única una métrica hasta la equivalencia conforme . (Se dice que dos métricas son conformemente equivalentes si difieren por multiplicación por una función suave positiva ). Por el contrario, cualquier métrica en una superficie orientada determina de manera única una estructura compleja, que depende de la métrica solo hasta la equivalencia conforme. Por lo tanto, las estructuras complejas en una superficie orientada están en correspondencia biunívoca con las clases conformes de métricas en esa superficie.

Dentro de una clase conforme dada, se puede utilizar la simetría conforme para encontrar una métrica representativa con propiedades convenientes. En particular, siempre hay una métrica completa con curvatura constante en cualquier clase conforme dada.

En el caso de la esfera de Riemann, el teorema de Gauss-Bonnet implica que una métrica de curvatura constante debe tener una curvatura positiva . De ello se deduce que la métrica debe ser isométrica a la esfera de radio en mediante proyección estereográfica. En el diagrama de la esfera de Riemann, la métrica con está dada por ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle K=1}$

${\displaystyle ds^{2}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\overline {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}.}$

En coordenadas reales , la fórmula es ${\displaystyle \zeta =u+iv}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).}$

Hasta un factor constante, esta métrica concuerda con la métrica estándar de Fubini-Study sobre el espacio proyectivo complejo (del cual la esfera de Riemann es un ejemplo).

Hasta el punto de escalar, esta es la única métrica en la esfera cuyo grupo de isometrías que preservan la orientación es tridimensional (y ninguna es más que tridimensional); ese grupo se llama . En este sentido, esta es, con mucho, la métrica más simétrica en la esfera. (El grupo de todas las isometrías, conocido como , también es tridimensional, pero a diferencia de no es un espacio conexo). ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle {\mbox{O}}(3)}$ ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$

Por el contrario, denotemos la esfera (como una variedad abstracta lisa o topológica ). Por el teorema de uniformización existe una estructura compleja única en hasta equivalencia conforme. De ello se deduce que cualquier métrica en es conformemente equivalente a la métrica redonda . Todas esas métricas determinan la misma geometría conforme. Por lo tanto, la métrica redonda no es intrínseca a la esfera de Riemann, ya que la "redondez" no es un invariante de la geometría conforme. La esfera de Riemann es solo una variedad conforme , no una variedad riemanniana . Sin embargo, si uno necesita hacer geometría riemanniana en la esfera de Riemann, la métrica redonda es una elección natural (con cualquier radio fijo, aunque el radio es la elección más simple y más común). Esto se debe a que solo una métrica redonda en la esfera de Riemann tiene su grupo de isometría como un grupo tridimensional. (Es decir, el grupo conocido como , un grupo continuo ("Lie") que es topológicamente el espacio proyectivo tridimensional ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

Automorfismos

Una transformación de Möbius que actúa sobre la esfera y sobre el plano por proyección estereográfica .

El estudio de cualquier objeto matemático se ve facilitado por la comprensión de su grupo de automorfismos, es decir, las funciones del objeto hacia sí mismo que preservan la estructura esencial del objeto. En el caso de la esfera de Riemann, un automorfismo es una función conforme invertible (es decir, una función biholomórfica) de la esfera de Riemann hacia sí misma. Resulta que las únicas funciones de este tipo son las transformaciones de Möbius . Estas son funciones de la forma

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},}$

donde , , , y son números complejos tales que . Ejemplos de transformaciones de Möbius incluyen dilataciones , rotaciones , traslaciones e inversiones complejas. De hecho, cualquier transformación de Möbius puede escribirse como una composición de estas. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$

Las transformaciones de Möbius son homografías sobre la recta proyectiva compleja. En coordenadas proyectivas , la transformación f puede escribirse

${\displaystyle [\zeta ,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [a\zeta +b,\ c\zeta +d]\ =\ \left[{\tfrac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},\ 1\right]\ =\ [f(\zeta ),\ 1].}$

Por lo tanto, las transformaciones de Möbius pueden describirse como matrices complejas de dos por dos con determinante distinto de cero . Dado que actúan sobre coordenadas proyectivas, dos matrices dan como resultado la misma transformación de Möbius si y solo si difieren en un factor distinto de cero. El grupo de transformaciones de Möbius es el grupo lineal proyectivo . ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$

Si se dota a la esfera de Riemann de la métrica de Fubini-Study , entonces no todas las transformaciones de Möbius son isometrías; por ejemplo, las dilataciones y las traslaciones no lo son. Las isometrías forman un subgrupo propio de , a saber . Este subgrupo es isomorfo al grupo de rotación , que es el grupo de simetrías de la esfera unidad en (que, cuando se restringen a la esfera, se convierten en las isometrías de la esfera). ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle {\mbox{PSU}}(2)}$ ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

Aplicaciones

En el análisis complejo, una función meromorfa en el plano complejo (o en cualquier superficie de Riemann, para el caso) es un cociente de dos funciones holomorfas y . Como función de los números complejos, no está definida donde sea cero. Sin embargo, induce una función holomorfa con la línea proyectiva compleja que está bien definida incluso donde . Esta construcción es útil en el estudio de funciones holomorfas y meromorfas. Por ejemplo, en una superficie de Riemann compacta no hay funciones holomorfas no constantes con los números complejos, pero las funciones holomorfas con la línea proyectiva compleja son abundantes. ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle g=0}$

La esfera de Riemann tiene muchos usos en física. En mecánica cuántica, los puntos en la línea proyectiva compleja son valores naturales para los estados de polarización de fotones , estados de espín de partículas masivas de espín , y partículas de 2 estados en general (ver también Bit cuántico y Esfera de Bloch ). La esfera de Riemann ha sido sugerida como un modelo relativista para la esfera celeste . ^[4] En teoría de cuerdas , las capas del mundo de las cuerdas son superficies de Riemann, y la esfera de Riemann, al ser la superficie de Riemann más simple, juega un papel significativo. También es importante en la teoría de twistores . ${\displaystyle 1/2}$

Véase también

• Geometría conforme
• Relación cruzada
• Dibujo infantil
• Infinito dirigido
• Paquete de Hopf
• Plano de Möbius
• Paralelo (operador) § Propiedades
• Línea real extendida proyectivamente
• Diagrama de Smith
• Teoría de la rueda

Notas

1. Riemann 1857.
2. "C^*". Archivado desde el original el 8 de octubre de 2021 . Consultado el 12 de diciembre de 2021 .
3. Goldman 1999, pág. 1.
4. Penrose 2007, págs. 428–430.

Referencias

• Brown, James y Churchill, Ruel (1989). Variables complejas y aplicaciones . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010905-2.
• Goldman, William Mark (1999). Geometría hiperbólica compleja . Oxford: Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853793-X.
• Griffiths, Phillip y Harris, Joseph (1978). Principios de geometría algebraica . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Penrose, Roger (2007). El camino hacia la realidad . Londres: National Geographic Books. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Riemann, Bernhard (1857). "Theorie der Abel'schen Functionen" [Teoría de las funciones abelianas]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 54 : 115-155.
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100276-6.

Enlaces externos

• "Esfera de Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Transformaciones de Möbius reveladas, por Douglas N. Arnold y Jonathan Rogness (un video de dos profesores de la Universidad de Minnesota que explican e ilustran las transformaciones de Möbius utilizando la proyección estereográfica desde una esfera)