colector cuaterniónico

Concepto en geometría

En geometría diferencial , una variedad cuaterniónica es un análogo cuaterniónico de una variedad compleja . La definición es más complicada y técnica que la de variedades complejas debido en parte a la no conmutatividad de los cuaterniones y en parte a la falta de un cálculo adecuado de funciones holomorfas para los cuaterniones. La definición más sucinta utiliza el lenguaje de estructuras G en una variedad . Específicamente, una variedad cuaterniónica n se puede definir como una variedad suave de dimensión real 4 n equipada con una estructura libre de torsión . Definiciones más ingenuas, pero sencillas, conducen a una escasez de ejemplos y excluyen espacios como el espacio proyectivo cuaterniónico que claramente deberían considerarse variedades cuaterniónicas. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$

Historia temprana

El artículo de Marcel Berger de 1955 ^[1] sobre la clasificación de los grupos de holonomía de Riemann planteó por primera vez la cuestión de la existencia de variedades no simétricas con holonomía Sp( n )·Sp(1). A mediados de la década de 1960 se demostraron resultados interesantes en trabajos pioneros. por Edmond Bonan ^[2] y Kraines ^[3], quienes han demostrado de forma independiente que cualquier variedad de este tipo admite una forma 4 paralela . El análogo tan esperado del teorema fuerte de Lefschetz se publicó ^[4] en 1982: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.}$

Definiciones

El grupo lineal general cuaterniónico mejorado.

Si consideramos el espacio vectorial cuaterniónico como un módulo derecho , podemos identificar el álgebra de aplicaciones lineales derechas con el álgebra de matrices cuaterniónicas que actúan desde la izquierda . Los mapas lineales rectos invertibles forman entonces un subgrupo de . Podemos mejorar este grupo con el grupo de cuaterniones distintos de cero que actúan mediante multiplicación escalar desde la derecha . Dado que esta multiplicación escalar es lineal (pero no lineal), tenemos otra incorporación de en . Luego, el grupo se define como el producto de estos subgrupos en . Dado que la intersección de los subgrupos y en es su centro mutuo (el grupo de matrices escalares con coeficientes reales distintos de cero), tenemos el isomorfismo ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{4n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }\cong (\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\times \mathbb {H} ^{\times })/\mathbb {R} ^{\times }.}$

Estructura casi cuaterniónica

Una estructura casi cuaterniónica en una variedad lisa es solo una estructura -en . De manera equivalente, se puede definir como un subhaz del paquete de endomorfismo tal que cada fibra es isomorfa (como un álgebra real ) al álgebra de cuaterniones . El subhaz se llama haz de estructura casi cuaterniónica . Una variedad equipada con una estructura casi cuaterniónica se llama variedad casi cuaterniónica . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (TM)}$ ${\displaystyle H_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle H}$

El paquete de estructura de cuaterniones admite naturalmente una métrica de paquete proveniente de la estructura de álgebra cuaterniónica y, con esta métrica, se divide en una suma directa ortogonal de paquetes de vectores donde es el paquete de líneas trivial a través del operador de identidad y es un paquete de vectores de rango 3. correspondiente a los cuaterniones puramente imaginarios. Ni los paquetes ni son necesariamente triviales. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=L\oplus E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$

El paquete de esferas unitarias del interior corresponde a los cuaterniones imaginarios unitarios puros. Estos son endomorfismos de los espacios tangentes que cuadran a −1. El paquete se denomina espacio twistor de la variedad y sus propiedades se describen con más detalle a continuación. Las secciones locales de son estructuras casi complejas (definidas localmente) . Existe una vecindad de cada punto en una variedad casi cuaterniónica con una 2 esfera completa de estructuras casi complejas definidas en . Siempre se pueden encontrar cosas que ${\displaystyle Z=S(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I,J,K\in \Gamma (Z|_{U})}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Sin embargo, tenga en cuenta que ninguno de estos operadores puede extenderse a todos . Es decir, el paquete puede no admitir secciones globales (por ejemplo, este es el caso del espacio proyectivo cuaterniónico ). Esto contrasta marcadamente con la situación de las variedades complejas, que siempre tienen una estructura casi compleja definida globalmente. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

estructura cuaterniónica

Una estructura cuaterniónica en una variedad lisa es una estructura casi cuaterniónica que admite una conexión afín sin torsión preservando . Esta conexión nunca es única y no se considera parte de la estructura cuaterniónica. Una variedad cuaterniónica es una variedad lisa junto con una estructura cuaterniónica en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Casos especiales y estructuras adicionales.

Variedades hipercomplejas

Una variedad hipercompleja es una variedad cuaterniónica con una estructura libre de torsión. La reducción del grupo de estructuras a es posible si y sólo si el paquete de estructuras casi cuaterniónicas es trivial (es decir, isomorfo a ). Una estructura casi hipercompleja corresponde a un marco global de , o, equivalentemente, a un triple de estructuras casi complejas , y tal que ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle H\subset \operatorname {End} (TM)}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {H} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Una estructura hipercompleja es una estructura casi hipercompleja tal que cada uno de y son integrables. ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle K}$

Colectores cuaterniónicos de Kähler

Una variedad cuaterniónica de Kähler es una variedad cuaterniónica con una estructura libre de torsión. ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\cdot \operatorname {Sp} (1)}$

Colectores Hyperkähler

Una variedad Hyperkähler es una variedad cuaterniónica con una estructura libre de torsión. Una variedad hiperkähler es simultáneamente una variedad hipercompleja y una variedad Kähler cuaterniónica. ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

Espacio torsional

Dada una variedad cuaterniónica , el subconjunto unitario de 2 esferas correspondiente a los cuaterniones imaginarios unitarios puros (o estructuras casi complejas) se denomina espacio twistor de . Resulta que, cuando , existe una estructura compleja natural tal que las fibras de la proyección son isomorfas a . Cuando , el espacio admite una estructura natural casi compleja , pero esta estructura es integrable sólo si la variedad es autodual. Resulta que la geometría cuaterniónica de puede reconstruirse completamente a partir de datos holomórficos de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z=S(E)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$

La teoría del espacio twistor proporciona un método para traducir problemas sobre variedades cuaterniónicas en problemas sobre variedades complejas, que se entienden mucho mejor y son susceptibles de métodos de geometría algebraica . Desafortunadamente, el espacio twistor de una variedad cuaterniónica puede ser bastante complicado, incluso para espacios simples como . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

Referencias

• Besse, Arthur L. (1987). Colectores de Einstein . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15279-2.
• Joyce, Dominic (2000). Colectores Compactos con Holonomía Especial . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-850601-5.

1. Berger, Marcel (1955). "Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 83 : 279–330. doi : 10.24033/bsmf.1464 .
2. Bonán, Edmond (1965). "Estructura preque quaternale sur une variété diferenciable". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 261 : 5445–8.
3. Kraines, Vivian Yoh (1966). "Topología de variedades cuaterniónicas" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 122 (2): 357–367. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR  1994553.
4. Bonán, Edmond (1982). "Sur l'algèbre extérieure d'une variété presque hermitienne quaternionique". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 295 : 115-118.