Colector Quaternion-Kähler

En geometría diferencial , una variedad cuaternión-Kähler (o variedad cuaterniónica de Kähler ) es una variedad riemanniana 4n cuyo grupo de holonomía riemanniana es un subgrupo de Sp( n )·Sp(1) para algunos . Aquí Sp ( n ) es el subgrupo que consta de aquellas transformaciones ortogonales que surgen por multiplicación por la izquierda por alguna matriz cuaterniónica, mientras que el grupo de cuaterniones de longitud unitaria actúa en el espacio cuaterniónico mediante multiplicación por un escalar por la derecha . El grupo de Lie generado al combinar estas acciones es entonces abstractamente isomorfo a . ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle SO(4n)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle Sp(1)=S^{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathbb {H} }^{n}={\mathbb {R} }^{4n}}$ ${\displaystyle Sp(n)\cdot Sp(1)\subset SO(4n)}$ ${\displaystyle [Sp(n)\times Sp(1)]/{\mathbb {Z} }_{2}}$

Aunque la versión flexible anterior de la definición incluye variedades de Hyperkähler , la convención estándar de excluirlas será seguida exigiendo también que la curvatura escalar sea distinta de cero, como ocurre automáticamente si el grupo de holonomía es igual al grupo completo Sp( n )· Sp(1).

Historia temprana

El artículo de Marcel Berger de 1955 ^[1] sobre la clasificación de los grupos de holonomía de Riemann planteó por primera vez la cuestión de la existencia de variedades no simétricas con holonomía Sp( n )·Sp(1). A mediados de la década de 1960 se demostraron resultados interesantes en trabajos pioneros. por Edmond Bonan ^[2] y Kraines ^[3], quienes han demostrado de forma independiente que cualquier variedad de este tipo admite una forma 4 paralela . El análogo tan esperado del teorema fuerte de Lefschetz se publicó ^[4] en 1982: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.}$

En el contexto de la clasificación de Berger de las holonomías riemannianas , las variedades cuaternión-Kähler constituyen la única clase de variedades irreducibles y no simétricas de holonomía especial que son automáticamente Einstein , pero no automáticamente Ricci-planas. Si la constante de Einstein de una variedad simplemente conectada con holonomía en es cero, donde , entonces la holonomía en realidad está contenida en y la variedad es hiperkähler . Este caso se excluye de la definición al declarar que el cuaternión-Kähler significa no solo que el grupo de holonomía está contenido en , sino también que la variedad tiene una curvatura escalar distinta de cero (constante). ${\displaystyle Sp(n)Sp(1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle Sp(n)}$ ${\displaystyle Sp(n)Sp(1)}$

Con esta convención, las variedades de cuaterniones-Kähler se pueden dividir naturalmente en aquellas para las cuales la curvatura de Ricci es positiva y aquellas para las cuales es negativa.

Ejemplos

No se conocen ejemplos de variedades compactas de cuaterniones-Kähler que no sean localmente simétricas . (Nuevamente, las variedades hiperkähler están excluidas de la discusión por decreto). Por otro lado, hay muchas variedades cuaternión-Kähler simétricas ; estos fueron clasificados por primera vez por Joseph A. Wolf , ^[5] y por eso se conocen como espacios de Wolf . Para cualquier grupo de Lie simple G , existe un espacio de Wolf único G / K obtenido como cociente de G por un subgrupo , donde es el subgrupo asociado con la raíz más alta de G , y K ₀ es su centralizador en G. Los espacios de Wolf con curvatura de Ricci positiva son compactos y simplemente conectados. Por ejemplo, si , el espacio de Wolf correspondiente es el espacio proyectivo cuaterniónico de líneas cuaterniónicas (derechas) que pasan por el origen en . ${\displaystyle K=K_{0}\cdot \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle G=Sp(n+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$

Una conjetura a menudo atribuida a LeBrun y Salamon (ver más abajo) afirma que todas las variedades completas de cuaternión-Kähler de curvatura escalar positiva son simétricas. Sin embargo, por el contrario, las construcciones de Galicki-Lawson ^[6] y de LeBrun ^[7] muestran que existen en gran profusión variedades de cuaternión-Kähler completas, no localmente simétricas, de curvatura escalar negativa . La construcción de Galicki-Lawson que acabamos de citar también da lugar a un gran número de ejemplos compactos de orbifold no localmente simétricos con una constante de Einstein positiva , y muchos de estos a su vez dan lugar ^[8] a variedades compactas y no singulares de Einstein 3-Sasakianas de dimensión . ${\displaystyle 4n+3}$

Espacios de torsión

Las preguntas sobre las variedades de cuaterniones-Kähler se pueden traducir al lenguaje de la geometría compleja utilizando los métodos de la teoría de twistores ; Este hecho se resume en un teorema descubierto de forma independiente por Salamon y Bérard-Bergery, e inspirado en trabajos anteriores de Penrose. Sea una variedad de cuaternión-Kähler y sea el subpaquete de que surge de la acción de holonomía de . Luego contiene un paquete que consta de todo lo que satisface . Los puntos de así representan estructuras complejas en espacios tangentes de . De este modo se puede dotar al espacio total de una estructura tautológica casi compleja . Salamon ^[9] (e, independientemente, Bérard-Bergery ^[10] ) demostraron que esta estructura casi compleja es integrable, convirtiéndose así en una variedad compleja. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle End(TM)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(1)\subset {\mathfrak {sp}}(n)\oplus {\mathfrak {sp}}(1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle Z\to M}$ ${\displaystyle j\in H}$ ${\displaystyle j^{2}=-1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

Cuando la curvatura de Ricci de M es positiva, Z es una variedad de Fano y, en particular, lo es una variedad compleja algebraica proyectiva suave. Además, admite una métrica de Kähler-Einstein y , lo que es más importante, viene equipado con una estructura de contacto holomorfa , correspondiente a los espacios horizontales de la conexión de Riemann en H. Estos hechos fueron utilizados por LeBrun y Salamon ^[11] para demostrar que, hasta la isometría y el cambio de escala, sólo hay un número finito de variedades compactas de cuaternión-Kähler de curvatura escalar positiva en cualquier dimensión dada. Este mismo artículo también muestra que cualquier variedad de este tipo es en realidad un espacio simétrico a menos que su segunda homología sea un grupo finito con 2-torsión no trivial. Poon y Salamon ^[12] también habían utilizado anteriormente técnicas relacionadas para mostrar que no hay ningún ejemplo no simétrico en la dimensión 8.

En la dirección inversa, un resultado de LeBrun ^[13] muestra que cualquier variedad de Fano que admita tanto una métrica de Kähler-Einstein como una estructura de contacto holomorfa es en realidad el espacio torsional de una variedad de cuaternión-Kähler de curvatura escalar positiva, que además es única. hasta isometrías y reescalamientos.

Referencias

1. Berger, Marcel (1955). "Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 83 : 279–330. doi : 10.24033/bsmf.1464 .
2. Bonán, Edmond (1965). "Estructura presque quaternale sur une variété diferenciable". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 261 : 5445–8.
3. Kraines, Vivian Yoh (1966). "Topología de variedades cuaterniónicas" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 122 (2): 357–367. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR  1994553.
4. Bonán, Edmond (1982). "Sur l'algèbre extérieure d'une variété presque hermitienne quaternionique". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 295 : 115-118.
5. Lobo, Joseph A. (1965). "Variedades de contacto homogéneas complejas y espacios simétricos cuaterniónicos". J. Matemáticas. Mec . 14 (6): 1033–47. JSTOR  24901319.
6. Galicki, K.; Lawson, HB Jr. (1988). "Reducción cuaterniónica y orbifolds cuaterniónicos" (PDF) . Matemáticas. Ana . 282 : 1–21. doi :10.1007/BF01457009. S2CID  120748113.
7. LeBrun, Claude (1991). "Sobre variedades cuaterniónicas completas de Kähler" (PDF) . Duque Matemáticas. J.​ 63 (3): 723–743. doi :10.1215/S0012-7094-91-06331-3.
8. Boyer, Carlos; Galicki, Krzysztof (2008). Geometría sasakiana. Monografías de matemáticas de Oxford. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-856495-9.
9. Salamón, Simón (1982). "Múltiples cuaterniónicas de Kähler". Inventar. Matemáticas . 67 : 143-171. Código Bib : 1982 InMat..67..143S. doi :10.1007/BF01393378. S2CID  118575943.
10. Besse 1987
11. LeBrun, Claude; Salamón, Simón (1994). "Fuerte rigidez de variedades positivas de cuaternión-Kähler". Inventar. Matemáticas . 118 : 109-132. Código Bib : 1994 InMat.118..109L. doi :10.1007/BF01231528. S2CID  121184428.
12. Poon, YS; Salamón, SM (1991). "Múltiples cuaterniónicas de Kähler 8 con curvatura escalar positiva". J. Geometría diferencial . 33 (2): 363–378. doi : 10.4310/jdg/1214446322 .
13. LeBrun, Claude (1995). "Múltiples Fano, estructuras de contacto y geometría cuaterniónica". Internacional. J. Matemáticas . 6 (3): 419–437. arXiv : dg-ga/9409001 . CiteSeerX 10.1.1.251.3603 . doi :10.1142/S0129167X95000146. S2CID  18361986. 

• Besse, Arthur L. (2007) [1987]. Colectores de Einstein. Saltador. ISBN 978-3-540-74120-6.
• Salamón, Simón (1982). "Múltiples cuaterniónicas de Kähler". Inventar. Matemáticas . 67 : 143-171. Código Bib : 1982 InMat..67..143S. doi :10.1007/bf01393378. S2CID  118575943.
• Joyce, Dominic D. (2000). Colectores compactos con holonomía especial. Monografías de matemáticas de Oxford. Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-850601-0.