En geometría diferencial y geometría compleja , una variedad compleja es una variedad con un atlas de gráficos para el disco unitario abierto [1] en , de modo que los mapas de transición son holomorfos .
El término variedad compleja se utiliza de diversas formas para referirse a una variedad compleja en el sentido anterior (que puede especificarse como una variedad compleja integrable ) y a una variedad casi compleja .
Dado que las funciones holomorfas son mucho más rígidas que las funciones suaves , las teorías de variedades suaves y complejas tienen sabores muy diferentes: las variedades complejas compactas están mucho más cerca de las variedades algebraicas que de las variedades diferenciables.
Por ejemplo, el teorema de incrustación de Whitney nos dice que cada variedad suave de n dimensiones puede incrustarse como una subvariedad suave de R 2 n , mientras que es "raro" que una variedad compleja tenga una incrustación holomorfa en C n . Considere, por ejemplo, cualquier variedad compleja conectada compacta M : cualquier función holomorfa en ella es constante según el principio del módulo máximo . Ahora bien, si tuviéramos una incrustación holomorfa de M en C n , entonces las funciones coordinadas de C n se restringirían a funciones holomorfas no constantes en M , lo que contradice la compacidad, excepto en el caso de que M sea solo un punto. Las variedades complejas que pueden incluirse en C n se denominan variedades de Stein y forman una clase muy especial de variedades que incluyen, por ejemplo, variedades algebraicas afines complejas suaves.
La clasificación de variedades complejas es mucho más sutil que la de variedades diferenciables. Por ejemplo, mientras que en dimensiones distintas de cuatro, una variedad topológica dada tiene como máximo un número finito de estructuras suaves , una variedad topológica que soporta una estructura compleja puede soportar, y a menudo soporta, incontables estructuras complejas. Las superficies de Riemann , variedades bidimensionales dotadas de una estructura compleja, que se clasifican topológicamente por género , son un ejemplo importante de este fenómeno. El conjunto de estructuras complejas en una superficie orientable dada, equivalencia biholomórfica de módulo, forma en sí misma una variedad algebraica compleja llamada espacio de módulos , cuya estructura sigue siendo un área de investigación activa.
Dado que los mapas de transición entre gráficos son biholomórficos, las variedades complejas son, en particular, suaves y canónicamente orientadas (no solo orientables : un mapa biholomórfico a (un subconjunto de) C n da una orientación, ya que los mapas biholomórficos preservan la orientación).
Las variedades algebraicas complejas suaves son variedades complejas que incluyen:
Las variedades complejas unidimensionales simplemente conectadas son isomorfas a:
Tenga en cuenta que hay inclusiones entre estos como Δ ⊆ C ⊆ Ĉ , pero que no hay aplicaciones holomorfas no constantes en la otra dirección, según el teorema de Liouville .
Los siguientes espacios son diferentes como variedades complejas, lo que demuestra el carácter geométrico más rígido de las variedades complejas (en comparación con las variedades suaves):
Una estructura casi compleja en una variedad 2n real es una estructura GL( n , C ) (en el sentido de estructuras G ), es decir, el paquete tangente está equipado con una estructura lineal compleja .
Concretamente, este es un endomorfismo del paquete tangente cuyo cuadrado es −I ; este endomorfismo es análogo a la multiplicación por el número imaginario i , y se denota J (para evitar confusión con la matriz identidad I ). Una variedad casi compleja es necesariamente de dimensión par.
Una estructura casi compleja es más débil que una estructura compleja: cualquier variedad compleja tiene una estructura casi compleja, pero no toda estructura casi compleja proviene de una estructura compleja. Tenga en cuenta que cada variedad real de dimensión par tiene una estructura casi compleja definida localmente a partir del gráfico de coordenadas local. La pregunta es si esta estructura casi compleja puede definirse globalmente. Una estructura casi compleja que proviene de una estructura compleja se llama integrable , y cuando se desea especificar una estructura compleja en contraposición a una estructura casi compleja, se dice estructura compleja integrable . Para estructuras complejas integrables, el llamado tensor de Nijenhuis desaparece. Este tensor se define en pares de campos vectoriales, X , Y por
Por ejemplo, la esfera de 6 dimensiones S 6 tiene una estructura natural casi compleja que surge del hecho de que es el complemento ortogonal de i en la esfera unitaria de los octoniones , pero esta no es una estructura compleja. (La cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . [3] ) Usando una estructura casi compleja podemos dar sentido a los mapas holomórficos y preguntar sobre la existencia de coordenadas holomorfas en la variedad. La existencia de coordenadas holomorfas equivale a decir que la variedad es compleja (que es lo que dice la definición del gráfico).
Al tensar el paquete tangente con los números complejos , obtenemos el paquete tangente complejado , en el que la multiplicación por números complejos tiene sentido (incluso si comenzamos con una variedad real). Los valores propios de una estructura casi compleja son ± i y los espacios propios forman subpaquetes denotados por T 0,1 M y T 1,0 M. El teorema de Newlander-Nirenberg muestra que una estructura casi compleja es en realidad una estructura compleja precisamente cuando estos subconjuntos son involutivos , es decir, cerrados bajo el corchete de Lie de los campos vectoriales, y una estructura tan casi compleja se llama integrable .
Se puede definir un análogo de una métrica de Riemann para variedades complejas, llamada métrica hermitiana . Al igual que una métrica de Riemann, una métrica hermitiana consiste en un producto interno definido positivo y que varía suavemente en el paquete tangente, que es hermitiano con respecto a la estructura compleja en el espacio tangente en cada punto. Como en el caso de Riemann, estas métricas siempre existen en abundancia en cualquier variedad compleja. Si la parte simétrica sesgada de dicha métrica es simpléctica , es decir, cerrada y no degenerada, entonces la métrica se llama Kähler . Las estructuras de Kähler son mucho más difíciles de conseguir y mucho más rígidas.
Ejemplos de variedades de Kähler incluyen variedades proyectivas suaves y, de manera más general, cualquier subvariedad compleja de una variedad de Kähler. Las variedades de Hopf son ejemplos de variedades complejas que no son Kähler. Para construir uno, tome un espacio vectorial complejo menos el origen y considere la acción del grupo de números enteros en este espacio multiplicando por exp( n ). El cociente es una variedad compleja cuyo primer número de Betti es uno, por lo que según la teoría de Hodge , no puede ser Kähler.
Una variedad Calabi-Yau se puede definir como una variedad Kähler plana de Ricci compacta o, de manera equivalente, una cuya primera clase Chern desaparece.
![{\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0657943fc0c667681387a682be413da0030ec1d)