la fórmula de simons

En el campo matemático de la geometría diferencial , la fórmula de Simons (también conocida como identidad de Simons , y en algunas variantes como desigualdad de Simons ) es una ecuación fundamental en el estudio de las subvariedades mínimas . Fue descubierto por James Simons en 1968. ^[1] Puede verse como una fórmula para el laplaciano de la segunda forma fundamental de una subvariedad de Riemann . A menudo se cita y se utiliza en la forma menos precisa de fórmula o desigualdad para el laplaciano de la longitud de la segunda forma fundamental.

En el caso de una hipersuperficie $M$ del espacio euclidiano , la fórmula afirma que

\Delta h=\operatorname {Hess} H+Hh^{2}-|h|^{2}h,

donde, en relación con una elección local de campo vectorial normal unitario, $h$ es la segunda forma fundamental , $H$ es la curvatura media y $h 2$ es el 2-tensor simétrico en $M$ dado por $h 2 ji = gramo pq h ip h qj$ . ^[2] Esto tiene como consecuencia que

{\frac {1}{2}}\Delta |h|^{2}=|\nabla h|^{2}-|h|^{4}+\langle h,\operatorname {Hess} H\rangle +H\operatorname {tr} (A^{3})

donde $A$ es el operador de forma . ^[3] En este contexto, la derivación es particularmente sencilla:

{\begin{aligned}\Delta h_{ij}&=\nabla ^{p}\nabla _{p}h_{ij}\\&=\nabla ^{p}\nabla _{i}h_ {jp}\\&=\nabla _{i}\nabla ^{p}h_{jp}-{{R^{p}}_{ij}}^{q}h_{qp}-{{R^ {p}}_{ip}}^{q}h_{jq}\\&=\nabla _{i}\nabla _{j}H-(h^{pq}h_{ij}-h_{j} ^{p}h_{i}^{q})h_{qp}-(h^{pq}h_{ip}-Hh_{i}^{q})h_{jq}\\&=\nabla _{ i}\nabla _{j}H-|h|^{2}h+Hh^{2};\end{aligned}}

las únicas herramientas involucradas son la ecuación de Codazzi (igualdades 2 y 4), la ecuación de Gauss (igualdad 4) y la identidad de conmutación para la diferenciación covariante (igualdad 3). El caso más general de una hipersuperficie en una variedad de Riemann requiere términos adicionales relacionados con el tensor de curvatura de Riemann . ^[4] En el escenario aún más general de la codimensión arbitraria, la fórmula implica un polinomio complicado en la segunda forma fundamental. ^[5]

Referencias

Notas a pie de página

^ Simons 1968, sección 4.2.
^ Huisken 1984, Lema 2.1 (i).
^ Simón 1983, Lema B.8.
^ Huisken 1986.
^ Simons 1968, sección 4.2; Chern, de Carmo y Kobayashi 1970.

Libros

Tobias Holck Colding y William P. Minicozzi, II. Un curso en superficies mínimas. Estudios de Posgrado en Matemáticas, 121. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI, 2011. xii+313 págs. ISBN 978-0-8218-5323-8
Enrico Giusti. Superficies mínimas y funciones de variación acotada. Monografías de matemáticas, 80. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1984. xii+240 págs. ISBN 0-8176-3153-4
León Simón. Conferencias sobre teoría de la medida geométrica. Actas del Centro de Análisis Matemático, Universidad Nacional de Australia, 3. Universidad Nacional de Australia, Centro de Análisis Matemático, Canberra, 1983. vii+272 págs. ISBN 0-86784-429-9

Artículos

SS Chern, M. do Carmo y S. Kobayashi. Subvariedades mínimas de una esfera con segunda forma fundamental de longitud constante. Análisis funcional y campos relacionados (1970), 59–75. Actas de una conferencia en honor del profesor Marshall Stone, celebrada en la Universidad de Chicago, mayo de 1968. Springer, Nueva York. Editado por Félix E. Browder. doi :10.1007/978-3-642-48272-4_2
Gerhard Huisken. Flujo por curvatura media de superficies convexas en esferas. J. Geom diferencial. 20 (1984), núm. 1, 237–266. doi :10.4310/jdg/1214438998
Gerhard Huisken. Contracción de hipersuperficies convexas en variedades de Riemann por su curvatura media. Inventar. Matemáticas. 84 (1986), núm. 3, 463–480. doi :10.1007/BF01388742
James Simons. Variedades mínimas en variedades de Riemann. Ana. de Matemáticas. (2) 88 (1968), 62-105. doi :10.2307/1970556