Un espaciotiempo asintóticamente plano es una variedad de Lorentz en la que, en términos generales, la curvatura desaparece a grandes distancias de alguna región, de modo que a grandes distancias, la geometría se vuelve indistinguible de la del espaciotiempo de Minkowski .
Si bien esta noción tiene sentido para cualquier variedad lorentziana, se aplica con mayor frecuencia a un espacio-tiempo que se presenta como una solución a las ecuaciones de campo de alguna teoría métrica de la gravitación , particularmente la relatividad general . En este caso, podemos decir que un espacio-tiempo asintóticamente plano es aquel en el que el campo gravitacional , así como cualquier materia u otros campos que puedan estar presentes, se vuelven insignificantes en magnitud a grandes distancias de alguna región. En particular, en una solución de vacío asintóticamente plana , el campo gravitacional (curvatura) se vuelve insignificante a grandes distancias de la fuente del campo (normalmente algún objeto masivo aislado, como una estrella). [1]
La condición de planitud asintótica es análoga a condiciones similares en matemáticas y otras teorías físicas. Tales condiciones dicen que algún campo físico o función matemática está desapareciendo asintóticamente en un sentido adecuado. [ cita necesaria ]
En la relatividad general, una solución de vacío asintóticamente plana modela el campo gravitacional exterior de un objeto masivo aislado. Por lo tanto, dicho espacio-tiempo puede considerarse como un sistema aislado : un sistema en el que las influencias exteriores pueden despreciarse . De hecho, los físicos rara vez imaginan un universo que contenga una sola estrella y nada más cuando construyen un modelo asintóticamente plano de una estrella. [ cita necesaria ] Más bien, están interesados en modelar el interior de la estrella junto con una región exterior en la que los efectos gravitacionales debidos a la presencia de otros objetos puedan despreciarse. Dado que las distancias típicas entre cuerpos astrofísicos tienden a ser mucho mayores que el diámetro de cada cuerpo, a menudo podemos salirnos con esta idealización, que normalmente ayuda a simplificar enormemente la construcción y el análisis de soluciones.
Una variedad es asintóticamente simple si admite una compactificación conforme tal que cada geodésica nula tiene puntos finales futuros y pasados en el límite de .
Dado que este último excluye los agujeros negros, se define una variedad débilmente asintóticamente simple como una variedad con un conjunto abierto isométrico a una vecindad del límite de , donde es la compactificación conforme de alguna variedad asintóticamente simple.
Una variedad es asintóticamente plana si es débilmente asintóticamente simple y asintóticamente vacía en el sentido de que su tensor de Ricci desaparece en una vecindad del límite de .
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Sólo los espacio-tiempos que modelan un objeto aislado son asintóticamente planos. Muchas otras soluciones exactas conocidas, como los modelos FRW , no lo son.
Un ejemplo sencillo de espaciotiempo asintóticamente plano es la solución métrica de Schwarzschild . De manera más general, la métrica de Kerr también es asintóticamente plana. Pero otra generalización bien conocida del vacío de Schwarzschild, el espacio de Taub-NUT , no es asintóticamente plano. Una generalización aún más simple, la solución métrica de De Sitter-Schwarzschild , que modela un objeto masivo esféricamente simétrico inmerso en un universo de Sitter , es un ejemplo de un espaciotiempo asintóticamente simple que no es asintóticamente plano.
Por otro lado, existen grandes familias importantes de soluciones que son asintóticamente planas, como las métricas de AF Weyl y sus generalizaciones rotativas, los vacíos de AF Ernst (la familia de todas las soluciones de vacío axialmente simétricas y asintóticamente planas estacionarias). Estas familias están dadas por el espacio de solución de una familia muy simplificada de ecuaciones diferenciales parciales, y sus tensores métricos se pueden escribir en términos de una expansión multipolar explícita .
La forma más sencilla (e históricamente la primera) de definir un espacio-tiempo asintóticamente plano supone que tenemos un gráfico de coordenadas, con coordenadas , que lejos del origen se comporta de forma muy parecida a un gráfico cartesiano en el espacio-tiempo de Minkowski, en el siguiente sentido. Escriba el tensor métrico como la suma de un fondo de Minkowski (físicamente no observable) más un tensor de perturbación, y establezca . Entonces requerimos:
Una razón por la que requerimos que las derivadas parciales de la perturbación decaigan tan rápidamente es que estas condiciones resultan implicar que la densidad de energía del campo gravitacional (en la medida en que esta noción un tanto nebulosa tenga sentido en una teoría métrica de la gravitación) decae como , lo cual sería físicamente sensato. (En el electromagnetismo clásico , la energía del campo electromagnético de una carga puntual decae como ).
Alrededor de 1962, Hermann Bondi , Rainer K. Sachs y otros comenzaron a estudiar el fenómeno general de la radiación de una fuente compacta en la relatividad general, lo que requiere definiciones más flexibles de planitud asintótica. En 1963, Roger Penrose importó de la geometría algebraica la innovación esencial, ahora llamada compactificación conforme , y en 1972, Robert Geroch utilizó esto para sortear el complicado problema de definir y evaluar adecuadamente límites adecuados al formular una definición de planitud asintótica verdaderamente libre de coordenadas. En el nuevo enfoque, una vez que todo está configurado correctamente, sólo es necesario evaluar funciones en un lugar geométrico para verificar la planitud asintótica.
La noción de planitud asintótica es extremadamente útil como condición técnica en el estudio de soluciones exactas en la relatividad general y teorías afines. Hay varias razones para esto:
