Solución fluida

Clase de soluciones exactas a las ecuaciones de campo de Einstein

En relatividad general , una solución de fluido es una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein en la que el campo gravitacional es producido enteramente por la masa, el momento y la densidad de tensión de un fluido .

En astrofísica , las soluciones fluidas se emplean a menudo como modelos estelares . (Puede resultar útil pensar en un gas perfecto como un caso especial de un fluido perfecto). En cosmología , las soluciones fluidas se utilizan a menudo como modelos cosmológicos .

Definición matemática

El tensor de tensión-energía de un fluido relativista se puede escribir en la forma ^[1]

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b}+p\,h^{ab}+\left(u^{a}\,q^{b}+q^{a}\,u^{b}\right)+\pi ^{ab}}$

Aquí

• Las líneas del mundo de los elementos del fluido son las curvas integrales del vector de velocidad , ${\displaystyle u^{a}}$
• El tensor de proyección proyecta otros tensores sobre elementos del hiperplano ortogonales a , ${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+u_{a}\,u_{b}}$ ${\displaystyle u^{a}}$
• La densidad de materia está dada por la función escalar , ${\displaystyle \mu }$
• La presión viene dada por la función escalar , ${\displaystyle p}$
• El vector de flujo de calor está dado por , ${\displaystyle q^{a}}$
• El tensor de corte viscoso está dado por . ${\displaystyle \pi ^{ab}}$

El vector de flujo de calor y el tensor de cizallamiento viscoso son transversales a las líneas del mundo, en el sentido de que

${\displaystyle q_{a}\,u^{a}=0,\;\;\pi _{ab}\,u^{b}=0}$

Esto significa que son efectivamente magnitudes tridimensionales y, dado que el tensor de tensión viscosa es simétrico y sin trazas , tienen respectivamente tres y cinco componentes linealmente independientes . Junto con la densidad y la presión, esto hace un total de 10 componentes linealmente independientes, que es el número de componentes linealmente independientes en un tensor de rango dos simétrico de cuatro dimensiones.

Casos especiales

Cabe destacar varios casos especiales de soluciones fluidas (aquí la velocidad de la luz c  = 1):

• Un fluido perfecto tiene una fuerza cortante viscosa que se desvanece y un flujo de calor que se desvanece:

${\displaystyle T^{ab}=(\mu +p)\,u^{a}\,u^{b}+p\,g^{ab},}$

• Un polvo es un fluido perfecto sin presión:

${\displaystyle T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b},}$

• Un fluido de radiación es un fluido perfecto con : ${\displaystyle \mu =3p}$

${\displaystyle T^{ab}=p\,\left(4\,u^{a}\,u^{b}+\,g^{ab}\right).}$

Los dos últimos se utilizan a menudo como modelos cosmológicos para épocas dominadas por la materia y por la radiación (respectivamente) . Nótese que, si bien en general se requieren diez funciones para especificar un fluido, un fluido perfecto requiere solo dos, y los polvos y los fluidos de radiación requieren solo una función cada uno. Es mucho más fácil encontrar tales soluciones que encontrar una solución de fluido general.

Entre los fluidos perfectos distintos de los polvos o fluidos de radiación, el caso especial más importante es el de las soluciones fluidas perfectas estáticas esféricamente simétricas . Estas siempre se pueden adaptar a un vacío de Schwarzschild a lo largo de una superficie esférica, por lo que se pueden utilizar como soluciones interiores en un modelo estelar. En tales modelos, la esfera donde el interior del fluido se adapta al exterior del vacío es la superficie de la estrella, y la presión debe desaparecer en el límite a medida que el radio se acerca a . Sin embargo, la densidad puede ser distinta de cero en el límite desde abajo, mientras que, por supuesto, es cero en el límite desde arriba. En los últimos años, se han dado varios esquemas sorprendentemente simples para obtener todas estas soluciones. ${\displaystyle r=r[0]}$ ${\displaystyle r_{0}}$

Tensor de Einstein

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de marco en lugar de a la base de coordenadas a menudo se denominan componentes físicos , porque son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador.

En el caso especial de un fluido perfecto , un marco adaptado

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

(el primero es un campo vectorial unitario temporal , los tres últimos son campos vectoriales unitarios espaciales ) siempre se puede encontrar en el que el tensor de Einstein toma la forma simple

${\displaystyle G^{{\widehat {a\,}}{\widehat {b\,}}}=8\pi \,\left[{\begin{matrix}\mu &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right]}$

donde es la densidad de energía y es la presión del fluido. Aquí, el campo vectorial unitario temporal es en todas partes tangente a las líneas del universo de los observadores que se mueven en consonancia con los elementos del fluido, por lo que la densidad y la presión que acabamos de mencionar son las medidas por los observadores que se mueven en consonancia. Estas son las mismas cantidades que aparecen en la expresión de la base de coordenadas general dada en la sección anterior; para ver esto, simplemente ponga . A partir de la forma de los componentes físicos, es fácil ver que el grupo de isotropía de cualquier fluido perfecto es isomorfo al grupo de Lie tridimensional SO(3), el grupo de rotación ordinario. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$

El hecho de que estos resultados sean exactamente los mismos para los espaciotiempos curvos que para la hidrodinámica en el espaciotiempo plano de Minkowski es una expresión del principio de equivalencia .

Valores propios

El polinomio característico del tensor de Einstein en un fluido perfecto debe tener la forma

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\left(\lambda -8\pi p\right)^{3}}$

donde nuevamente son la densidad y la presión del fluido medidas por observadores que se mueven en conjunción con los elementos del fluido. (Observe que estas cantidades pueden variar dentro del fluido). Escribiendo esto y aplicando los métodos de base de Gröbner para simplificar las relaciones algebraicas resultantes, encontramos que los coeficientes de la característica deben satisfacer las siguientes dos condiciones algebraicamente independientes (e invariantes): ${\displaystyle \mu ,\,p}$

${\displaystyle 12a_{4}+a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}=0}$

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}-9a_{3}^{2}-9a_{1}^{2}a_{4}+32a_{2}a_{4}=0}$

Pero según las identidades de Newton , las trazas de las potencias del tensor de Einstein están relacionadas con estos coeficientes de la siguiente manera:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=t_{1}=a_{1}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=t_{3}=a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}+3a_{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=t_{4}=a_{1}^{4}-4a_{1}^{2}a_{2}+4a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}-a_{4}}$

De modo que podemos reescribir las dos cantidades anteriores en su totalidad en términos de las trazas de las potencias. Estas son obviamente invariantes escalares y deben desaparecer de manera idéntica en el caso de una solución fluida perfecta:

${\displaystyle t_{2}^{3}+4t_{3}^{2}+t_{1}^{2}t_{4}-4t_{2}t_{4}-2t_{1}t_{2}t_{3}=0}$

${\displaystyle t_{1}^{4}+7t_{2}^{2}-8t_{1}^{2}t_{2}+12t_{1}t_{3}-12t_{4}=0}$

Tenga en cuenta que esto no supone nada acerca de ninguna posible ecuación de estado que relacione la presión y la densidad del fluido; solo suponemos que tenemos un valor propio simple y uno triple.

En el caso de una solución de polvo (presión de desaparición), estas condiciones se simplifican considerablemente:

${\displaystyle a_{2}\,=a_{3}=a_{4}=0}$

o

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

En notación de gimnasia tensorial, esto se puede escribir usando el escalar de Ricci como:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=-R^{4}}$

En el caso de un fluido de radiación, los criterios se convierten en

${\displaystyle a_{1}=0,\;27\,a_{3}^{2}+8a_{2}^{3}=0,\;12\,a_{4}+a_{2}^{2}=0}$

o

${\displaystyle t_{1}=0,7\,t_{3}^{2}-t_{2}\,t_{4}=0,\;12\,t_{4}-7\,t_{2}^{2}=0}$

Al utilizar estos criterios, se debe tener cuidado de asegurar que el valor propio más grande pertenece a un vector propio temporal , ya que existen variedades lorentzianas que satisfacen este criterio de valor propio, en las que el valor propio grande pertenece a un vector propio espacial , y estos no pueden representar fluidos de radiación.

Los coeficientes de la característica a menudo parecen muy complicados y las trazas no son mucho mejores; cuando se buscan soluciones, casi siempre es mejor calcular los componentes del tensor de Einstein con respecto a un marco adecuadamente adaptado y luego eliminar las combinaciones apropiadas de componentes directamente. Sin embargo, cuando no hay un marco adaptado evidente, estos criterios de valores propios pueden ser útiles a veces, especialmente cuando se emplean junto con otras consideraciones.

Estos criterios pueden ser a menudo útiles para comprobar puntualmente soluciones de fluidos supuestamente perfectos, en cuyo caso los coeficientes de la característica suelen ser mucho más simples de lo que serían para un fluido imperfecto más simple.

Ejemplos

En el artículo sobre soluciones de polvo se enumeran soluciones de polvo individuales notables . Entre las soluciones de fluidos perfectos notables que presentan presión positiva se incluyen varios modelos de fluidos de radiación de la cosmología, incluidos

• Fluidos de radiación FRW , a menudo denominados modelos FRW dominados por la radiación .

Además de la familia de fluidos perfectos esféricamente simétricos estáticos, las soluciones de fluidos rotatorios dignas de mención incluyen

• Fluido de Wahlquist , que tiene simetrías similares al vacío de Kerr , lo que generó esperanzas iniciales (luego frustradas) de que pudiera proporcionar la solución interior para un modelo simple de una estrella en rotación.

Véase también

• Portal de física

• Solución de polvo , para el caso especial importante de soluciones de polvo,
• Soluciones exactas en relatividad general , para soluciones exactas en general,
• Grupo de Lorentz
• Fluido perfecto , para fluidos perfectos en física en general,
• Discos relativistas , para la interpretación de discos relativistas en términos de fluidos perfectos.

Referencias

1. Eckart, Carl (1940). "La termodinámica de los procesos irreversibles III. Teoría relativista del fluido simple". Phys. Rev . 58 (10): 919. Bibcode :1940PhRv...58..919E. doi :10.1103/PhysRev.58.919.

• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46136-7. Proporciona numerosos ejemplos de soluciones de fluidos y polvos perfectos y exactos.
• Stephani, Hans (1996). Relatividad general (segunda edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.. Consulte el Capítulo 8 para obtener una discusión sobre fluidos relativistas y termodinámica.
• Delgaty, MSR; Lake, Kayll (1998). "Aceptabilidad física de soluciones fluidas perfectas, esféricamente simétricas, estáticas y aisladas de las ecuaciones de Einstein". Comput. Phys. Commun . 115 (2–3): 395–415. arXiv : gr-qc/9809013 . Código Bibliográfico : 1998CoPhC.115..395D. doi : 10.1016/S0010-4655(98)00130-1. S2CID  : 17957408.En este artículo de revisión se examinan las soluciones de fluidos estáticos esféricamente simétricos conocidas hasta aproximadamente 1995.
• Lake, Kayll (2003). "Todas las soluciones fluidas perfectas, estáticas y esféricamente simétricas de las ecuaciones de Einstein". Phys. Rev. D . 67 (10): 104015. arXiv : gr-qc/0209104 . Bibcode :2003PhRvD..67j4015L. doi :10.1103/PhysRevD.67.104015. S2CID  119447644.Este artículo describe uno de varios esquemas encontrados recientemente para obtener todas las soluciones de fluidos perfectos, estáticos y esféricamente simétricos en relatividad general.