Las identidades de Newton

Relaciones entre sumas de potencias y funciones simétricas elementales

En matemáticas , las identidades de Newton , también conocidas como fórmulas de Girard-Newton , dan relaciones entre dos tipos de polinomios simétricos , concretamente entre sumas de potencias y polinomios simétricos elementales . Evaluados en las raíces de un polinomio mónico P en una variable, permiten expresar las sumas de las k -ésimas potencias de todas las raíces de P (contadas con su multiplicidad) en términos de los coeficientes de P , sin llegar a encontrar esas raíces. Estas identidades fueron encontradas por Isaac Newton alrededor de 1666, aparentemente ignorando un trabajo anterior (1629) de Albert Girard . Tienen aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas, incluida la teoría de Galois , la teoría de invariantes , la teoría de grupos , la combinatoria , así como otras aplicaciones fuera de las matemáticas, incluida la relatividad general .

declaración matemática

Formulación en términos de polinomios simétricos.

Sean x ₁ , ..., x _n variables, denotemos para k  ≥ 1 por p _k ( x ₁ , ..., x _n ) la k -ésima suma de potencias :

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k},}$

y para k  ≥ 0 denotamos por e _k ( x ₁ , ..., x _n ) el polinomio simétrico elemental (es decir, la suma de todos los productos distintos de k variables distintas), entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n},\\e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j},\\&\;\;\vdots \\e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\\e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0,\quad {\text{for}}\ k>n.\\\end{aligned}}}$

Entonces las identidades de Newton se pueden expresar como

${\displaystyle ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

válido para todos norte ≥ k ≥ 1 .

Además, uno tiene

${\displaystyle 0=\sum _{i=k-n}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

para todo k > norte ≥ 1 .

Concretamente, se obtiene para los primeros valores de k :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\2e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\3e_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})+p_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$

La forma y validez de estas ecuaciones no dependen del número n de variables (aunque sí lo hace el punto donde el lado izquierdo se convierte en 0, es decir, después de la n -ésima identidad), lo que permite enunciarlas como identidades en el anillo de funciones simétricas . En ese anillo uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2}=p_{1}^{2}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}={\tfrac {1}{2}}p_{1}^{3}-{\tfrac {3}{2}}p_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}={\tfrac {1}{6}}p_{1}^{4}-p_{1}^{2}p_{2}+{\tfrac {4}{3}}p_{1}p_{3}+{\tfrac {1}{2}}p_{2}^{2}-p_{4},\\\end{aligned}}}$

etcétera; aquí los lados izquierdos nunca llegan a ser cero. Estas ecuaciones permiten expresar recursivamente la e _i en términos de la p _k ; para poder hacer lo inverso, uno puede reescribirlos como

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2}=e_{1}^{2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3}=e_{1}^{3}-3e_{1}e_{2}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4}=e_{1}^{4}-4e_{1}^{2}e_{2}+4e_{1}e_{3}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

En general, tenemos

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=(-1)^{k-1}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum _{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

válido para todo n  ≥ k  ≥ 1.

Además, uno tiene

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=k-n}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

para todo k  >  norte  ≥ 1.

Aplicación a las raíces de un polinomio.

El polinomio con raíces x _i se puede desarrollar como

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}x^{n-k},}$

donde los coeficientes son los polinomios simétricos definidos anteriormente. Dadas las sumas de potencias de las raíces. ${\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k},}$

los coeficientes del polinomio con raíces se pueden expresar recursivamente en términos de sumas de potencias como ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1,\\[4pt]-e_{1}&=-p_{1},\\[4pt]e_{2}&={\frac {1}{2}}(e_{1}p_{1}-p_{2}),\\[4pt]-e_{3}&=-{\frac {1}{3}}(e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}),\\[4pt]e_{4}&={\frac {1}{4}}(e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Formular polinomios de esta manera es útil al utilizar el método de Delves y Lyness ^[1] para encontrar los ceros de una función analítica.

Aplicación al polinomio característico de una matriz.

Cuando el polinomio anterior es el polinomio característico de una matriz (en particular cuando es la matriz compañera del polinomio), las raíces son los valores propios de la matriz, contados con su multiplicidad algebraica. Para cualquier entero positivo , la matriz tiene como valores propios las potencias , y cada valor propio de aporta su multiplicidad a la del valor propio de . Entonces los coeficientes del polinomio característico de están dados por los polinomios simétricos elementales en esas potencias . En particular, la suma de , que es la suma de potencias -ésima de las raíces del polinomio característico de , viene dada por su traza : ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$ ${\displaystyle x_{i}^{k}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle x_{i}^{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$ ${\displaystyle x_{i}^{k}}$ ${\displaystyle x_{i}^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle p_{k}=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{k})\,.}$$

Las identidades de Newton ahora relacionan las trazas de las potencias con los coeficientes del polinomio característico de . Utilizándolos a la inversa para expresar los polinomios simétricos elementales en términos de sumas de potencias, se pueden utilizar para encontrar el polinomio característico calculando sólo las potencias y sus trazas. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$

Este cálculo requiere calcular las trazas de las potencias matriciales y resolver un sistema triangular de ecuaciones. Ambos se pueden hacer en clase de complejidad NC (la resolución de un sistema triangular se puede hacer mediante divide y vencerás). Por lo tanto, el polinomio característico de una matriz se puede calcular en NC. Según el teorema de Cayley-Hamilton , toda matriz satisface su polinomio característico, y una simple transformación permite encontrar la matriz conjugada en NC. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$

Reorganizar los cálculos en una forma eficiente conduce al algoritmo de Faddeev-LeVerrier (1840), cuya rápida implementación paralela se debe a L. Csanky (1976). Su desventaja es que requiere división por números enteros, por lo que en general el campo debería tener la característica 0.

Relación con la teoría de Galois

Para un n dado , los polinomios simétricos elementales e _k ( x ₁ ,..., x _n ) para k  = 1,..., n forman una base algebraica para el espacio de polinomios simétricos en x ₁ ,.... x _n : cada expresión polinómica en x _i que es invariante bajo todas las permutaciones de esas variables está dada por una expresión polinómica en esos polinomios simétricos elementales, y esta expresión es única hasta la equivalencia de expresiones polinómicas. Este es un hecho general conocido como teorema fundamental de los polinomios simétricos , y las identidades de Newton proporcionan fórmulas explícitas en el caso de los polinomios simétricos de suma de potencias. Aplicado al polinomio mónico con todos los coeficientes a _k considerados como parámetros libres, esto significa que cada expresión polinómica simétrica S ( x ₁ ,..., x _n ) en sus raíces se puede expresar como una expresión polinómica P ( a ₁ , ..., a _n ) en términos de sus coeficientes únicamente, es decir, sin necesidad de conocer las raíces. Este hecho también se desprende de consideraciones generales en la teoría de Galois (se consideran los ak como elementos de un campo base con raíces en un campo de extensión cuyo grupo _de Galois los permuta según el grupo simétrico completo, y el campo fijo bajo todos los elementos del Galois). grupo es el campo base). ${\textstyle t^{n}+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}}$

Las identidades de Newton también permiten expresar los polinomios simétricos elementales en términos de polinomios simétricos de suma de potencias, lo que demuestra que cualquier polinomio simétrico también se puede expresar en sumas de potencias. De hecho, las primeras n sumas de potencias también forman una base algebraica para el espacio de polinomios simétricos.

Identidades relacionadas

Hay una serie de (familias de) identidades que, si bien deben distinguirse de las identidades de Newton, están muy estrechamente relacionadas con ellas.

Una variante que utiliza polinomios simétricos homogéneos completos

Denotando por h _k el polinomio simétrico homogéneo completo (es decir, la suma de todos los monomios de grado  k ), los polinomios de suma de potencias también satisfacen identidades similares a las identidades de Newton, pero sin incluir ningún signo menos. Expresados ​​como identidades de en el anillo de funciones simétricas , se leen

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},}$

válido para todo n ≥  k  ≥ 1. Contrariamente a las identidades de Newton, los lados izquierdos no se vuelven cero para  k grandes , y los lados derechos contienen cada vez más términos distintos de cero. Para los primeros valores de k , se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}}$

Estas relaciones pueden justificarse mediante un argumento análogo al que compara coeficientes en series de potencias dado anteriormente, basado en este caso en la función generadora identidad

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-x_{i}t}}.}$

Las pruebas de las identidades de Newton, como las que se dan a continuación, no pueden adaptarse fácilmente para probar estas variantes de esas identidades.

Expresar polinomios simétricos elementales en términos de sumas de potencias

Como se mencionó, las identidades de Newton se pueden usar para expresar recursivamente polinomios simétricos elementales en términos de sumas de potencias. Hacerlo requiere la introducción de denominadores enteros, por lo que se puede hacer en el anillo Λ _Q de funciones simétricas con coeficientes racionales:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\e_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}-p_{2}),\\e_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}-3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\e_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}-{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}-{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}-6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}-6p_{4}),\\&~~\vdots \\e_{n}&=(-1)^{n}\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{n}\geq 0}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(-p_{i})^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\\\end{aligned}}}$

Etcétera. ^[2] La fórmula general se puede expresar convenientemente como

${\displaystyle e_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(-p_{1},-1!\,p_{2},-2!\,p_{3},\ldots ,-(k-1)!\,p_{k}),}$

donde B _n es el polinomio exponencial completo de Bell . Esta expresión también conduce a la siguiente identidad para generar funciones:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}p_{k}\,t^{k}\right).}$

Aplicadas a un polinomio mónico, estas fórmulas expresan los coeficientes en términos de sumas de potencias de las raíces: reemplace cada e _i por a _i y cada p _k por s _k .

Expresar polinomios simétricos homogéneos completos en términos de sumas de potencias

Las relaciones análogas que involucran polinomios simétricos homogéneos completos se pueden desarrollar de manera similar, dando ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\h_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+p_{2}),\\h_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}+{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}+3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\h_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}+{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}+{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}+6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}+6p_{4}),\\&~~\vdots \\h_{k}&=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +km_{k}=k \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{k}\geq 0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {p_{i}^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\end{aligned}}}$

y así sucesivamente, en los que sólo hay signos más. En términos del polinomio de Bell completo,

${\displaystyle h_{k}={\frac {1}{k!}}B_{k}(p_{1},1!\,p_{2},2!\,p_{3},\ldots ,(k-1)!\,p_{k}).}$

Estas expresiones corresponden exactamente a los polinomios de índice de ciclo de los grupos simétricos , si se interpretan las sumas de potencias p _i como indeterminadas: el coeficiente en la expresión para h _k de cualquier monomio p ₁ ^{m ₁} p ₂ ^{m ₂} ... p _l ^{m _l} es igual a la fracción de todas las permutaciones de k que tienen m ₁ puntos fijos, m ₂ ciclos de longitud 2, ..., y m _l ciclos de longitud l . Explícitamente, este coeficiente se puede escribir como donde ; este N es el número de permutaciones que conmutan con cualquier permutación dada  π del tipo de ciclo dado. Las expresiones de las funciones simétricas elementales tienen coeficientes con el mismo valor absoluto, pero con un signo igual al signo de  π , es decir (−1) ^{m ₂ + m ₄ +...} . ${\displaystyle 1/N}$ ${\textstyle N=\prod _{i=1}^{l}(m_{i}!\,i^{m_{i}})}$

Se puede demostrar considerando el siguiente paso inductivo:

${\displaystyle {\begin{aligned}mf(m;m_{1},\ldots ,m_{n})&=f(m-1;m_{1}-1,\ldots ,m_{n})+\cdots +f(m-n;m_{1},\ldots ,m_{n}-1)\\m_{1}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}+\cdots +nm_{n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}&=m\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}\end{aligned}}}$

Por analogía con la derivación de la función generadora de , también podemos obtener la función generadora de , en términos de las sumas de potencias, como: ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {p_{k}}{k}}\,t^{k}\right).}$

Esta función generadora es, por tanto, la exponencial pletística de . ${\displaystyle p_{1}t=(x_{1}+\cdots +x_{n})t}$

Expresar sumas de potencias en términos de polinomios simétricos elementales

También se pueden utilizar las identidades de Newton para expresar sumas de potencias en términos de polinomios simétricos elementales, lo que no introduce denominadores:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}^{2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}^{4}-4e_{2}e_{1}^{2}+4e_{3}e_{1}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\p_{5}&=e_{1}^{5}-5e_{2}e_{1}^{3}+5e_{3}e_{1}^{2}+5e_{2}^{2}e_{1}-5e_{4}e_{1}-5e_{3}e_{2}+5e_{5},\\p_{6}&=e_{1}^{6}-6e_{2}e_{1}^{4}+6e_{3}e_{1}^{3}+9e_{2}^{2}e_{1}^{2}-6e_{4}e_{1}^{2}-12e_{3}e_{2}e_{1}+6e_{5}e_{1}-2e_{2}^{3}+3e_{3}^{2}+6e_{4}e_{2}-6e_{6}.\end{aligned}}}$

Las primeras cuatro fórmulas fueron obtenidas por Albert Girard en 1629 (por tanto, antes que Newton). ^[3]

La fórmula general (para todos los números enteros positivos m ) es:

${\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-e_{i})^{r_{i}}.}$

Esto puede expresarse convenientemente en términos de polinomios de Bell ordinarios como

${\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}{\hat {B}}_{m,k}(-e_{1},\ldots ,-e_{m-k+1}),}$

o equivalentemente como la función generadora : ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}p_{k}{\frac {t^{k}}{k}}&=\ln \left(1+e_{1}t+e_{2}t^{2}+e_{3}t^{3}+\cdots \right)\\&=e_{1}t-{\frac {1}{2}}\left(e_{1}^{2}-2e_{2}\right)t^{2}+{\frac {1}{3}}\left(e_{1}^{3}-3e_{1}e_{2}+3e_{3}\right)t^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

que es análoga a la función generadora exponencial del polinomio de Bell dada en la subsección anterior.

La fórmula de suma múltiple anterior se puede probar considerando el siguiente paso inductivo:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(m;\;r_{1},\ldots ,r_{n})={}&f(m-1;\;r_{1}-1,\cdots ,r_{n})+\cdots +f(m-n;\;r_{1},\ldots ,r_{n}-1)\\[8pt]={}&{\frac {1}{(r_{1}-1)!\cdots r_{n}!}}(m-1)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!+\cdots \\&\cdots +{\frac {1}{r_{1}!\cdots (r_{n}-1)!}}(m-n)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[r_{1}(m-1)+\cdots +r_{n}(m-n)\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[m(r_{1}+\cdots +r_{n})-m\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {m(r_{1}+\cdots +r_{n}-1)!}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\end{aligned}}}$

Expresar sumas de potencias en términos de polinomios simétricos homogéneos completos

Finalmente, se pueden usar las identidades variantes que involucran polinomios simétricos homogéneos completos de manera similar para expresar sumas de potencias en términos de ellos:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=+h_{1},\\p_{2}&=-h_{1}^{2}+2h_{2},\\p_{3}&=+h_{1}^{3}-3h_{2}h_{1}+3h_{3},\\p_{4}&=-h_{1}^{4}+4h_{2}h_{1}^{2}-4h_{3}h_{1}-2h_{2}^{2}+4h_{4},\\p_{5}&=+h_{1}^{5}-5h_{2}h_{1}^{3}+5h_{2}^{2}h_{1}+5h_{3}h_{1}^{2}-5h_{3}h_{2}-5h_{4}h_{1}+5h_{5},\\p_{6}&=-h_{1}^{6}+6h_{2}h_{1}^{4}-9h_{2}^{2}h_{1}^{2}-6h_{3}h_{1}^{3}+2h_{2}^{3}+12h_{3}h_{2}h_{1}+6h_{4}h_{1}^{2}-3h_{3}^{2}-6h_{4}h_{2}-6h_{1}h_{5}+6h_{6},\\\end{aligned}}}$

etcétera. Aparte de la sustitución de cada e _i por su correspondiente h _i , el único cambio respecto a la anterior familia de identidades está en los signos de los términos, que en este caso dependen sólo del número de factores presentes: el signo de la monomio es −(−1) ^{m ₁ + m ₂ + m ₃ +...} . En particular, también aquí se aplica la descripción anterior del valor absoluto de los coeficientes. ${\textstyle \prod _{i=1}^{l}h_{i}^{m_{i}}}$

La fórmula general (para todos los números enteros no negativos m ) es:

${\displaystyle p_{m}=-\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {m(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-h_{i})^{r_{i}}}$

Expresiones como determinantes

Se pueden obtener fórmulas explícitas para las expresiones anteriores en forma de determinantes, considerando las primeras n de las identidades de Newton (o sus contrapartes para los polinomios homogéneos completos) como ecuaciones lineales en las que las funciones simétricas elementales son conocidas y las sumas de potencias son desconocidas. (o viceversa) y aplicar la regla de Cramer para encontrar la solución a la incógnita final. Por ejemplo, tomando las identidades de Newton en la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=1p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-1p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+1p_{3},\\&\,\,\,\vdots \\ne_{n}&=e_{n-1}p_{1}-e_{n-2}p_{2}+\cdots +(-1)^{n}e_{1}p_{n-1}+(-1)^{n-1}p_{n}\end{aligned}}}$

consideramos y como incógnitas, y resolvemos para la final, dando ${\displaystyle p_{1},-p_{2},p_{3},\ldots ,(-1)^{n}p_{n-1}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}={}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &\\e_{1}&1&0&\cdots \\e_{2}&e_{1}&1&\\\vdots &&\ddots &\ddots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&1\end{vmatrix}}^{-1}\\[7pt]={(-1)^{n-1}}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}\\[7pt]={}&{\begin{vmatrix}e_{1}&1&0&\cdots \\2e_{2}&e_{1}&1&0&\cdots \\3e_{3}&e_{2}&e_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\ne_{n}&e_{n-1}&\cdots &&e_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Resolver para en lugar de para es similar a los cálculos análogos para los polinomios simétricos homogéneos completos; en cada caso los detalles son ligeramente más confusos que los resultados finales, que son (Macdonald 1979, p. 20): ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&n-1\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}\\[7pt]p_{n}=(-1)^{n-1}&{\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\cdots \\2h_{2}&h_{1}&1&0&\cdots \\3h_{3}&h_{2}&h_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\nh_{n}&h_{n-1}&\cdots &&h_{1}\end{vmatrix}}\\[7pt]h_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&-1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&-2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&1-n\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que el uso de determinantes hace que la fórmula para tenga signos menos adicionales en comparación con la de , mientras que la situación para la forma expandida dada anteriormente es opuesta. Como se observa en (Littlewood 1950, p. 84), alternativamente se puede obtener la fórmula para tomando el permanente de la matriz para en lugar del determinante y, de manera más general, se puede obtener una expresión para cualquier polinomio de Schur tomando el inmanante correspondiente de este matriz. ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle h_{n}}$ ${\displaystyle e_{n}}$

Derivación de las identidades.

Cada una de las identidades de Newton puede comprobarse fácilmente mediante álgebra elemental; sin embargo, su validez en general necesita una prueba. A continuación se muestran algunas posibles derivaciones.

Del caso especial n  =  k

Se puede obtener la k -ésima identidad de Newton en k variables sustituyendo en

${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(t-x_{i})=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k})t^{i}}$

como sigue. Sustituyendo x _j por t se obtiene

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k}){x_{j}}^{i}\quad {\text{for }}1\leq j\leq k}$

Sumando todo lo que da j

${\displaystyle 0=(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})+\sum _{i=1}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{k}),}$

donde los términos para i  = 0 se eliminaron de la suma porque p ₀ (normalmente) no está definido. Esta ecuación da inmediatamente la k -ésima identidad de Newton en k variables. Dado que se trata de una identidad de polinomios simétricos (homogéneos) de grado k , su validez para cualquier número de variables se deriva de su validez para k variables. Concretamente, las identidades en n  <  k variables se pueden deducir estableciendo k  −  n variables en cero. La k -ésima identidad de Newton en n  >  k variables contiene más términos en ambos lados de la ecuación que la de k variables, pero su validez estará asegurada si los coeficientes de cualquier monomio coinciden. Debido a que ningún monomio individual involucra más de k de variables, el monomio sobrevivirá a la sustitución de cero por algún conjunto de n  −  k (otras) variables, después de lo cual la igualdad de coeficientes es aquella que surge en la k -ésima identidad de Newton en k variables (adecuadamente elegidas).

Comparar coeficientes en serie

Otra derivación se puede obtener mediante cálculos en el anillo de series de potencias formales R [[ t ]], donde R es Z [ x ₁ ,..., x _n ], el anillo de polinomios en n variables x ₁ ,... , x _n sobre los números enteros.

Empezando de nuevo desde la relación básica

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(t-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}}$

e "invertir los polinomios" sustituyendo 1/ t por t y luego multiplicando ambos lados por t ⁿ para eliminar las potencias negativas de t , da

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}t)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{k}.}$

(el cálculo anterior debe realizarse en el campo de fracciones de R [[ t ]]; alternativamente, la identidad se puede obtener simplemente evaluando el producto en el lado izquierdo)

Intercambiar lados y expresar a i _como los polinomios simétricos elementales que representan da la identidad

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}t).}$

Se diferencia formalmente ambos lados con respecto a t y luego (por conveniencia) se multiplica por t para obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}&=t\sum _{i=1}^{n}\left[(-x_{i})\prod \nolimits _{j\neq i}(1-x_{j}t)\right]\\&=-\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}t}{1-x_{i}t}}\right)\prod \nolimits _{j=1}^{n}(1-x_{j}t)\\&=-\left[\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{\infty }(x_{i}t)^{j}\right]\left[\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }e_{\ell }(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{\ell }\right]\\&=\left[\sum _{j=1}^{\infty }p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{j}\right]\left[\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell -1}e_{\ell }(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{\ell }\right],\\\end{aligned}}}$

donde el polinomio del lado derecho se reescribió primero como una función racional para poder factorizar un producto de la suma, luego la fracción en el sumando se desarrolló como una serie en t , usando la fórmula

${\displaystyle {\frac {X}{1-X}}=X+X^{2}+X^{3}+X^{4}+X^{5}+\cdots ,}$

y finalmente se recogió el coeficiente de cada t  ^j , dando una suma de potencias. (La serie en t es una serie de potencias formal, pero, alternativamente, puede considerarse como una expansión de la serie para t suficientemente cercana a 0, para aquellos que se sientan más cómodos con eso; de hecho, aquí no estamos interesados ​​en la función, sino sólo en la coeficientes de la serie.) Comparando los coeficientes de t ^k en ambos lados se obtiene

${\displaystyle (-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})e_{k-j}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

lo que da la k -ésima identidad de Newton.

Como suma telescópica de identidades de funciones simétricas

La siguiente derivación, dada esencialmente en (Mead, 1992), se formula en el anillo de funciones simétricas para mayor claridad (todas las identidades son independientes del número de variables). Fije algo k  > 0 y defina la función simétrica r ( i ) para 2 ≤  i  ≤  k como la suma de todos los monomios distintos de grado k obtenidos al multiplicar una variable elevada a la potencia  i por k  −  i otras variables distintas (esto es la función monomio simétrica m _γ donde γ es una forma de gancho ( i ,1,1,...,1)). En particular r ( k ) =  pk _; para r (1) la descripción equivaldría a la de e _k , pero este caso fue excluido ya que aquí los monomios ya no tienen ninguna variable distinguida. Todos los productos p _i e _{k − i} se pueden expresar en términos de r ( j ), siendo el primer y último caso algo especiales. Uno tiene

${\displaystyle p_{i}e_{k-i}=r(i)+r(i+1)\quad {\text{for }}1<i<k}$

ya que cada producto de términos de la izquierda que involucran distintas variables contribuye a r ( i ), mientras que aquellos en los que la variable de p _i ya ocurre entre las variables del término de e _{k − i} contribuyen a r ( i  + 1), y todos Los términos de la derecha se obtienen exactamente una vez. Para i  =  k se multiplica por e ₀  = 1, dando trivialmente

${\displaystyle p_{k}e_{0}=p_{k}=r(k).}$

Finalmente, el producto p ₁ e _{k −1} para i  = 1 da contribuciones a r ( i  + 1) =  r (2) como para otros valores i  <  k , pero las contribuciones restantes producen k veces cada monomio de e _k , ya que cualquier una de las variables puede provenir del factor p ₁ ; de este modo

${\displaystyle p_{1}e_{k-1}=ke_{k}+r(2).}$

La k -ésima identidad de Newton se obtiene ahora tomando la suma alterna de estas ecuaciones, en las que todos los términos de la forma r ( i ) se cancelan.

Prueba combinatoria

^{En (Zeilberger, 1984) [5]} se ofrece una breve prueba combinatoria de las identidades de Newton.

Ver también

• Polinomio simétrico de suma de potencias
• Polinomio simétrico elemental
• Las desigualdades de Newton
• Función simétrica
• Soluciones de fluidos , un artículo que ofrece una aplicación de las identidades de Newton para calcular el polinomio característico del tensor de Einstein en el caso de un fluido perfecto , y artículos similares sobre otros tipos de soluciones exactas en la relatividad general .

Referencias

1. Profundiza, LM (1967). "Un método numérico para localizar los ceros de una función analítica". Matemáticas de la Computación . 21 (100): 543–560. doi : 10.2307/2004999 . JSTOR  2004999.
2. Nb, los coeficientes de los términos del producto ponderado en la suma dada por la identidad anterior están relacionados con los números M2 en la Sección 26.4 de la DLMF y/o los coeficientes involucrados en las expansiones de la fórmula de Faa di Bruno
3. Tignol, Jean-Pierre (2004). Teoría de Galois de ecuaciones algebraicas (Ed. reimpreso). River Edge, Nueva Jersey: World Scientific. págs. 37–38. ISBN 981-02-4541-6.
4. Weisstein, Eric W. "Polinomio simétrico". MundoMatemático .
5. Zeilberger, Doron (1984). "Una prueba combinatoria de las identidades de Newton". Matemáticas discretas . 49 (3): 319. doi :10.1016/0012-365X(84)90171-7.

• Tignol, Jean-Pierre (2001). Teoría de Galois de las ecuaciones algebraicas . Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-02-4541-2.
• Bergeron, F.; Labelle, G. y Leroux, P. (1998). Especies combinatorias y estructuras arbóreas . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57323-8.
• Cameron, Peter J. (1999). Grupos de permutación . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-65378-7.
• Cox, David ; Little, John y O'Shea, Donal (1992). Ideales, variedades y algoritmos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97847-5.
• Eppstein, D .; Goodrich, MT (2007). "Identificación de rezagados con eficiencia espacial en flujos de datos de ida y vuelta a través de identidades de Newton y filtros Bloom invertibles". Algoritmos y estructuras de datos, décimo taller internacional, WADS 2007 . Springer-Verlag, Apuntes de conferencias sobre informática 4619. págs. arXiv : 0704.3313 . Código Bib : 2007arXiv0704.3313E.
• Littlewood, DE (1950). La teoría de los caracteres grupales y las representaciones matriciales de grupos . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. viii+310. ISBN 0-8218-4067-3.
• Macdonald, IG (1979). Funciones simétricas y polinomios de Hall . Monografías de matemáticas de Oxford. Oxford: The Clarendon Press, Oxford University Press. viii+180. ISBN 0-19-853530-9. SEÑOR  0553598.
• Macdonald, IG (1995). Funciones simétricas y polinomios de Hall . Monografías de matemáticas de Oxford (Segunda ed.). Nueva York: Publicaciones científicas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press. pag. x+475. ISBN 0-19-853489-2. SEÑOR  1354144.
• Mead, DG (1992). "Identidades de Newton". El Mensual Matemático Estadounidense . 99 (8). Asociación Matemática de América: 749–751. doi :10.2307/2324242. JSTOR  2324242.
• Stanley, Richard P. (1999). Combinatoria enumerativa, vol. 2 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-56069-1. (tapa dura). (libro de bolsillo).
• Sturmfels, Bernd (1992). Algoritmos en teoría invariante . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-82445-1.
• Tucker, Alan (1980). Combinatoria aplicada (5/e ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-73507-6.

enlaces externos

• Fórmulas de Newton-Girard en MathWorld
• Una prueba matricial de las identidades de Newton en la revista Mathematics
• Aplicación sobre el número de raíces reales.
• Una prueba combinatoria de las identidades de Newton por Doron Zeilberger