Espacio proyectivo cuaterniónico

Concepto en matemáticas

En matemáticas , el espacio proyectivo cuaterniónico es una extensión de las ideas de espacio proyectivo real y espacio proyectivo complejo , al caso donde las coordenadas se encuentran en el anillo de cuaterniones. El espacio proyectivo cuaterniónico de dimensión n se denota usualmente por ${\displaystyle \mathbb {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

y es una variedad cerrada de dimensión (real) 4 n . Es un espacio homogéneo para la acción de un grupo de Lie , en más de un sentido. La línea proyectiva cuaterniónica es homeomorfa a la 4-esfera. ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}}$

En coordenadas

Su construcción directa es como un caso especial del espacio proyectivo sobre un álgebra de división . Las coordenadas homogéneas de un punto se pueden escribir

${\displaystyle [q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n}]}$

donde son cuaterniones, no todos cero. Dos conjuntos de coordenadas representan el mismo punto si son "proporcionales" mediante una multiplicación por la izquierda por un cuaternión distinto de cero c ; es decir, identificamos todos los ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle [cq_{0},cq_{1}\ldots ,cq_{n}]}$.

En el lenguaje de las acciones de grupo , es el espacio orbital de por la acción de , el grupo multiplicativo de cuaterniones no nulos. Al proyectar primero sobre la esfera unitaria dentro de uno también se puede considerar como el espacio orbital de por la acción de , el grupo de cuaterniones unitarios. ^[1] La esfera se convierte entonces en un fibrado principal Sp(1) sobre : ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{4n+3}}$ ${\displaystyle {\text{Sp}}(1)}$ ${\displaystyle S^{4n+3}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\to S^{4n+3}\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Este haz a veces se denomina fibración de Hopf (generalizada) .

También existe una construcción de mediante subespacios complejos bidimensionales de , lo que significa que se encuentra dentro de un Grassmanniano complejo . ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

Topología

Teoría de la homotopía

El espacio , definido como la unión de todos los ' finitos bajo inclusión, es el espacio clasificador BS ³ . Los grupos de homotopía de están dados por Se sabe que estos grupos son muy complejos y, en particular, no son cero para infinitos valores de . Sin embargo, tenemos que ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })=\pi _{i}(BS^{3})\cong \pi _{i-1}(S^{3}).}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &i=4\\0&i\neq 4\end{cases}}}$

De ello se deduce que racionalmente, es decir, tras la localización de un espacio, es un espacio de Eilenberg-Maclane . Es decir (véase el ejemplo K(Z,2) ). Véase teoría de homotopía racional . ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} _{\mathbb {Q} }^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,4)_{\mathbb {Q} }.}$

En general, tiene una estructura celular con una célula en cada dimensión que es múltiplo de 4, hasta . En consecuencia, su anillo de cohomología es , donde es un generador de 4 dimensiones. Esto es análogo al espacio proyectivo complejo. También se deduce de la teoría de homotopía racional que tiene grupos de homotopía infinitos solo en las dimensiones 4 y . ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [v]/v^{n+1}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle 4n+3}$

Geometría diferencial

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$lleva una métrica riemanniana natural análoga a la métrica de Fubini-Study en , con respecto a la cual es un espacio compacto cuaternion-Kähler simétrico con curvatura positiva. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

El espacio proyectivo cuaterniónico se puede representar como el espacio de clases laterales.

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}=\operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (n)\times \operatorname {Sp} (1)}$

¿Dónde está el grupo simpléctico compacto ? ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

Clases características

Como , su fibrado tangente es trivialmente estable. Los fibrados tangentes del resto tienen clases no triviales de Stiefel–Whitney y Pontryagin . Las clases totales están dadas por las siguientes fórmulas: ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}=S^{4}}$

${\displaystyle w(\mathbb {HP} ^{n})=(1+u)^{n+1}}$

${\displaystyle p(\mathbb {HP} ^{n})=(1+v)^{2n+2}(1+4v)^{-1}}$

donde es el generador de y es su reducción mod 2. ^[2] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle H^{4}(\mathbb {HP} ^{n};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle u}$

Casos especiales

Línea proyectiva cuaterniónica

El espacio proyectivo unidimensional sobre se denomina "línea proyectiva" en generalización de la línea proyectiva compleja . Por ejemplo, fue utilizada (implícitamente) en 1947 por PG Gormley para extender el grupo de Möbius al contexto de cuaterniones con transformaciones fraccionarias lineales . Para las transformaciones fraccionarias lineales de un anillo asociativo con 1, véase línea proyectiva sobre un anillo y el grupo de homografía GL(2, A ). ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Desde el punto de vista topológico la línea proyectiva cuaterniónica es la 4-esfera, y de hecho se trata de variedades difeomorfas . La fibración mencionada anteriormente es de la 7-esfera, y es un ejemplo de fibración de Hopf .

Expresiones explícitas para las coordenadas de la 4-esfera se pueden encontrar en el artículo sobre la métrica del Estudio de Fubini .

Plano proyectivo cuaterniónico

La 8-dimensional tiene una acción circular , por el grupo de escalares complejos de valor absoluto 1 que actúa en el otro lado (es decir, en la derecha, ya que la convención para la acción de c anterior es a la izquierda). Por lo tanto, la variedad cociente ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}/\mathrm {U} (1)}$

se puede tomar, escribiendo U(1) para el grupo de círculos . Se ha demostrado que este cociente es la 7- esfera , un resultado de Vladimir Arnold de 1996, redescubierto posteriormente por Edward Witten y Michael Atiyah .

Referencias

1. Naber, Gregory L. (2011) [1997]. "Motivación física y geométrica". Topología, geometría y campos de calibración . Textos en Matemáticas Aplicadas. Vol. 25. Springer. p. 50. doi :10.1007/978-1-4419-7254-5_0. ISBN 978-1-4419-7254-5.
2. Szczarba, RH (1964). "Sobre fibrados tangentes de espacios de fibras y espacios cocientes" (PDF) . American Journal of Mathematics . 86 (4): 685–697. doi :10.2307/2373152. JSTOR  2373152.

Lectura adicional

• Arnol'd, VI (1999). "Relativos del cociente del plano proyectivo complejo por la conjugación compleja". Tr. Mat. Inst. Steklova . 224 : 56–6. CiteSeerX  10.1.1.50.6421 .Trata el análogo del resultado mencionado para el espacio proyectivo cuaterniónico y la 13-esfera.
• Gormley, PG (1947), "Proyección estereográfica y el grupo fraccionario lineal de transformaciones de cuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa, Sección A , 51 : 67–85, JSTOR  20488472