Colector casi complejo

Colector liso

En matemáticas , una variedad casi compleja es una variedad suave equipada con una estructura compleja lineal suave en cada espacio tangente . Cada variedad compleja es una variedad casi compleja, pero hay variedades casi complejas que no son variedades complejas. Las estructuras casi complejas tienen importantes aplicaciones en geometría simpléctica .

El concepto se debe a Charles Ehresmann y Heinz Hopf en los años 40. ^[1]

Definicion formal

Sea M una variedad suave. Una estructura casi compleja J en M es una estructura lineal compleja (es decir, una aplicación lineal que cuadra a −1) en cada espacio tangente de la variedad, que varía suavemente en la variedad. En otras palabras, tenemos un campo tensorial suave J de grado (1, 1) tal que cuando se considera como un isomorfismo de haz vectorial en el haz tangente . Una variedad equipada con una estructura casi compleja se llama variedad casi compleja . ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle J\colon TM\to TM}$

Si M admite una estructura casi compleja, debe ser de dimensiones pares. Esto se puede ver de la siguiente manera. Supongamos que M es n -dimensional y sea J  : TM → TM una estructura casi compleja. Si J ² = −1 entonces (det J ) ² = (−1) ⁿ . Pero si M es una variedad real, entonces det J es un número real; por lo tanto, n debe ser par si M tiene una estructura casi compleja. Se puede demostrar que también debe ser orientable .

Un ejercicio sencillo de álgebra lineal muestra que cualquier espacio vectorial de dimensión par admite una estructura lineal compleja. Por lo tanto, una variedad de dimensión par siempre admite un tensor de rango (1, 1) puntual (que es solo una transformación lineal en cada espacio tangente) tal que J _p ² = −1 en cada punto p . Sólo cuando este tensor local se puede unir para definirlo globalmente, la estructura compleja lineal puntual produce una estructura casi compleja, que luego se determina de forma única. La posibilidad de este parcheo y, por lo tanto, la existencia de una estructura casi compleja en una variedad M es equivalente a una reducción del grupo estructural del paquete tangente de GL(2 n , R ) a GL( n , C ) . La cuestión de la existencia es entonces una cuestión topológica puramente algebraica y se comprende bastante bien.

Ejemplos

Para todo número entero n, el espacio plano R ^{2 n} admite una estructura casi compleja. Un ejemplo de una estructura tan casi compleja es (1 ≤ i , j ≤ 2 n ): para i impar , para i par . ${\displaystyle J_{ij}=-\delta _{i,j-1}}$ ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{i,j+1}}$

Las únicas esferas que admiten estructuras casi complejas son S ² y S ⁶ (Borel & Serre (1953)). En particular, al S ⁴ no se le puede dar una estructura casi compleja (Ehresmann y Hopf). En el caso de S ² , la estructura casi compleja proviene de una estructura compleja honesta en la esfera de Riemann . La 6-esfera, S ⁶ , cuando se considera como el conjunto de octoniones imaginarios de norma unitaria , hereda una estructura casi compleja de la multiplicación de octoniones; la cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . ^[2]

Topología diferencial de variedades casi complejas.

Así como una estructura compleja en un espacio vectorial V permite una descomposición de V ^C en V ⁺ y V ⁻ (los espacios propios de J correspondientes a + i y − i , respectivamente), así una estructura casi compleja en M permite una descomposición de los paquete tangente complejado TM ^C (que es el paquete vectorial de espacios tangentes complejados en cada punto) en TM ⁺ y TM ⁻ . Una sección de TM ⁺ se llama campo vectorial de tipo (1, 0), mientras que una sección de TM ⁻ es un campo vectorial de tipo (0, 1). Por tanto, J corresponde a la multiplicación por i en los campos vectoriales (1, 0) del paquete tangente complejado, y a la multiplicación por − i en los campos vectoriales (0, 1).

Así como construimos formas diferenciales a partir de potencias exteriores del paquete cotangente , podemos construir potencias exteriores del paquete cotangente complejizado (que es canónicamente isomorfo al paquete de espacios duales del paquete tangente complejizado). La estructura casi compleja induce la descomposición de cada espacio de r -formas

${\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,}$

En otras palabras, cada Ω ^r ( M ) ^C admite una descomposición en una suma de Ω ^{( p ,  q )} ( M ), con r  =  p  +  q .

Como ocurre con cualquier suma directa , existe una proyección canónica π _{p , q} desde Ω ^r ( M ) ^C hasta Ω ^{( p , q )} . También tenemos la derivada exterior d que asigna Ω ^r ( M ) ^C a Ω ^{r +1} ( M ) ^C . Así, podemos utilizar la estructura casi compleja para refinar la acción del derivado exterior a las formas de tipo definido.

${\displaystyle \partial =\pi _{p+1,q}\circ d}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}$

entonces ese es un mapa que aumenta la parte holomorfa del tipo en uno (toma formas de tipo ( p ,  q ) a formas de tipo ( p +1, q )), y es un mapa que aumenta la parte antiholomórfica del tipo por uno. Estos operadores se denominan operadores Dolbeault . ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

Dado que la suma de todas las proyecciones debe ser el mapa de identidad , observamos que la derivada exterior se puede escribir

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .}$

Estructuras casi complejas integrables

Toda variedad compleja es en sí misma una variedad casi compleja. En coordenadas holomorfas locales se pueden definir los mapas. ${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

(al igual que una rotación en sentido antihorario de π/2) o

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

Se comprueba fácilmente que este mapa define una estructura casi compleja. Así, cualquier estructura compleja en una variedad produce una estructura casi compleja, que se dice que es "inducida" por la estructura compleja, y se dice que la estructura compleja es "compatible con" la estructura casi compleja.

La pregunta inversa, si la estructura casi compleja implica la existencia de una estructura compleja, es mucho menos trivial y no es cierta en general. En una variedad arbitraria casi compleja siempre se pueden encontrar coordenadas para las cuales la estructura casi compleja toma la forma canónica anterior en cualquier punto dado p . Sin embargo, en general no es posible encontrar coordenadas para que J adopte la forma canónica en toda una vecindad de p . Estas coordenadas, si existen, se denominan "coordenadas holomorfas locales para J". Si M admite coordenadas holomorfas locales para J alrededor de cada punto, entonces estas se unen para formar un atlas holomórfico para M , dándole una estructura compleja, que además induce a J. Entonces se dice que J es " integrable ". Si J es inducido por una estructura compleja, entonces es inducido por una estructura compleja única.

Dado cualquier mapa lineal A en cada espacio tangente de M ; es decir, A es un campo tensorial de rango (1, 1), entonces el tensor de Nijenhuis es un campo tensorial de rango (1,2) dado por

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$

o, para el caso habitual de una estructura casi compleja A=J tal que , ${\displaystyle J^{2}=-Id}$

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$

Las expresiones individuales de la derecha dependen de la elección de los campos vectoriales suaves X e Y , pero el lado izquierdo en realidad depende sólo de los valores puntuales de X e Y , razón por la cual N _A es un tensor. Esto también se desprende claramente de la fórmula del componente.

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

En términos del corchete de Frölicher-Nijenhuis , que generaliza el corchete de Lie de campos vectoriales, el tensor de Nijenhuis _NA es solo la mitad de [ A ,  A ].

El teorema de Newlander-Nirenberg establece que una estructura casi compleja J es integrable si y sólo si N _J  = 0. La estructura compleja compatible es única, como se analizó anteriormente. Dado que la existencia de una estructura casi compleja integrable es equivalente a la existencia de una estructura compleja, esto a veces se toma como la definición de estructura compleja.

Hay varios otros criterios que son equivalentes a la desaparición del tensor de Nijenhuis y que, por tanto, proporcionan métodos para comprobar la integrabilidad de una estructura casi compleja (y de hecho, cada uno de ellos se puede encontrar en la literatura):

• El corchete de Lie de dos campos vectoriales (1, 0) cualesquiera es nuevamente de tipo (1, 0)
• ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

Cualquiera de estas condiciones implica la existencia de una estructura compleja compatible única.

La existencia de una estructura casi compleja es una cuestión topológica y es relativamente fácil de responder, como se analizó anteriormente. La existencia de una estructura casi compleja integrable, por otra parte, es una cuestión analítica mucho más difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si el S ⁶ admite una estructura casi compleja integrable, a pesar de una larga historia de afirmaciones finalmente no verificadas. Las cuestiones de suavidad son importantes. Para J analítico real , el teorema de Newlander-Nirenberg se deriva del teorema de Frobenius ; para C ^∞ (y menos suave) J , se requiere análisis (con técnicas más difíciles a medida que la hipótesis de regularidad se debilita).

Triples compatibles

Supongamos que M está equipado con una forma simpléctica ω , una métrica de Riemann g y una estructura casi compleja J. Dado que ω y g no son degenerados , cada uno induce un isomorfismo de paquete TM → T*M , donde el primer mapa, denotado φ _ω , está dado por el producto interior φ _ω ( u ) =  i _u ω  =  ω ( u , •) y el otro, denotado φ _g , viene dado por la operación análoga para g . Entendido esto, las tres estructuras ( g , ω , J ) forman un triple compatible cuando cada estructura puede ser especificada por las otras dos de la siguiente manera:

• gramo ( tu , v ) = ω ( tu , Jv )
• ω( tu , v ) = g ( Ju , v )
• J ( tu ) = ( φ _gramo ) ⁻¹ ( φ _ω ( tu )).

En cada una de estas ecuaciones, las dos estructuras del lado derecho se denominan compatibles cuando la construcción correspondiente produce una estructura del tipo especificado. Por ejemplo, ω y J son compatibles si y sólo si ω (•, J •) es una métrica de Riemann. El haz en M cuyas secciones son las estructuras casi complejas compatibles con ω tiene fibras contráctiles : las estructuras complejas en las fibras tangentes son compatibles con la restricción a las formas simplécticas.

Usando propiedades elementales de la forma simpléctica ω , se puede demostrar que una estructura casi compleja compatible J es una estructura casi Kähler para la métrica de Riemann ω ( u , Jv ). Además, si J es integrable, entonces ( M , ω , J ) es una variedad de Kähler .

Estas ternas están relacionadas con la propiedad 2 sobre 3 del grupo unitario .

Estructura generalizada casi compleja.

Nigel Hitchin introdujo la noción de una estructura generalizada casi compleja en la variedad M , que fue elaborada en las tesis doctorales de sus alumnos Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti. Una estructura ordinaria casi compleja es una elección de un subespacio semidimensional de cada fibra del haz tangente complejado TM . Una estructura casi compleja generalizada es una elección de un subespacio isotrópico semidimensional de cada fibra de la suma directa de los haces tangentes y cotangentes complejizados . En ambos casos se exige que la suma directa del subconjunto y su complejo conjugado produzca el conjunto original.

Una estructura casi compleja se integra a una estructura compleja si el subespacio semidimensional se cierra bajo el corchete de Lie . Una estructura casi compleja generalizada se integra a una estructura compleja generalizada si el subespacio está cerrado bajo el corchete de Courant . Si además este espacio semidimensional es el aniquilador de un espinor puro que no desaparece en ninguna parte, entonces M es una variedad Calabi-Yau generalizada .

Ver también

• Colector casi cuaterniónico  – Concepto en geometríaPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Clase Chern  : clases características de paquetes de vectores
• Soporte Frölicher-Nijenhuis
• Colector Kähler  – Colector con estructura riemanniana, compleja y simpléctica
• Colector de Poisson  - Estructura matemática en geometría diferencial
• colector Rizza
• Colector simpléctico  – Tipo de colector en geometría diferencial

Referencias

1. Van de Ven, A. (junio de 1966). "Sobre los números de Chern de ciertas variedades complejas y casi complejas". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 55 (6): 1624-1627. Código bibliográfico : 1966PNAS...55.1624V. doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . PMC  224368 . PMID  16578639.
2. Agrícola, Ilka ; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "Sobre la historia del problema de Hopf". Geometría Diferencial y sus Aplicaciones . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi :10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID  119297359.

• Newlander, agosto; Nirenberg, Luis (1957). "Coordenadas analíticas complejas en variedades casi complejas". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 65 (3): 391–404. doi :10.2307/1970051. ISSN  0003-486X. JSTOR  1970051. SEÑOR  0088770.
• Cannas da Silva, Ana (2001). Conferencias sobre geometría simpléctica . Saltador. ISBN 3-540-42195-5.Información sobre triples compatibles, colectores Kähler y Hermitianos, etc.
• Wells, Raymond O. (1980). Análisis diferencial de variedades complejas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.Breve sección que presenta el material básico estándar.
• Rubéi, Elena (2014). Geometría algebraica, un diccionario conciso . Berlín/Bostón: Walter De Gruyter. ISBN 978-3-11-031622-3.
• Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1953). "Grupos de mentiras y potencias reducidas de Steenrod". Revista Estadounidense de Matemáticas . 75 (3): 409–448. doi :10.2307/2372495. JSTOR  2372495. SEÑOR  0058213.