Shing-Tung Yau ( / j aʊ / ; chino :丘成桐; pinyin : Qiū Chéngtóng ; nacido el 4 de abril de 1949) es un matemático chino-estadounidense . Es director del Centro de Ciencias Matemáticas Yau de la Universidad de Tsinghua y profesor emérito de la Universidad de Harvard . Hasta 2022 fue profesor de Matemáticas William Caspar Graustein en Harvard, momento en el que se trasladó a Tsinghua. [1] [2]
Yau nació en Shantou, China, se mudó a Hong Kong a una edad temprana y a los Estados Unidos en 1969. Fue galardonado con la Medalla Fields en 1982, en reconocimiento a sus contribuciones a las ecuaciones diferenciales parciales , la conjetura de Calabi , el teorema de la energía y la ecuación de Monge-Ampère . [3] Yau es considerado uno de los principales contribuyentes al desarrollo de la geometría diferencial y el análisis geométrico modernos . El impacto del trabajo de Yau se puede ver en los campos matemáticos y físicos de la geometría diferencial, las ecuaciones diferenciales parciales , la geometría convexa , la geometría algebraica , la geometría enumerativa , la simetría especular , la relatividad general y la teoría de cuerdas , mientras que su trabajo también ha tocado las matemáticas aplicadas. , ingeniería y análisis numérico .
Yau nació en Shantou, China en 1949, de padres hakka . La ciudad natal ancestral de Yau es el condado de Jiaoling, China. Su madre, Yeuk Lam Leung, era del distrito de Meixian ; su padre, Chen Ying Chiu, era un erudito chino en filosofía, historia, literatura y economía. [YN19] Era el quinto de ocho hijos, con ascendencia Hakka . [4]
Durante la toma comunista de China continental, cuando solo tenía unos meses de edad, su familia se mudó a Hong Kong , donde se vio obligado a aprender a hablar el idioma cantonés y el dialecto chino hakka. No pudo volver a visitarla hasta 1979, por invitación de Hua Luogeng , cuando China continental entró en la era de reforma y apertura . [SN19] . Tuvieron problemas económicos por haber perdido todas sus posesiones, y su padre y su segunda hermana mayor murieron cuando él tenía trece años. Yau comenzó a leer y apreciar los libros de su padre y se dedicó más a las tareas escolares. Después de graduarse de la escuela secundaria Pui Ching , estudió matemáticas en la Universidad China de Hong Kong de 1966 a 1969, sin obtener un título debido a que se graduó anticipadamente. Dejó sus libros de texto a su hermano menor, Stephen Shing-Toung Yau , quien luego decidió especializarse también en matemáticas.
Yau se fue para realizar el doctorado. programa de matemáticas en la Universidad de California, Berkeley , en el otoño de 1969. Durante las vacaciones de invierno, leyó los primeros números del Journal of Differential Geometry y se sintió profundamente inspirado por los artículos de John Milnor sobre teoría de grupos geométricos . [5] [YN19] Posteriormente formuló una generalización del teorema de Preissman y desarrolló aún más sus ideas con Blaine Lawson durante el semestre siguiente. [6] Utilizando este trabajo, recibió su doctorado. al año siguiente, en 1971, bajo la supervisión de Shiing-Shen Chern . [7]
Pasó un año como miembro del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton antes de incorporarse a la Universidad de Stony Brook en 1972 como profesor asistente. En 1974, se convirtió en profesor asociado en la Universidad de Stanford . [8] En 1976 tomó un puesto de profesor visitante en UCLA y se casó con el físico Yu-Yun Kuo, a quien conocía desde su época como estudiante de posgrado en Berkeley. De 1984 a 1987 trabajó en la Universidad de California, San Diego . [9] Desde 1987, ha estado en la Universidad de Harvard . [10] En abril de 2022, Yau anunció un próximo traslado de Harvard a la Universidad de Tsinghua . [2]
En 1978, Yau se convirtió en "apátrida" después de que el consulado británico revocara su residencia en Hong Kong debido a su estatus de residencia permanente en los Estados Unidos . [11] [12] Con respecto a su estado al recibir su Medalla Fields en 1982, Yau declaró: "Estoy orgulloso de decir que cuando me otorgaron la Medalla Fields en matemáticas, no tenía pasaporte de ningún país y ciertamente debería ser considerado chino. " [13] Yau permaneció "apátrida" hasta 1990, cuando obtuvo la ciudadanía estadounidense. [11] [14]
Con el periodista científico Steve Nadis, Yau ha escrito un relato no técnico de las variedades de Calabi-Yau y la teoría de cuerdas , [YN10] una historia del departamento de matemáticas de Harvard, [NY13] y una autobiografía. [YN19]
Yau ha hecho importantes contribuciones al desarrollo de la geometría diferencial y el análisis geométrico modernos . Como dijo William Thurston en 1981: [15]
Rara vez hemos tenido la oportunidad de presenciar el espectáculo del trabajo de un matemático que afecta, en un corto lapso de años, la dirección de áreas enteras de investigación. En el campo de la geometría, uno de los ejemplos más notables de tal suceso durante la última década lo dan las contribuciones de Shing-Tung Yau.
Sus resultados más celebrados incluyen la resolución (con Shiu-Yuen Cheng ) del problema de valores límite para la ecuación de Monge-Ampère , el teorema de masa positiva en el análisis matemático de la relatividad general (logrado con Richard Schoen ), la resolución del La conjetura de Calabi , la teoría topológica de superficies mínimas (con William Meeks ), el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau (realizado con Karen Uhlenbeck ) y las estimaciones de gradiente de Cheng-Yau y Li-Yau para ecuaciones diferenciales parciales (encontradas con Shiu-Yuen Cheng y Peter Li ). Muchos de los resultados de Yau (además de los de otros) se escribieron en libros de texto en coautoría con Schoen. [SY94] [SY97]
Además de su investigación, Yau es fundador y director de varios institutos matemáticos, principalmente en China. John Coates ha comentado que "ningún otro matemático de nuestros tiempos se ha acercado" al éxito de Yau en la recaudación de fondos para actividades matemáticas en China continental y Hong Kong. [6] Durante un año sabático en la Universidad Nacional Tsinghua en Taiwán , Charles Kao le pidió a Yau que iniciara un instituto de matemáticas en la Universidad China de Hong Kong . Después de algunos años de esfuerzos de recaudación de fondos, Yau estableció el Instituto multidisciplinario de Ciencias Matemáticas en 1993, con su frecuente coautor Shiu-Yuen Cheng como director asociado. En 1995, Yau ayudó a Yongxiang Lu a recaudar dinero del Grupo Morningside de Ronnie Chan y Gerald Chan para el nuevo Centro Morningside de Matemáticas en la Academia China de Ciencias . Yau también ha estado involucrado en el Centro de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Zhejiang , [16] en la Universidad de Tsinghua , [17] en la Universidad Nacional de Taiwán , [18] y en Sanya . [19] Más recientemente, en 2014, Yau recaudó dinero para establecer el Centro de Ciencias y Aplicaciones Matemáticas (del cual es director), el Centro de Edificios y Ciudades Ecológicos y el Centro de Investigación Inmunológica, todos en la Universidad de Harvard. [20]
Siguiendo el modelo de una conferencia de física anterior organizada por Tsung-Dao Lee y Chen-Ning Yang , Yau propuso el Congreso Internacional de Matemáticos Chinos , que ahora se celebra cada tres años. El primer congreso se celebró en el Morningside Center del 12 al 18 de diciembre de 1998. Coorganiza las conferencias anuales "Journal of Differential Geometry" y "Current Developments in Mathematics". Yau es editor en jefe del Journal of Differential Geometry , [21] Asian Journal of Mathematics , [22] y de Advances in Theoretical and Mathematical Physics . [23] A partir de 2021, ha asesorado a más de setenta Ph.D. estudiantes. [7]
En Hong Kong, con el apoyo de Ronnie Chan , Yau creó el Premio Hang Lung para estudiantes de secundaria. También ha organizado y participado en encuentros para estudiantes de secundaria y universitarios, como los paneles de discusión ¿ Por qué matemáticas? ¡Pregúntale a los Maestros! en Hangzhou , julio de 2004, y The Wonder of Mathematics en Hong Kong, diciembre de 2004. Yau también co-inició una serie de libros sobre matemáticas populares, "Mathematics and Mathematical People".
En 2002 y 2003, Grigori Perelman publicó preimpresiones en arXiv afirmando probar la conjetura de geometrización de Thurston y, como caso especial, la reconocida conjetura de Poincaré . Aunque su trabajo contenía muchas ideas y resultados nuevos, sus pruebas carecían de detalles sobre una serie de argumentos técnicos. Durante los años siguientes, varios matemáticos dedicaron su tiempo a completar detalles y ofrecer exposiciones del trabajo de Perelman a la comunidad matemática. [24] Un conocido artículo de agosto de 2006 en el New Yorker escrito por Sylvia Nasar y David Gruber sobre la situación llamó la atención del público sobre algunas disputas profesionales que involucraban a Yau. [13] [14]
Yau afirmó que el artículo de Nasar y Gruber era difamatorio y contenía varias falsedades, y que no le dieron la oportunidad de representar su propio lado de las disputas. Consideró presentar una demanda contra la revista, reclamando daños profesionales, pero dice que decidió que no estaba suficientemente claro qué se lograría con tal acción. [YN19] Estableció un sitio web de relaciones públicas, con cartas en respuesta al artículo del New Yorker de varios matemáticos, incluidos él mismo y otros dos citados en el artículo. [29]
En su autobiografía, Yau dijo que sus declaraciones de 2006, como que Cao y Zhu dieron "el primer relato completo y detallado de la prueba de la conjetura de Poincaré", deberían haber sido redactadas con más cuidado. Aunque cree que el trabajo de Cao y Zhu es el primer y más riguroso relato detallado del trabajo de Perelman, dice que debería haber aclarado que "no habían superado el trabajo de Perelman de ninguna manera". [YN19] También ha mantenido la opinión de que (a partir de 2019) la comunidad matemática debería comprender mejor las partes finales de la prueba de Perelman, con la correspondiente posibilidad de que queden algunos errores desapercibidos.
Yau ha realizado una serie de importantes contribuciones a la investigación, centradas en la geometría diferencial y su aparición en otros campos de las matemáticas y las ciencias. Además de su investigación, Yau ha compilado conjuntos influyentes de problemas abiertos en geometría diferencial, incluidas antiguas conjeturas conocidas y nuevas propuestas y problemas. Dos de las listas de problemas más citadas de Yau de la década de 1980 se han actualizado con notas sobre el progreso a partir de 2014. [30] Particularmente conocida es una conjetura sobre la existencia de hipersuperficies mínimas y sobre la geometría espectral de las hipersuperficies mínimas .
En 1978, al estudiar la compleja ecuación de Monge-Ampère , Yau resolvió la conjetura de Calabi , que había sido planteada por Eugenio Calabi en 1954. [Y78a] Como caso especial, esto demostró que las métricas de Kähler-Einstein existen en cualquier variedad cerrada de Kähler cuya La primera clase de Chern no es positiva. El método de Yau adaptó trabajos anteriores de Calabi, Jürgen Moser y Aleksei Pogorelov , desarrollados para ecuaciones diferenciales parciales elípticas cuasilineales y la ecuación real de Monge-Ampère , al establecimiento de la compleja ecuación de Monge-Ampère. [31] [32] [33] [34]
La comprensión de la conjetura de Calabi en el contexto no compacto es menos definitiva. Gang Tian y Yau extendieron el análisis de Yau de la compleja ecuación de Monge-Ampère al entorno no compacto, donde el uso de funciones de corte y las correspondientes estimaciones integrales requerían la suposición condicional de cierta geometría controlada cerca del infinito. [TY90] Esto reduce el problema a la cuestión de la existencia de métricas de Kähler con tales propiedades asintóticas; obtuvieron tales métricas para ciertas variedades complejas cuasiproyectivas suaves . Más tarde ampliaron su trabajo para permitir singularidades orbitales . [TY91] Con Brian Greene , Alfred Shapere y Cumrun Vafa , Yau introdujo un ansatz para una métrica de Kähler en el conjunto de puntos regulares de ciertos mapas holomórficos sobreyectivos, con una curvatura de Ricci aproximadamente cero. [G+90] Pudieron aplicar el teorema de existencia de Tian-Yau para construir una métrica de Kähler que es exactamente Ricci-plana. El ansatz de Greene-Shapere-Vafa-Yau y su generalización natural, ahora conocida como métrica semiplana , se ha vuelto importante en varios análisis de problemas de geometría de Kähler. [39] [40]
El teorema de la energía positiva, obtenido por Yau en colaboración con su antiguo estudiante de doctorado Richard Schoen , se puede describir en términos físicos:
En la teoría de la relatividad general de Einstein , la energía gravitacional de un sistema físico aislado no es negativa.
Sin embargo, es un teorema preciso de geometría diferencial y análisis geométrico , en el que los sistemas físicos son modelados por variedades de Riemann con no negatividad de una cierta curvatura escalar generalizada . Como tal, el enfoque de Schoen y Yau se originó en su estudio de las variedades de Riemann de curvatura escalar positiva, que es de interés en sí mismo. El punto de partida del análisis de Schoen y Yau es la identificación de una forma simple pero novedosa de insertar las ecuaciones de Gauss-Codazzi en la segunda fórmula de variación para el área de una hipersuperficie mínima estable de una variedad de Riemann tridimensional. El teorema de Gauss-Bonnet limita en gran medida la posible topología de dicha superficie cuando la variedad ambiental tiene una curvatura escalar positiva. [SY79a] [41] [42]
Schoen y Yau explotaron esta observación al encontrar construcciones novedosas de hipersuperficies mínimas estables con varias propiedades controladas. [SY79a] Algunos de sus resultados de existencia se desarrollaron simultáneamente con resultados similares de Jonathan Sacks y Karen Uhlenbeck , utilizando diferentes técnicas. Su resultado fundamental es la existencia de inmersiones mínimas con un comportamiento topológico prescrito. Como consecuencia de su cálculo con el teorema de Gauss-Bonnet, pudieron concluir que ciertas variedades tridimensionales distinguidas topológicamente no pueden tener ninguna métrica de Riemann de curvatura escalar no negativa. [43] [44]
Schoen y Yau adaptaron entonces su trabajo al establecimiento de ciertos conjuntos de datos iniciales asintóticamente planos de Riemann en la relatividad general . Probaron que la negatividad de la masa permitiría invocar el problema de Plateau para construir superficies mínimas estables que sean geodésicamente completas . Una analogía no compacta de su cálculo con el teorema de Gauss-Bonnet proporciona una contradicción lógica a la negatividad de la masa. Como tal, pudieron demostrar el teorema de la masa positiva en el caso especial de sus conjuntos de datos iniciales riemannianos. [SY79c] [45]
Schoen y Yau ampliaron esto a la formulación lorentziana completa del teorema de masa positiva mediante el estudio de una ecuación diferencial parcial propuesta por Pong-Soo Jang. Demostraron que existen soluciones a la ecuación de Jang lejos de los horizontes aparentes de los agujeros negros, en los que las soluciones pueden divergir hasta el infinito. [SY81] Al relacionar la geometría de un conjunto de datos iniciales de Lorentz con la geometría de la gráfica de dicha solución a la ecuación de Jang, interpretando esta última como un conjunto de datos iniciales de Riemann, Schoen y Yau demostraron el teorema completo de la energía positiva. [45] Además, mediante ingeniería inversa en su análisis de la ecuación de Jang, pudieron establecer que cualquier concentración suficiente de energía en la relatividad general debe ir acompañada de un horizonte aparente. [SY83]
Debido al uso del teorema de Gauss-Bonnet, estos resultados se restringieron originalmente al caso de variedades de Riemann tridimensionales y variedades de Lorentz de cuatro dimensiones. Schoen y Yau establecieron una inducción de dimensión mediante la construcción de métricas de Riemann de curvatura escalar positiva en hipersuperficies mínimas de variedades de Riemann que tienen curvatura escalar positiva. [SY79b] Estas hipersuperficies mínimas, que fueron construidas mediante la teoría de medidas geométricas de Frederick Almgren y Herbert Federer , generalmente no son suaves en grandes dimensiones, por lo que estos métodos solo se aplican directamente a variedades de Riemann de dimensión menor que ocho. Sin ninguna restricción dimensional, Schoen y Yau demostraron el teorema de masa positiva en la clase de variedades localmente conformemente planas . [SY88] [31] En 2017, Schoen y Yau publicaron una preimpresión que afirmaba resolver estas dificultades, demostrando así la inducción sin restricción dimensional y verificando el teorema de masa positiva de Riemann en dimensión arbitraria.
Gerhard Huisken y Yau realizaron un estudio más detallado de la región asintótica de variedades de Riemann con masa estrictamente positiva. Huisken había iniciado anteriormente el estudio del flujo de curvatura media de hipersuperficies del espacio euclidiano que preserva el volumen . [46] Huisken y Yau adaptaron su trabajo al entorno de Riemann, demostrando una existencia de larga data y un teorema de convergencia para el flujo. Como corolario, establecieron una nueva característica geométrica de las variedades de masa positiva, que es que sus regiones asintóticas están foliadas por superficies de curvatura media constante . [HY96]
Tradicionalmente, la técnica del principio máximo sólo se aplica directamente en espacios compactos , ya que entonces se garantiza la existencia de máximos. En 1967, Hideki Omori encontró un novedoso principio de máximo que se aplica a variedades de Riemann no compactas cuyas curvaturas seccionales están limitadas por debajo. Es trivial que existan máximos aproximados ; Omori demostró además la existencia de máximos aproximados donde los valores del gradiente y las segundas derivadas están adecuadamente controlados. Yau amplió parcialmente el resultado de Omori para requerir sólo un límite inferior en la curvatura de Ricci ; el resultado se conoce como principio máximo de Omori-Yau. [Y75b] Esta generalidad es útil debido a la aparición de la curvatura de Ricci en la fórmula de Bochner , donde también se usa típicamente un límite inferior en manipulaciones algebraicas. Además de dar una prueba muy simple del principio en sí, Shiu-Yuen Cheng y Yau pudieron demostrar que el supuesto de curvatura de Ricci en el principio máximo de Omori-Yau puede reemplazarse por el supuesto de la existencia de funciones de corte con ciertos controlables. geometría. [CY75] [31] [47] [48] [49]
Yau pudo aplicar directamente el principio de Omori-Yau para generalizar el lema clásico de análisis complejo de Schwarz-Pick . Lars Ahlfors , entre otros, había generalizado previamente el lema al entorno de superficies de Riemann . Con sus métodos, Yau pudo considerar la configuración de un mapeo desde una variedad de Kähler completa (con un límite inferior en la curvatura de Ricci) a una variedad hermitiana con curvatura biseccional holomorfa limitada arriba por un número negativo. [Y78b] [35] [49]
Cheng y Yau utilizaron ampliamente su variante del principio de Omori-Yau para encontrar métricas de Kähler-Einstein en variedades de Kähler no compactas, bajo un ansatz desarrollado por Charles Fefferman . Las estimaciones involucradas en el método de continuidad no fueron tan difíciles como en el trabajo anterior de Yau sobre la conjetura de Calabi, debido al hecho de que Cheng y Yau solo consideraron métricas de Kähler-Einstein con curvatura escalar negativa. La cuestión más sutil, en la que el trabajo anterior de Fefferman cobró importancia, tiene que ver con la integridad geodésica . En particular, Cheng y Yau pudieron encontrar métricas completas de Kähler-Einstein de curvatura escalar negativa en cualquier subconjunto acotado, suave y estrictamente pseudoconvexo del espacio euclidiano complejo . [CY80] Estos pueden considerarse como análogos geométricos complejos del modelo de bola de Poincaré del espacio hiperbólico . [35] [50]
La aplicación original de Yau del principio máximo de Omori-Yau fue establecer estimaciones de gradiente para una serie de ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . [Y75b] Dada una función en una variedad de Riemann completa y suave que satisface varias condiciones que relacionan el laplaciano con la función y los valores del gradiente, Yau aplicó el principio máximo a varias expresiones compuestas complicadas para controlar el tamaño del gradiente. Aunque las manipulaciones algebraicas involucradas son complejas, la forma conceptual de la demostración de Yau es sorprendentemente simple. [51] [47]
Las nuevas estimaciones de gradiente de Yau han llegado a denominarse "desigualdades diferenciales de Harnack", ya que pueden integrarse a lo largo de caminos arbitrarios para recuperar desigualdades que tienen la forma de las desigualdades de Harnack clásicas , comparando directamente los valores de una solución con una ecuación diferencial en dos diferentes puntos de entrada. Al hacer uso del estudio de Calabi de la función de distancia en una variedad de Riemann, Yau y Shiu-Yuen Cheng dieron una potente localización de las estimaciones de gradiente de Yau, utilizando los mismos métodos para simplificar la prueba del principio máximo de Omori-Yau. [CY75] Estas estimaciones se citan ampliamente en el caso particular de funciones armónicas en una variedad de Riemann, aunque los resultados originales de Yau y Cheng-Yau cubren escenarios más generales. [51] [47]
En 1986, Yau y Peter Li utilizaron los mismos métodos para estudiar ecuaciones diferenciales parciales parabólicas en variedades de Riemann. [LY86] [47] Richard Hamilton generalizó sus resultados en ciertos entornos geométricos para desigualdades matriciales. Los análogos de las desigualdades de Li-Yau y Hamilton-Li-Yau son de gran importancia en la teoría del flujo de Ricci , donde Hamilton demostró una desigualdad matricial diferencial de Harnack para el operador de curvatura de ciertos flujos de Ricci, y Grigori Perelman demostró una desigualdad diferencial de Harnack para las soluciones de una ecuación de calor hacia atrás acoplada con un flujo de Ricci. [52] [51]
Cheng y Yau pudieron utilizar sus estimaciones diferenciales de Harnack para demostrar que, bajo ciertas condiciones geométricas, las subvariedades cerradas de espacios riemannianos completos o pseudoriemannianos son en sí mismas completas. Por ejemplo, demostraron que si M es una hipersuperficie espacial del espacio de Minkowski que está topológicamente cerrada y tiene una curvatura media constante, entonces la métrica de Riemann inducida en M es completa. [CY76a] De manera análoga, demostraron que si M es una hiperesfera afín de espacio afín que está topológicamente cerrada, entonces la métrica afín inducida en M está completa. [CY86] Estos resultados se logran derivando una desigualdad diferencial de Harnack para la función de distancia (al cuadrado) hasta un punto dado e integrando a lo largo de caminos intrínsecamente definidos.
En 1985, Simon Donaldson demostró que, sobre una variedad proyectiva no singular de dimensión compleja dos, un paquete de vectores holomorfo admite una conexión hermitiana Yang-Mills si y sólo si el paquete es estable. Un resultado de Yau y Karen Uhlenbeck generalizó el resultado de Donaldson para permitir una variedad Kähler compacta de cualquier dimensión. [UY86] El método de Uhlenbeck-Yau se basó en ecuaciones diferenciales parciales elípticas, mientras que Donaldson utilizó ecuaciones diferenciales parciales parabólicas, aproximadamente en paralelo al trabajo de época de Eells y Sampson sobre mapas armónicos . Desde entonces, otros autores han ampliado los resultados de Donaldson y Uhlenbeck-Yau. El artículo de Uhlenbeck y Yau es importante porque da una razón clara de que la estabilidad del haz de vectores holomorfos puede estar relacionada con los métodos analíticos utilizados en la construcción de una conexión hermitiana Yang-Mills. El mecanismo esencial es que si una secuencia aproximada de conexiones hermitianas no logra converger a la conexión Yang-Mills requerida, entonces se pueden reescalar para converger en una subhaz que puede verificarse como desestabilizadora según la teoría de Chern-Weil . [33] [53]
Al igual que el teorema de Calabi-Yau, el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau es de interés en la física teórica. [37] En aras de una formulación apropiadamente general de la supersimetría , Andrew Strominger incluyó la condición hermitiana de Yang-Mills como parte de su sistema Strominger , una propuesta para la extensión de la condición de Calabi-Yau a variedades no Kähler. [36] Ji-Xiang Fu y Yau introdujeron un ansatz para la solución del sistema de Strominger en ciertas variedades complejas tridimensionales , reduciendo el problema a una ecuación compleja de Monge-Ampère, que resolvieron. [AF08]
La solución de Yau a la conjetura de Calabi había dado una respuesta razonablemente completa a la pregunta de cómo las métricas de Kähler en variedades complejas compactas de primera clase Chern no positivas pueden deformarse en métricas de Kähler-Einstein. [Y78a] Akito Futaki demostró que la existencia de campos vectoriales holomorfos puede actuar como una obstrucción a la extensión directa de estos resultados al caso en que la variedad compleja tiene una primera clase Chern positiva. [35] Una propuesta de Calabi sugirió que existen métricas de Kähler-Einstein en cualquier variedad compacta de Kähler con primera clase Chern positiva que no admita campos vectoriales holomorfos. [Y82b] Durante la década de 1980, Yau y otros llegaron a comprender que este criterio no podía ser suficiente. Inspirado por el teorema de Donaldson-Uhlenbeck-Yau, Yau propuso que la existencia de las métricas de Kähler-Einstein debe estar vinculada a la estabilidad de la variedad compleja en el sentido de la teoría geométrica invariante , con la idea de estudiar campos vectoriales holomorfos a lo largo de incrustaciones proyectivas, en lugar de que los campos vectoriales holomórficos en la propia variedad. [Y93][Y14a] La investigación posterior de Gang Tian y Simon Donaldson refinó esta conjetura, que se conoció como la conjetura de Yau-Tian-Donaldson que relaciona las métricas de Kähler - Einstein y la estabilidad K. En 2019, Xiuxiong Chen , Donaldson y Song Sun recibieron el premio Oswald Veblen por la resolución de la conjetura. [54]
En 1982, Li y Yau resolvieron la conjetura de Willmore en el caso no integrado. [LY82] Más precisamente, establecieron que, dada cualquier inmersión suave de una superficie cerrada en la 3-esfera que no sea una incrustación, la energía de Willmore está limitada por debajo por 8π. Esto se complementa con un resultado de 2012 de Fernando Marques y André Neves , que dice que en el caso alternativo de una incrustación suave del toro bidimensional S 1 × S 1 , la energía de Willmore está limitada por debajo por 2π 2 . [55] Juntos, estos resultados comprenden la conjetura completa de Willmore, tal como la formuló originalmente Thomas Willmore en 1965. Aunque sus suposiciones y conclusiones son bastante similares, los métodos de Li-Yau y Marques-Neves son distintos. No obstante, ambos se basan en esquemas minimax estructuralmente similares. Marques y Neves hicieron un uso novedoso de la teoría min-max de Almgren-Pitts del área funcional a partir de la teoría de la medida geométrica ; El enfoque de Li y Yau dependía de su nueva "invariante conforme", que es una cantidad mínima-máxima basada en la energía de Dirichlet . El trabajo principal de su artículo está dedicado a relacionar su invariante conforme con otras cantidades geométricas.
William Meeks y Yau produjeron algunos resultados fundamentales en superficies mínimas en variedades tridimensionales, revisando puntos dejados abiertos por trabajos más antiguos de Jesse Douglas y Charles Morrey . [MY82] [41] Siguiendo estos fundamentos, Meeks, Leon Simon y Yau dieron una serie de resultados fundamentales sobre superficies en variedades riemannianas tridimensionales que minimizan el área dentro de su clase de homología. [MSY82] Pudieron ofrecer una serie de aplicaciones sorprendentes. Por ejemplo, demostraron que si M es una variedad triple orientable tal que cada incrustación suave de una esfera 2 puede extenderse a una incrustación suave de la bola unitaria, entonces lo mismo ocurre con cualquier espacio de cobertura de M. Curiosamente, el artículo de Meeks-Simon-Yau y el artículo fundamental de Hamilton sobre el flujo de Ricci , publicados el mismo año, tienen un resultado en común, obtenido mediante métodos muy distintos: cualquier variedad de Riemann tridimensional, compacta y simplemente conectada con curvatura de Ricci positiva es difeomorfa. a las 3 esferas.
En la geometría de subvariedades , tanto la geometría extrínseca como la intrínseca son importantes. Estos se reflejan en la métrica intrínseca de Riemann y la segunda forma fundamental . Muchos geómetras han considerado los fenómenos que surgen al restringir estos datos a alguna forma de constancia. Esto incluye como casos especiales los problemas de superficies mínimas , curvatura media constante y subvariedades cuya métrica tiene curvatura escalar constante .
Fuera del contexto de los problemas de rigidez de subvariedades, Yau pudo adaptar el método de Jürgen Moser para demostrar desigualdades de Caccioppoli, demostrando así nuevos resultados de rigidez para funciones en variedades de Riemann completas. Un resultado suyo particularmente famoso dice que una función subarmónica no puede ser a la vez positiva y L p integrable a menos que sea constante. [Y76] [47] [60] De manera similar, en una variedad de Kähler completa , una función holomorfa no puede ser L p integrable a menos que sea constante. [Y76]
El problema de Minkowski de la geometría diferencial clásica puede verse como el problema de prescribir la curvatura gaussiana . En la década de 1950, Louis Nirenberg y Aleksei Pogorelov resolvieron el problema de las superficies bidimensionales, aprovechando los avances recientes en la ecuación de Monge-Ampère para dominios bidimensionales. En la década de 1970, todavía faltaba una comprensión de dimensiones superiores de la ecuación de Monge-Ampère. En 1976, Shiu-Yuen Cheng y Yau resolvieron el problema de Minkowski en dimensiones generales mediante el método de continuidad , utilizando estimaciones totalmente geométricas en lugar de la teoría de la ecuación de Monge-Ampère. [CY76b] [61]
Como consecuencia de su resolución del problema de Minkowski, Cheng y Yau pudieron avanzar en la comprensión de la ecuación de Monge-Ampère. [CY77a] La observación clave es que la transformada de Legendre de una solución de la ecuación de Monge-Ampère tiene la curvatura gaussiana de su gráfico prescrita por una fórmula simple que depende del "lado derecho" de la ecuación de Monge-Ampère. Como consecuencia, pudieron demostrar la solucion general del problema de Dirichlet para la ecuación de Monge-Ampère, que en ese momento había sido una cuestión abierta importante excepto para los dominios bidimensionales. [61]
Los artículos de Cheng y Yau siguieron algunas ideas presentadas en 1971 por Pogorelov, aunque sus trabajos disponibles públicamente (en el momento del trabajo de Cheng y Yau) carecían de algunos detalles significativos. [62] Pogorelov también publicó una versión más detallada de sus ideas originales, y las resoluciones de los problemas se atribuyen comúnmente tanto a Cheng-Yau como a Pogorelov. [63] [61] Los enfoques de Cheng-Yau y Pogorelov ya no se ven comúnmente en la literatura sobre la ecuación de Monge-Ampère, ya que otros autores, en particular Luis Caffarelli , Nirenberg y Joel Spruck , han desarrollado técnicas directas que producen más resultados potentes y que no requieren el uso auxiliar del problema de Minkowski. [63]
Las esferas afines se describen naturalmente mediante soluciones de ciertas ecuaciones de Monge-Ampère, de modo que su comprensión completa es significativamente más complicada que la de las esferas euclidianas, ya que estas últimas no se basan en ecuaciones diferenciales parciales . En el caso parabólico , las esferas afines fueron clasificadas completamente como paraboloides por los sucesivos trabajos de Konrad Jörgens , Eugenio Calabi y Pogorelov. Calabi identificó las esferas afines elípticas como elipsoides . Las esferas afines hiperbólicas exhiben fenómenos más complicados. Cheng y Yau demostraron que son asintóticos a los conos convexos y, a la inversa, que cada cono (uniformemente) convexo corresponde de tal manera a alguna esfera afín hiperbólica. [CY86] También pudieron proporcionar nuevas pruebas de las clasificaciones anteriores de Calabi y Jörgens–Calabi–Pogorelov. [61] [64]
Una variedad Calabi-Yau es una variedad Kähler compacta que es Ricci-plana; como caso especial de la verificación de Yau de la conjetura de Calabi, se sabe que existen tales variedades. [Y78a] La simetría especular, que es una propuesta desarrollada por físicos teóricos que data de finales de la década de 1980, postula que las variedades Calabi-Yau de dimensión compleja tres pueden agruparse en pares que comparten ciertas características, como los números de Euler y Hodge. Basándose en este cuadro conjetural, los físicos Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green y Linda Parkes propusieron una fórmula de geometría enumerativa que codifica el número de curvas racionales de cualquier grado fijo en una hipersuperficie quíntica general de estructura proyectiva compleja de cuatro dimensiones. espacio . Bong Lian, Kefeng Liu y Yau dieron una prueba rigurosa de que esta fórmula es válida. [LLY97] Un año antes, Alexander Givental había publicado una prueba de las fórmulas especulares; Según Lian, Liu y Yau, los detalles de su prueba sólo se completaron con éxito después de su propia publicación. [25] Las pruebas de Givental y Lian-Liu-Yau tienen cierta superposición, pero son enfoques distintos del problema, y desde entonces cada uno ha recibido exposiciones de libros de texto. [65] [66]
Los trabajos de Givental y de Lian-Liu-Yau confirman una predicción hecha por la conjetura más fundamental de la simetría especular sobre cómo se pueden emparejar variedades tridimensionales de Calabi-Yau. Sin embargo, sus trabajos no dependen lógicamente de la conjetura misma y, por tanto, no tienen relación inmediata con su validez. Con Andrew Strominger y Eric Zaslow , Yau propuso una imagen geométrica de cómo la simetría especular podría entenderse sistemáticamente y demostrarse que es cierta. [SYZ96] Su idea es que una variedad de Calabi-Yau con dimensión compleja tres debería estar foliada por toros lagrangianos especiales , que son ciertos tipos de subvariedades mínimas tridimensionales de la variedad de Riemann de seis dimensiones subyacente a la estructura de Calabi-Yau. Las variedades de espejos se caracterizarían entonces, en términos de esta estructura conjetural, por tener foliaciones duales . La propuesta Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) ha sido modificada y desarrollada de diversas maneras desde 1996. La imagen conceptual que proporciona ha tenido una influencia significativa en el estudio de la simetría especular, y la investigación sobre sus diversos aspectos es actualmente un campo activo. . Se puede contrastar con la propuesta alternativa de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich . El punto de vista de la conjetura SYZ se centra en los fenómenos geométricos en espacios de Calabi-Yau, mientras que la conjetura de Kontsevich abstrae el problema para abordar estructuras puramente algebraicas y teoría de categorías . [32] [39] [65] [66]
En uno de los primeros artículos de Yau, escrito con Blaine Lawson , se encontraron varios resultados fundamentales sobre la topología de variedades de Riemann cerradas con curvatura no positiva. [LY72] Su teorema del toro plano caracteriza la existencia de un toro sumergido plano y totalmente geodésico en términos del álgebra del grupo fundamental . El teorema de división dice que la división del grupo fundamental como un producto directo máximamente no conmutativo implica la división isométrica de la variedad misma. Al mismo tiempo, Detlef Gromoll y Joseph Wolf obtuvieron resultados similares . [67] [68] Sus resultados se han extendido al contexto más amplio de acciones de grupos isométricos en espacios métricos de curvatura no positiva . [69]
Jeff Cheeger y Yau estudiaron el núcleo de calor en una variedad de Riemann. Establecieron el caso especial de la métrica de Riemann para la cual las esferas geodésicas tienen una curvatura media constante , que demostraron que se caracteriza por la simetría radial del núcleo de calor. [CY81] Especializados en métricas rotacionalmente simétricas, utilizaron el mapa exponencial para trasplantar el núcleo de calor a una bola geodésica en una variedad de Riemann general. Bajo el supuesto de que el espacio "modelo" simétrico subestima la curvatura de Ricci de la propia variedad, llevaron a cabo un cálculo directo que muestra que la función resultante es una subsolución de la ecuación del calor . Como consecuencia, obtuvieron una estimación más baja del núcleo de calor en una variedad de Riemann general en términos de límites inferiores de su curvatura de Ricci. [70] [71] En el caso especial de la curvatura de Ricci no negativa, Peter Li y Yau pudieron utilizar sus estimaciones de gradiente para amplificar y mejorar la estimación de Cheeger-Yau. [LY86] [47]
Un resultado bien conocido de Yau, obtenido independientemente por Calabi, muestra que cualquier variedad de Riemann no compacta de curvatura de Ricci no negativa debe tener un crecimiento de volumen de al menos una tasa lineal. [Y76] [47] Cheeger, Mikhael Gromov y Michael Taylor encontraron más tarde una segunda prueba, utilizando la desigualdad de Bishop-Gromov en lugar de la teoría de funciones .
Dada una variedad Riemanniana compacta y suave, con o sin límite, la geometría espectral estudia los valores propios del operador de Laplace-Beltrami , que en el caso de que la variedad tenga un límite se combina con una elección de condición de contorno, generalmente condiciones de Dirichlet o Neumann. Paul Yang y Yau demostraron que en el caso de una variedad bidimensional cerrada , el primer valor propio está acotado arriba por una fórmula explícita que depende únicamente del género y volumen de la variedad. [YY80] [41] Anteriormente, Yau había modificado el análisis de Jeff Cheeger de la constante de Cheeger para poder estimar el primer valor propio desde abajo en términos de datos geométricos. [Y75a] [72]
En la década de 1910, Hermann Weyl demostró que, en el caso de las condiciones de frontera de Dirichlet en un subconjunto abierto suave y acotado del plano, los valores propios tienen un comportamiento asintótico que está dictado enteramente por el área contenida en la región. Su resultado se conoce como ley de Weyl . En 1960, George Pólya conjeturó que la ley de Weyl en realidad da control de cada valor propio individual, y no sólo de su distribución asintótica. Li y Yau demostraron una versión debilitada de la conjetura de Pólya, obteniendo el control de los promedios de los valores propios mediante la expresión de la ley de Weyl. [LY83] [73]
En 1980, Li y Yau identificaron una serie de nuevas desigualdades para los valores propios de Laplace-Beltrami, todas basadas en el principio de máximo y las estimaciones diferenciales de Harnack, iniciadas cinco años antes por Yau y Cheng-Yau. [LY80] Su resultado sobre límites inferiores basados en datos geométricos es particularmente conocido, [74] [51] [47] y fue el primero de su tipo en no requerir ningún supuesto condicional. [75] Casi al mismo tiempo, Mikhael Gromov obtuvo una desigualdad similar mediante métodos isoperimétricos , aunque su resultado es más débil que el de Li y Yau. [70] En colaboración con Isadore Singer , Bun Wong y Shing-Toung Yau , Yau utilizó la metodología Li-Yau para establecer una estimación de gradiente para el cociente de las dos primeras funciones propias. [S+85] De manera análoga a la integración de Yau de estimaciones de gradiente para encontrar desigualdades de Harnack, pudieron integrar su estimación de gradiente para obtener el control de la brecha fundamental, que es la diferencia entre los dos primeros valores propios. El trabajo de Singer–Wong–Yau–Yau inició una serie de trabajos de varios autores en los que se encontraron y mejoraron nuevas estimaciones sobre la brecha fundamental. [76]
En 1982, Yau identificó catorce problemas de interés en geometría espectral, incluida la conjetura de Pólya antes mencionada. [Y82b] Alexander Logunov y Eugenia Malinnikova resolvieron una conjetura particular de Yau, sobre el control del tamaño de los conjuntos de niveles de funciones propias mediante el valor del valor propio correspondiente , quienes recibieron el Premio Clay de Investigación 2017 en parte por su trabajo. . [77]
Xianfeng Gu y Yau consideraron el cálculo numérico de mapas conformes entre variedades bidimensionales (presentadas como mallas discretizadas) y, en particular, el cálculo de mapas uniformizadores como lo predice el teorema de uniformización . En el caso de superficies de género cero, un mapa es conforme si y sólo si es armónico, por lo que Gu y Yau pueden calcular mapas conformes mediante la minimización directa de una energía de Dirichlet discretizada . [GY02] En el caso de géneros superiores, los mapas de uniformización se calculan a partir de sus gradientes, según lo determinado a partir de la teoría de Hodge de formas 1 cerradas y armónicas. [GY02] El trabajo principal es, por tanto, identificar discretizaciones numéricamente efectivas de la teoría clásica. Su enfoque es lo suficientemente flexible para tratar superficies generales con límites. [GY03] [78] Con Tony Chan , Paul Thompson y Yalin Wang, Gu y Yau aplicaron su trabajo al problema de hacer coincidir dos superficies cerebrales, que es un tema importante en imágenes médicas . En el caso de género cero más relevante, los mapas conformes solo están bien definidos hasta la acción del grupo de Möbius . Al optimizar aún más una energía de tipo Dirichlet que mide la falta de coincidencia de puntos de referencia cerebrales como el surco central , obtuvieron mapeos que están bien definidos por tales características neurológicas. [G+04]
En el campo de la teoría de grafos , Fan Chung y Yau desarrollaron ampliamente análogos de nociones y resultados de la geometría de Riemann. Estos resultados sobre las desigualdades diferenciales de Harnack, las desigualdades de Sobolev y el análisis del núcleo de calor , encontrados en parte en colaboración con Ronald Graham y Alexander Grigor'yan, se escribieron más tarde en forma de libro de texto como los últimos capítulos de su conocido libro "Teoría de grafos espectrales". . [79] Más tarde, introdujeron una función de Green tal como se define para los gráficos, lo que equivale a una pseudoinversa del gráfico laplaciano . [CY00] Su trabajo es naturalmente aplicable al estudio de los tiempos de acierto en caminatas aleatorias y temas relacionados. [80] [81]
Con el interés de encontrar contextos teóricos de grafos generales para sus resultados, Chung y Yau introdujeron una noción de planitud de Ricci de un gráfico. [79] Yann Ollivier introdujo más tarde una noción más flexible de curvatura de Ricci, que trata de cadenas de Markov en espacios métricos . Yong Lin, Linyuan Lu y Yau desarrollaron parte de la teoría básica de la definición de Ollivier en el contexto especial de la teoría de grafos, considerando, por ejemplo, la curvatura de Ricci de los gráficos aleatorios de Erdös-Rényi . [LLY11] Lin y Yau también consideraron las desigualdades curvatura-dimensión introducidas anteriormente por Dominique Bakry y Michel Émery, relacionándolas y la curvatura de Ollivier con la noción de llanura de Ricci de Chung-Yau. [LY10] Además, pudieron demostrar límites inferiores generales en las curvaturas de Bakry-Émery y Ollivier en el caso de gráficos localmente finitos. [82]
Yau ha recibido cátedras honorarias de muchas universidades chinas, incluidas la Universidad Normal de Hunan , la Universidad de Pekín , la Universidad de Nankai y la Universidad de Tsinghua . Tiene títulos honoríficos de muchas universidades internacionales, incluidas la Universidad de Harvard , la Universidad China de Hong Kong y la Universidad de Waterloo . Es miembro extranjero de las Academias Nacionales de Ciencias de China, India y Rusia.
Sus premios incluyen:
Artículos de investigación. Yau es autor de más de quinientos artículos. Arriba se analizan los siguientes, entre los más citados:
Artículos de encuestas y publicaciones de obras completas.
Libros de texto y monografías técnicas.
Libros populares.
Se convirtió en ciudadano estadounidense en 1990.
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