Campos de marco en relatividad general

Espacio-tiempo modelado por cuatro campos vectoriales ortonormales puntuales

Un campo de marco en la relatividad general (también llamado tétrada o vierbein ) es un conjunto de cuatro campos vectoriales ortonormales puntuales , uno temporal y tres espaciales , definidos en una variedad de Lorentz que se interpreta físicamente como un modelo de espacio-tiempo . El campo vectorial unitario temporal a menudo se denota por y los tres campos vectoriales unitarios espaciales por . Todas las cantidades tensoriales definidas en la variedad se pueden expresar utilizando el campo de marco y su campo de cocuadro dual . ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3}}$

Los campos marco fueron introducidos en la relatividad general por Albert Einstein en 1928 ^[1] y por Hermann Weyl en 1929. ^[2]

La notación de índice para tétradas se explica en tétrada (notación de índice) .

Interpretación física

Los campos de marco de una variedad Lorentziana siempre corresponden a una familia de observadores ideales inmersos en el espacio-tiempo dado; las curvas integrales del campo de vectores unitarios en forma de tiempo son las líneas de mundo de estos observadores, y en cada evento a lo largo de una línea de mundo dada, los tres campos de vectores unitarios en forma de espacio especifican la tríada espacial que porta el observador. Se puede considerar que la tríada define los ejes de coordenadas espaciales de un marco de laboratorio local , que es válido muy cerca de la línea mundial del observador.

En general, las líneas de mundo de estos observadores no tienen por qué ser geodésicas temporales . Si alguna de las líneas del mundo se desvía de una trayectoria geodésica en alguna región, podemos pensar en los observadores como partículas de prueba que aceleran utilizando motores de cohetes ideales con un empuje igual a la magnitud de su vector de aceleración . Alternativamente, si nuestro observador está unido a un trozo de materia en una bola de fluido en equilibrio hidrostático , este trozo de materia en general será acelerado hacia afuera por el efecto neto de la presión que sostiene la bola de fluido contra la atracción de su propia gravedad. Otras posibilidades incluyen un observador unido a una partícula de prueba cargada libre en una solución de electrovacío , que por supuesto será acelerada por la fuerza de Lorentz , o un observador unido a una partícula de prueba que gira , que puede ser acelerada por una fuerza de giro-giro.

Es importante reconocer que los marcos son objetos geométricos . Es decir, los campos vectoriales tienen sentido (en una variedad suave) independientemente de la elección de un gráfico de coordenadas , y (en una variedad lorentziana), también lo tienen las nociones de ortogonalidad y longitud. Así, al igual que los campos vectoriales y otras cantidades geométricas, los campos de marco se pueden representar en varios gráficos de coordenadas. Los cálculos de las componentes de cantidades tensoriales, con respecto a un marco dado, siempre producirán el mismo resultado, cualquiera que sea el gráfico de coordenadas que se utilice para representar el marco.

Estos campos son necesarios para escribir la ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo .

Especificar un marco

Para escribir un marco, es necesario elegir un gráfico de coordenadas en la variedad de Lorentz. Entonces, cada campo vectorial en la variedad se puede escribir como una combinación lineal de los cuatro campos vectoriales de base de coordenadas :

${\displaystyle {\vec {X}}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Aquí se utiliza la convención de suma de Einstein , y los campos vectoriales se consideran operadores diferenciales lineales de primer orden , y los componentes a menudo se denominan componentes contravariantes . Esto sigue las convenciones de notación estándar para secciones de un paquete tangente . Las notaciones alternativas para los campos vectoriales de base de coordenadas de uso común son ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial /\partial x^{\mu }\equiv \partial _{x^{\mu }}\equiv \partial _{\mu }.}$

En particular, los campos vectoriales en el marco se pueden expresar de esta manera:

${\displaystyle {\vec {e}}_{a}={e_{a}}^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

Al "diseñar" un marco, naturalmente es necesario asegurarse, utilizando la métrica dada , de que los cuatro campos vectoriales sean ortonormales en todas partes.

Los textos más modernos adoptan la notación para y o para . Esto permite el truco visualmente inteligente de escribir la métrica del espacio-tiempo como el producto interno de los vectores tangentes de coordenadas: ${\displaystyle \mathbf {g} _{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{x^{\mu }}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mu }\cdot \mathbf {g} _{\nu }}$

y la métrica de Minkowski de espacio plano como el producto de las gammas:

${\displaystyle \eta _{ab}=\gamma _{a}\cdot \gamma _{b}}$

La elección de para la notación es una combinación intencional con la notación utilizada para las matrices de Dirac ; permite tomarlos no sólo como vectores, sino como elementos de un álgebra, el álgebra espacio-temporal . Si se usa adecuadamente, esto puede simplificar parte de la notación utilizada al escribir una conexión de espín . ${\displaystyle \gamma _{a}}$ ${\displaystyle \gamma _{a}}$

Una vez que se adopta una firma, por dualidad todo vector de una base tiene un covector dual en la cobasis y viceversa. Por lo tanto, cada campo de cuadro está asociado con un campo de cocuadro único , y viceversa; un campo coframe es un conjunto de cuatro secciones ortogonales del paquete cotangente .

Especificación de la métrica mediante un coframe

Alternativamente, el tensor métrico se puede especificar escribiendo un coframe en términos de una base de coordenadas y estipulando que el tensor métrico viene dado por

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{i=1}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},}$

donde denota producto tensorial . Ésta es sólo una forma elegante de decir que el coframe es ortonormal . Ya sea que esto se use para obtener el tensor métrico después de escribir el marco (y pasar al cocuadro dual), o comenzar con el tensor métrico y usarlo para verificar que un marco se ha obtenido por otros medios, siempre debe ser cierto. ${\displaystyle \otimes }$

Relación con el tensor métrico, en forma coordinada.

El campo de Vierbein, tiene dos tipos de índices: etiqueta la coordenada espacio-temporal general y etiqueta el espacio-tiempo local de Lorentz o las coordenadas locales del laboratorio. ${\displaystyle e_{\ a}^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle a\,}$

El campo de Vierbein o los campos de marco pueden considerarse como la "raíz cuadrada de la matriz" del tensor métrico , ya que, en base a coordenadas, ${\displaystyle g^{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

¿ Dónde está la métrica de Lorentz ? ${\displaystyle \eta ^{ab}\,}$

Los índices locales de Lorentz aumentan y disminuyen con la métrica de Lorentz de la misma manera que las coordenadas generales del espacio-tiempo aumentan y disminuyen con el tensor métrico. Por ejemplo:

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}.}$

El campo Vierbein permite la conversión entre el espacio-tiempo y los índices de Lorentz locales. Por ejemplo:

${\displaystyle T_{a}=e_{\ a}^{\mu }T_{\mu }.}$

El propio campo Vierbein se puede manipular de la misma manera:

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$, desde ${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

Y estos se pueden combinar.

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\ a}T^{\mu }.}$

Algunos ejemplos más: el espacio-tiempo y las coordenadas locales de Lorentz se pueden mezclar:

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\ a}T^{\mu \nu }.}$

Las coordenadas locales de Lorentz se transforman de manera diferente a las coordenadas generales del espacio-tiempo. Bajo una transformación de coordenadas general tenemos:

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}T^{\nu a}}$

mientras que bajo una transformación local de Lorentz tenemos:

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

Comparación con base de coordenadas

Los vectores de base de coordenadas tienen la propiedad especial de que sus corchetes de Lie por pares desaparecen. Excepto en regiones localmente planas, al menos algunos corchetes de Lie de campos vectoriales de un marco no desaparecerán. El bagaje resultante necesario para calcular con ellos es aceptable, ya que los componentes de los objetos tensoriales con respecto a un marco (pero no con respecto a una base de coordenadas) tienen una interpretación directa en términos de mediciones realizadas por la familia de observadores ideales correspondientes al marco. .

Los vectores de base de coordenadas pueden ser nulos , lo que, por definición, no puede suceder con los vectores de marco.

Marcos inerciales y no giratorios.

Algunos marcos son más bonitos que otros. Particularmente en soluciones de vacío o electrovacío , la experiencia física de los observadores inerciales (que no sienten fuerzas) puede ser de particular interés. La caracterización matemática de un sistema inercial es muy simple: las curvas integrales del campo vectorial unitario temporal deben definir una congruencia geodésica , o en otras palabras, su vector de aceleración debe desaparecer:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}=0}$

A menudo también es deseable garantizar que la tríada espacial que lleva cada observador no gire . En este caso, se puede considerar que la tríada está giroestabilizada . El criterio para un sistema inercial sin giro (NSI) es nuevamente muy simple:

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j}=0,\;\;j=0\dots 3}$

Esto dice que a medida que nos movemos a lo largo de la línea del mundo de cada observador, su tríada espacial se transporta en paralelo . Los marcos inerciales no giratorios ocupan un lugar especial en la relatividad general, porque son lo más parecidos que podemos llegar en una variedad lorentziana curva a los marcos de Lorentz utilizados en la relatividad especial (estos son marcos inerciales especiales no giratorios en el vacío de Minkowski ).

De manera más general, si la aceleración de nuestros observadores es distinta de cero, podemos reemplazar las derivadas covariantes ${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}\neq 0}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j},\;j=1\dots 3}$

con las derivadas de Fermi-Walker (proyectadas espacialmente) para definir un marco sin giro .

Dada una variedad de Lorentz, podemos encontrar infinitos campos de marcos, incluso si necesitamos propiedades adicionales como el movimiento inercial. Sin embargo, es muy posible que un campo de marco determinado esté definido sólo en una parte de la variedad.

Ejemplo: observadores estáticos en el vacío de Schwarzschild

Será instructivo considerar con cierto detalle algunos ejemplos sencillos. Consideremos el famoso vacío de Schwarzschild que modela el espacio-tiempo fuera de un objeto masivo aislado, esféricamente simétrico y que no gira, como una estrella. En la mayoría de los libros de texto se encuentra el tensor métrico escrito en términos de una carta esférica polar estática, de la siguiente manera:

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2m/r}}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;2m<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Más formalmente, el tensor métrico se puede expandir con respecto a la cobase de coordenadas como

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\,dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}}\,dr\otimes dr+r^{2}\,d\theta \otimes d\theta +r^{2}\sin(\theta )^{2}\,d\phi \otimes d\phi }$

Se puede leer un coframe a partir de esta expresión:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\sqrt {1-2m/r}}\,dt,\;\sigma ^{1}={\frac {dr}{\sqrt {1-2m/r}}},\;\sigma ^{2}=rd\theta ,\;\sigma ^{3}=r\sin(\theta )d\phi }$

Para ver que este coframe realmente corresponde al tensor métrico de Schwarzschild, simplemente conecte este coframe en

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

El cuadro dual es el cocuadro inverso como se muestra a continuación: (el cuadro dual también se transpone para mantener el índice local en la misma posición).

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\partial _{\theta },\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\partial _{\phi }}$

(El signo más garantiza que se trata de un puntero hacia el futuro ). Este es el marco que modela la experiencia de los observadores estáticos que utilizan motores de cohetes para "flotar" sobre el objeto masivo . El empuje que necesitan para mantener su posición está dado por la magnitud del vector aceleración ${\displaystyle \sigma ^{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=-{\frac {m/r^{2}}{\sqrt {1-2m/r}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

Esto apunta radialmente hacia adentro, ya que los observadores necesitan acelerar alejándose del objeto para evitar caer hacia él. Por otro lado, las derivadas de Fermi proyectadas espacialmente de los vectores de base espacial (con respecto a ) desaparecen, por lo que se trata de un sistema que no gira. ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Ahora se pueden calcular los componentes de varias cantidades tensoriales con respecto a nuestro marco y su cocuadro dual.

Por ejemplo, el tensor de mareas para nuestros observadores estáticos se define usando notación tensorial (para coordenadas) como

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

donde escribimos para evitar saturar la notación. Sus únicos componentes distintos de cero con respecto a nuestro coframe resultan ser ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3},\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}$

Los componentes de la base de coordenadas correspondientes son

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \theta }=m/r,\;E[X]_{\phi \phi }=m\sin(\theta )^{2}/r}$

(Una nota rápida sobre la notación: muchos autores colocan signos de intercalación sobre índices abstractos que se refieren a un marco. Al escribir componentes específicos , es conveniente denotar los componentes del marco por 0,1,2,3 y coordinar los componentes por . Dado que una expresión como no No tiene sentido como ecuación tensorial , no debería haber posibilidad de confusión). ${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$ ${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$

Compárese el tensor de marea de la gravedad newtoniana, que es la parte sin rastro del potencial gravitacional de Hesse . Usando notación tensorial para un campo tensorial definido en un espacio euclidiano tridimensional, esto se puede escribir ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{3}}{U^{,k}}_{,k}\,\eta _{ij}}$

Es posible que el lector desee analizar esto (obsérvese que el término de traza en realidad desaparece de manera idéntica cuando U es armónico) y comparar los resultados con el siguiente enfoque elemental: podemos comparar las fuerzas gravitacionales de dos observadores cercanos que se encuentran en la misma línea radial:

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

Debido a que al analizar tensores estamos tratando con álgebra multilineal , solo retenemos términos de primer orden, por lo que . De manera similar, podemos comparar la fuerza gravitacional sobre dos observadores cercanos que se encuentran en la misma esfera . Usando algo de trigonometría elemental y la aproximación de ángulos pequeños, encontramos que los vectores de fuerza difieren en un vector tangente a la esfera que tiene magnitud ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$ ${\displaystyle r=r_{0}}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Al utilizar la aproximación de ángulos pequeños, hemos ignorado todos los términos de orden , por lo que las componentes tangenciales son . Aquí nos referimos al marco obvio obtenido de la carta esférica polar para nuestro espacio euclidiano tridimensional: ${\displaystyle O(h^{2})}$ ${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Claramente, los componentes de coordenadas calculados anteriormente ni siquiera se escalan de la manera correcta, por lo que claramente no pueden corresponder a lo que un observador medirá ni siquiera aproximadamente. (Por coincidencia, los componentes del tensor de mareas newtoniano concuerdan exactamente con los componentes del tensor de mareas relativistas que escribimos anteriormente). ${\displaystyle E[X]_{\theta \theta },\,E[X]_{\phi \phi }}$

Ejemplo: observadores de Lemaître en el vacío de Schwarzschild

Para encontrar un marco inercial, podemos impulsar nuestro marco estático en la dirección mediante un parámetro de impulso indeterminado (dependiendo de la coordenada radial), calcular el vector de aceleración del nuevo marco indeterminado, igualarlo a cero y resolver para el impulso desconocido. parámetro. El resultado será un marco que podremos utilizar para estudiar la experiencia física de los observadores que caen libre y radialmente hacia el objeto masivo. Al elegir adecuadamente una constante de integración, obtenemos el marco de los observadores de Lemaître , que caen desde el reposo en el infinito espacial . (Esta frase no tiene sentido, pero el lector sin duda no tendrá dificultad para entender nuestro significado.) En la carta esférica polar estática, este marco se obtiene a partir de las coordenadas de Lemaître y se puede escribir como ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}}\,\partial _{t}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}-{\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Tenga en cuenta que , y que "se inclina hacia adentro", como debería, ya que sus curvas integrales son geodésicas temporales que representan las líneas mundiales de los observadores que caen . De hecho, dado que las derivadas covariantes de los cuatro vectores base (tomados con respecto a ) desaparecen de manera idéntica, nuestro nuevo marco es un marco inercial no giratorio . ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Si nuestro objeto masivo es en realidad un agujero negro (no giratorio) , probablemente queramos seguir la experiencia de los observadores de Lemaître mientras caen a través del horizonte de sucesos en . Dado que las coordenadas esféricas polares estáticas tienen una singularidad de coordenadas en el horizonte, necesitaremos cambiar a un gráfico de coordenadas más apropiado. La opción más sencilla posible es definir una nueva coordenada temporal mediante ${\displaystyle r=2m}$

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m\log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\right)}$

Esto da el gráfico Painlevé . El nuevo elemento de línea es

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\left(dr+{\sqrt {2m/r}}\,dT\right)^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <T<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Con respecto a la carta Painlevé, el marco de Lemaître es

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

Observe que su tríada espacial se ve exactamente como el marco del espacio euclidiano tridimensional que mencionamos anteriormente (cuando calculamos el tensor de marea newtoniano). De hecho, ¡las hipercortes espaciales resultan ser localmente isométricas al espacio euclidiano tridimensional plano! (Ésta es una propiedad notable y bastante especial del vacío de Schwarzschild; la mayoría de los espacio-tiempos no admiten un corte en secciones espaciales planas.) ${\displaystyle T=T_{0}}$

El tensor de mareas tomado con respecto a los observadores de Lemaître es

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}$

donde escribimos para evitar saturar la notación. Este es un tensor diferente al que obtuvimos anteriormente, porque se define usando una familia diferente de observadores . Sin embargo, sus componentes que no desaparecen parecen familiares: . (Esta es nuevamente una propiedad bastante especial del vacío de Schwarzschild). ${\displaystyle Y={\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$

Observe que simplemente no hay forma de definir observadores estáticos en o dentro del horizonte de sucesos. Por otro lado, los observadores de Lemaître tampoco están definidos en toda la región exterior cubierta por la carta esférica polar estática, por lo que en estos ejemplos, ni el marco de Lemaître ni el marco estático están definidos en toda la variedad.

Ejemplo: observadores de Hagihara en el vacío de Schwarzschild

De la misma manera que encontramos a los observadores de Lemaître, podemos aumentar nuestro marco estático en la dirección mediante un parámetro indeterminado (dependiendo de la coordenada radial), calcular el vector de aceleración y exigir que desaparezca en el plano ecuatorial . El nuevo marco de Hagihara describe la experiencia física de los observadores en órbitas circulares estables alrededor de nuestro enorme objeto. Al parecer, esto fue discutido por primera vez por el astrónomo Yusuke Hagihara . ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

En la carta esférica polar estática, el marco de Hagihara es

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

que en el plano ecuatorial se convierte

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

El tensor de mareas resulta estar dado (en el plano ecuatorial) por ${\displaystyle E[Z]_{ab}}$ ${\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {h}}_{0}}$

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {2-3m/r}{1-2m/r}}=-{\frac {2m}{r^{3}}}-{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {1}{1-3m/r}}=-{\frac {m}{r^{3}}}+{\frac {3m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}$

Por lo tanto, en comparación con un observador estático flotando en un radio de coordenadas determinado, un observador de Hagihara en una órbita circular estable con el mismo radio de coordenadas medirá fuerzas de marea radiales que son ligeramente mayores en magnitud, y fuerzas de marea transversales que ya no son isotrópicas (pero ligeramente más grande ortogonal a la dirección del movimiento).

Tenga en cuenta que el marco de Hagihara sólo se define en la región . De hecho, las órbitas circulares estables sólo existen en , por lo que el marco no debe usarse dentro de este lugar. ${\displaystyle r>3m}$ ${\displaystyle r>6m}$

Calcular las derivadas de Fermi muestra que el campo del marco que acabamos de dar está, de hecho, girando con respecto a un marco giroestabilizado. La razón principal es fácil de detectar: ​​en este cuadro, cada observador de Hagihara mantiene sus vectores espaciales alineados radialmente , por lo que giran mientras el observador orbita alrededor del objeto masivo central. Sin embargo, después de corregir esta observación, aún permanece una pequeña precesión del eje de giro de un giroscopio llevado por un observador de Hagihara; este es el efecto de precesión de De Sitter (también llamado efecto de precesión geodésica ). ${\displaystyle {\vec {h}}_{1},\;{\vec {h}}_{3}}$ ${\displaystyle {\vec {h}}_{2}}$

Generalizaciones

Este artículo se ha centrado en la aplicación de los marcos de la relatividad general y, en particular, en su interpretación física. Aquí describimos muy brevemente el concepto general. En una variedad de Riemann o variedad pseudo-riemanniana de n dimensiones , un campo de marco es un conjunto de campos vectoriales ortonormales que forman una base para el espacio tangente en cada punto de la variedad. Esto es posible globalmente de forma continua si y sólo si la variedad es paralelizable . Como antes, los fotogramas se pueden especificar en términos de una base de coordenadas determinada y, en una región no plana, algunos de sus corchetes de Lie por pares no desaparecerán.

De hecho, dado cualquier espacio de producto interno , podemos definir un nuevo espacio que consta de todas las tuplas de bases ortonormales para . La aplicación de esta construcción a cada espacio tangente produce el paquete de marcos ortonormal de una variedad (pseudo) riemanniana y un campo de marco es una sección de este paquete. De manera más general aún, podemos considerar haces de tramas asociados a cualquier haz de vectores , o incluso haces de fibras principales arbitrarios . La notación se vuelve un poco más complicada porque es más difícil evitar distinguir entre índices que se refieren a la base e índices que se refieren a la fibra. Muchos autores hablan de componentes internos cuando se refieren a componentes indexados por la fibra. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Ver también

• Soluciones exactas en relatividad general.
• Georges Lemaître
• Karl Schwarzschild
• marco en movimiento
• Paul Painlevé
• Formalismo tétrada
• Yusuke Hagihara

Referencias

1. Albert Einstein "Riemann-Geometrie mit Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus", Sitzungsberichte der Preussischen Akademieder Wissenschaften, Physikalisch-MathematischeKlasse , p217-221, 7.6.1928, http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/MPIWG:YP5DFQU1 . Traducción al inglés disponible en Jeffrey Yepez, "Einstein's Vierbein Field Theory of Curved Space", https://arxiv.org/abs/1106.2037.
2. Hermann Weyl "Elektron und Gravitation I", Zeitschrift Physik , 56, p330-352, 1929.

• Manuel Tecchiolli (2019). "Sobre las matemáticas del formalismo coframe y la teoría de Einstein-Cartan: una breve reseña". Universo . 5(10) (Gravedad de torsión): 206. arXiv : 2008.08314 . Código Bib : 2019Univ....5..206T. doi : 10.3390/universo5100206 .
• Flandes, Harley (1989). Formas Diferenciales con Aplicaciones a las Ciencias Físicas . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-66169-5.Consulte el Capítulo IV para los marcos en E ³ , luego consulte el Capítulo VIII para los campos de marcos en variedades de Riemann . Este libro realmente no cubre las variedades de Lorentz, pero con estos antecedentes el lector está bien preparado para la siguiente cita.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.En este libro, un campo de marco (campo coframe) se denomina base anholonómica de vectores (covectores) . La información esencial está muy dispersa, pero se puede encontrar fácilmente utilizando el extenso índice.
• Landau, LD; Lifschitz, EF (1980). La teoría clásica de los campos (4ª ed.) . Londres: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.En este libro, un campo de marco se llama tétrada (que no debe confundirse con el término ahora estándar tétrada NP utilizado en el formalismo de Newman-Penrose ). Véase la Sección 98 .
• De Felice, F.; Clarke, CJ (1992). Relatividad en variedades curvas . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-42908-0.Consulte el Capítulo 4 para marcos y coframes. Si alguna vez necesita más información sobre los campos de marco, ¡este podría ser un buen lugar para buscar!