Colector Hyperkähler

En geometría diferencial , una variedad hiperkähler es una variedad de Riemann dotada de tres estructuras casi complejas integrables que son Kähler con respecto a la métrica de Riemann y satisfacen las relaciones cuaterniónicas . En particular, es una variedad hipercompleja . Todas las variedades Hyperkähler son Ricci-planas y, por tanto, son variedades Calabi-Yau . ^[a] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle I,J,K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Las variedades Hyperkähler fueron definidas por Eugenio Calabi en 1979. ^[1]

Historia temprana

El artículo de Marcel Berger de 1955 ^[2] sobre la clasificación de los grupos de holonomía de Riemann planteó por primera vez la cuestión de la existencia de variedades no simétricas con holonomía Sp( n )·Sp(1). A mediados de la década de 1960 se demostraron resultados interesantes en un trabajo pionero. por Edmond Bonan ^[3] y Kraines ^[4] , quienes han demostrado de forma independiente que cualquier variedad de este tipo admite una forma 4 paralela . El análogo tan esperado del teorema fuerte de Lefschetz se publicó ^[5] en 1982: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.}$

Definición equivalente en términos de holonomía

De manera equivalente, una variedad hiperkähler es una variedad de dimensión de Riemann cuyo grupo de holonomía está contenido en el grupo simpléctico compacto Sp ( n ) . ^[1] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle 4n}$

De hecho, si es una variedad hiperkähler, entonces el espacio tangente T _x M es un espacio vectorial cuaterniónico para cada punto x de M , es decir, es isomorfo a algún número entero , donde está el álgebra de cuaterniones . El grupo simpléctico compacto Sp( n ) puede considerarse como el grupo de transformaciones ortogonales que son lineales con respecto a I , J y K. De esto se deduce que el grupo de holonomía de la variedad de Riemann está contenido en Sp( n ) . Por el contrario, si el grupo de holonomía de una variedad de dimensión de Riemann está contenido en Sp( n ) , elija estructuras complejas I _x , J _x y K _x en T _x M que conviertan a T _x M en un espacio vectorial cuaterniónico. El transporte paralelo de estas estructuras complejas proporciona las estructuras complejas requeridas en M , lo que forma una variedad hiperkähler. ${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle I,J,K}$ ${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$

Dos esferas de estructuras complejas.

Cada variedad hiperkähler tiene dos esferas de estructuras complejas con respecto a las cuales la métrica es Kähler . De hecho, para cualquier número real tal que ${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,}$

la combinación lineal

${\displaystyle aI+bJ+cK\,}$

Es una estructura compleja que es Kähler con respecto a . Si denota las formas Kähler de , respectivamente, entonces la forma Kähler de es ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}}$ ${\displaystyle (g,I),(g,J),(g,K)}$ ${\displaystyle aI+bJ+cK}$

${\displaystyle a\omega _{I}+b\omega _{J}+c\omega _{K}.}$

Forma simpléctica holomorfa

Una variedad hiperkähler , considerada como una variedad compleja , es holomorfamente simpléctica (equipada con una forma 2 cerrada holomorfa, no degenerada). Más precisamente, si denota las formas Kähler de , respectivamente, entonces ${\displaystyle (M,g,I,J,K)}$ ${\displaystyle (M,I)}$ ${\displaystyle \omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}}$ ${\displaystyle (g,I),(g,J),(g,K)}$

${\displaystyle \Omega :=\omega _{J}+i\omega _{K}}$

es simpléctica holomorfa con respecto a . ${\displaystyle I}$

Por el contrario, la prueba de Shing-Tung Yau de la conjetura de Calabi implica que una variedad compacta , Kähler , holomórficamente simpléctica siempre está equipada con una métrica hiperkähler compatible. ^[6] Esta métrica es única en una clase Kähler determinada. Las variedades hiperkähler compactas se han estudiado extensamente utilizando técnicas de geometría algebraica , a veces bajo el nombre de variedades holomórficamente simplécticas . El grupo de holonomía de cualquier métrica de Calabi-Yau en una variedad holomorficamente simpléctica compacta simplemente conectada de dimensión compleja con es exactamente Sp ( n ) ; y si la variedad Calabi-Yau simplemente conectada tiene , es solo el producto riemanniano de variedades hiperkähler de dimensiones inferiores. Este hecho se deriva inmediatamente de la fórmula de Bochner para formas holomorfas en una variedad de Kähler, junto con la clasificación de Berger de grupos de holonomía ; Irónicamente, a menudo se atribuye a Bogomolov, quien incorrectamente afirmó en el mismo artículo que las variedades compactas Hyperkähler en realidad no existen. ${\displaystyle (M,I,\Omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle H^{2,0}(M)=1}$ ${\displaystyle H^{2,0}(M)\geq 2}$

Ejemplos

Para cualquier número entero , el espacio de -tuplas de cuaterniones dotados de la métrica euclidiana plana es una variedad hiperkähler. El primer ejemplo no trivial descubierto es la métrica de Eguchi-Hanson en el paquete cotangente de las dos esferas . También fue descubierto de forma independiente por Eugenio Calabi , quien mostró la afirmación más general de que el fibrado cotangente de cualquier espacio proyectivo complejo tiene una métrica hiperkähler completa . ^[1] De manera más general, Birte Feix y Dmitry Kaledin demostraron que el haz cotangente de cualquier variedad de Kähler tiene una estructura hiperkähler en una vecindad de su sección cero , aunque generalmente es incompleta. ^{[7] [8]} ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}S^{2}}$ ${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} ^{n}}$

Debido a la clasificación de superficies complejas de Kunihiko Kodaira , sabemos que cualquier colector hiperkähler compacto de 4 es una superficie K3 o un toro compacto . (Cada variedad Calabi-Yau en 4 dimensiones (reales) es una variedad hiperkähler, porque SU(2) es isomorfa a Sp(1) .) ${\displaystyle T^{4}}$

Como descubrió Beauville, ^[6] el esquema de Hilbert de k puntos en una variedad hiperkähler compacta de 4 es una variedad hiperkähler de dimensión 4k . Esto da lugar a dos series de ejemplos compactos: esquemas de Hilbert de puntos sobre una superficie K3 y variedades generalizadas de Kummer .

Las 4 variedades hiperkähler completas, no compactas, que son asintóticas a H / G , donde H denota los cuaterniones y G es un subgrupo finito de Sp(1) , se conocen como espacios asintóticamente localmente euclidianos o ALE. Estos espacios, y varias generalizaciones que involucran diferentes comportamientos asintóticos, se estudian en física bajo el nombre de instantones gravitacionales . El ansatz de Gibbons-Hawking ofrece ejemplos invariantes bajo una acción circular.

Muchos ejemplos de variedades hiperkähler no compactas surgen como espacios de módulos de soluciones a ciertas ecuaciones de la teoría de calibre que surgen de la reducción dimensional de las ecuaciones duales anti-auto de Yang-Mills : espacios de módulos instantáneos, ^{[9] espacios de} módulos monopolo , ^[10] espacios de soluciones a las ecuaciones de autodualidad de Nigel Hitchin en superficies de Riemann , ^[11] espacio de soluciones a las ecuaciones de Nahm . Otra clase de ejemplos son las variedades de carcaj de Nakajima , ^[12] que son de gran importancia en la teoría de la representación.

Cohomología

Kurnosov, Soldatenkov y Verbitsky (2019) muestran que la cohomología de cualquier variedad hiperkähler compacta se integra en la cohomología de un toro, de una manera que preserva la estructura de Hodge .

Notas

1. Esto se puede ver fácilmente al observar que Sp( n ) es un subgrupo del grupo unitario especial SU( 2n ) .

Ver también

• Colector Quaternion-Kähler
• Colector hipercomplejo
• colector cuaterniónico
• Colector Calabi-Yau
• Instantón gravitacional
• cociente de hiperkähler
• Teoría del tornado

Referencias

1. Calabi, Eugenio (1979). "Métriques kählériennes et fibrés holomorphes". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Quatrième Serie, 12 (2): 269–294. doi : 10.24033/asens.1367 .
2. Berger, Marcel (1955). "Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 83 : 279–330. doi : 10.24033/bsmf.1464 .
3. Bonán, Edmond (1965). "Estructura presque quaternale sur une variété diferenciable". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 261 : 5445–8.
4. Kraines, Vivian Yoh (1966). "Topología de variedades cuaterniónicas" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 122 (2): 357–367. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR  1994553.
5. Bonán, Edmond (1982). "Sur l'algèbre extérieure d'une variété presque hermitienne quaternionique". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 295 : 115-118.
6. Beauville, A. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle. J. Geom diferencial. 18 (1983), núm. 4, 755–782 (1984).
7. Feix, B. Métricas de Hyperkähler sobre paquetes cotangentes. J. Reina Angew. Matemáticas. 532 (2001), 33–46.
8. Kaledin, D. Una métrica hiperkähler canónica en el espacio total de un paquete cotangente. Estructuras cuaterniónicas en matemáticas y física (Roma, 1999), 195–230, Univ. Studi Roma "La Sapienza", Roma, 1999.
9. Maciocia, A. Métricas sobre los espacios de módulos de instantones sobre 4 espacios euclidianos. Com. Matemáticas. Física. 135 (1991), núm. 3, 467–482.
10. Atiyah, M.; Hitchin, N. La geometría y dinámica de los monopolos magnéticos. Conferencias MB Porter. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1988.
11. Hitchin, N. Las ecuaciones de autodualidad en una superficie de Riemann. Proc. Matemáticas de Londres. Soc. (3) 55 (1987), núm. 1, 59-126.
12. Nakajima, H. Instantones sobre espacios ALE, variedades de carcaj y álgebras de Kac-Moody. Duque Matemáticas. J. 76 (1994), núm. 2, 365–416.

• Dunajski, Maciej; Mason, Lionel J. (2000), "Jerarquías Hyper-Kähler y su teoría de twistores", Comunicaciones en Física Matemática , 213 (3): 641–672, arXiv : math/0001008 , Bibcode : 2000CMaPh.213..641D, doi :10.1007/PL00005532, SEÑOR  1785432, S2CID  17884816
• Kieran G. O'Grady, (2011) "Análogos de dimensiones superiores de superficies K3". Señor2931873
• Hitchin, Nigel (1991–1992), "Múltiples Hyperkähler", Séminaire N. Bourbaki , 34 (Discusión n.º 748): 137–166, MR  1206066
• Kurnosov, Nikon; Soldatenkov, Andrey; Verbitsky, Misha (2019), "Construcción Kuga-Satake y cohomología de variedades hiperkähler", Avances en Matemáticas , 351 : 275–295, arXiv : 1703.07477 , doi : 10.1016/j.aim.2019.04.060, MR  3952121, S2CID  1191 24485