Métricas de Weyl

En relatividad general , las métricas de Weyl (llamadas así en honor al matemático germano-estadounidense Hermann Weyl ) ^[1] son ​​una clase de soluciones estáticas y axisimétricas de la ecuación de campo de Einstein . Tres miembros de la reconocida familia de soluciones Kerr-Newman , a saber, las métricas de Schwarzschild , las métricas no extremas de Reissner-Nordström y las extremas de Reissner-Nordström, pueden identificarse como métricas de tipo Weyl.

Métricas estándar de Weyl

La clase de soluciones Weyl tiene la forma genérica ^{[2] [3]}

donde y son dos potenciales métricos que dependen de las coordenadas canónicas de Weyl . El sistema de coordenadas sirve mejor para las simetrías del espacio-tiempo de Weyl (con dos campos vectoriales Killing siendo y ) y a menudo actúa como coordenadas cilíndricas , ^[2] pero es incompleto cuando se describe un agujero negro ya que solo cubre el horizonte y sus exteriores. ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$ ${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$ ${\displaystyle \xi ^{t}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle \xi ^{\phi }=\partial _{\phi }}$ ${\displaystyle \{\rho \,,z\}}$

Por lo tanto, para determinar una solución axisimétrica estática correspondiente a un tensor tensión-energía específico , solo necesitamos sustituir la ecuación métrica de Weyl (1) en la ecuación de Einstein (con c = G =1): ${\displaystyle T_{ab}}$

y calcular las dos funciones y . ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$

Ecuaciones de campo reducidas para soluciones electrovac Weyl.

Una de las soluciones de Weyl mejor investigadas y más útiles es el caso del electrovac, que proviene de la existencia de un campo electromagnético (tipo Weyl) (sin materia ni flujos de corriente). Como sabemos, dado el cuatro potencial electromagnético , el campo electromagnético antisimétrico y el tensor de tensión-energía libre de trazas estarán determinados respectivamente por ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle A_{a}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle T_{ab}}$ ${\displaystyle (T=g^{ab}T_{ab}=0)}$

que respeta las ecuaciones de Maxwell covariantes sin fuente:

La ecuación (5.a) se puede simplificar a:

en los cálculos como . Además, dado que para el electrovacío, la ecuación (2) se reduce a ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$ ${\displaystyle R=-8\pi T=0}$

Ahora, supongamos que el potencial electrostático axisimétrico de tipo Weyl es (el componente es en realidad el potencial escalar electromagnético ), y junto con la ecuación métrica de Weyl (1), las ecuaciones (3) (4) (5) (6) implican que ${\displaystyle A_{a}=\Phi (\rho ,z)[dt]_{a}}$ ${\displaystyle \Phi }$

donde produce la Ec. (7.a), o produce la Ec. (7.b), o produce la Ec. (7.c), produce la Ec. (7.d) y la Ec. (5.b) produce la Ec. (7.e). Aquí y están respectivamente los operadores de Laplace y de gradiente . Además, si suponemos en el sentido de interacción materia-geometría y asumimos planitud asintótica, encontraremos que la ecuación (7.ae) implica una relación característica que ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle R_{tt}=8\pi T_{tt}}$ ${\displaystyle R_{\varphi \varphi }=8\pi T_{\varphi \varphi }}$ ${\displaystyle R_{\rho \rho }=8\pi T_{\rho \rho }}$ ${\displaystyle R_{zz}=8\pi T_{zz}}$ ${\displaystyle R_{\rho z}=8\pi T_{\rho z}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$ ${\displaystyle \nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$

Específicamente en el caso de vacío más simple con y , las ecuaciones (7.a-7.e) se reducen a ^[4] ${\displaystyle \Phi =0}$ ${\displaystyle T_{ab}=0}$

Primero podemos obtener resolviendo la ecuación (8.b) y luego integrando la ecuación (8.c) y la ecuación (8.d) para . En la práctica, la ecuación (8.a) que surge de simplemente funciona como una relación de consistencia o condición de integrabilidad . ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle R=0}$

A diferencia de la ecuación no lineal de Poisson Eq(7.b), la Eq(8.b) es la ecuación lineal de Laplace ; es decir, la superposición de soluciones de vacío dadas a la ecuación (8.b) sigue siendo una solución. Este hecho tiene una aplicación amplia, como por ejemplo distorsionar analíticamente un agujero negro de Schwarzschild .

Empleamos los operadores de gradiente y de Laplace axisimétricos para escribir las Ecs(7.a-7.e) y las Ecs(8.a-8.d) de forma compacta, lo cual es muy útil en la derivación de la relación característica Eq(7 .F). En la literatura, las ecuaciones (7.a-7.e) y (8.a-8.d) también suelen escribirse en las siguientes formas:

y

Teniendo en cuenta la interacción entre la geometría del espacio-tiempo y las distribuciones de energía-materia, es natural suponer que en las Ecs (7.a-7.e) la función métrica se relaciona con el potencial escalar electrostático a través de una función (lo que significa que la geometría depende de la energía), y se deduce que ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \Phi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\Phi )}$

La ecuación (B.1) convierte inmediatamente la ecuación (7.b) y la ecuación (7.e) respectivamente en

que dan lugar a

Ahora reemplace la variable por y la ecuación (B.4) se simplifica a ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \zeta :=e^{2\psi }}$

La cuadratura directa de la ecuación (B.5) produce , siendo constantes integrales. Para reanudar la planitud asintótica en el infinito espacial, necesitamos y , por lo que debería haber . Además, reescriba la constante por conveniencia matemática en cálculos posteriores y finalmente se obtendrá la relación característica implícita en las ecuaciones (7.a-7.e) que ${\displaystyle \zeta =e^{2\psi }=\Phi ^{2}+{\tilde {C}}\Phi +B}$ ${\displaystyle \{B,{\tilde {C}}\}}$ ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }\Phi =0}$ ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }e^{2\psi }=1}$ ${\displaystyle B=1}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle -2C}$

Esta relación es importante para linealizar las ecuaciones (7.a-7.f) y superponer soluciones de electrovac Weyl.

Análogo newtoniano del potencial métrico Ψ(ρ,z)

En la ecuación métrica (1) de Weyl ,; por lo tanto, en la aproximación para el límite de campo débil , se tiene ${\textstyle e^{\pm 2\psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\pm 2\psi )^{n}}{n!}}}$ ${\displaystyle \psi \to 0}$

y por lo tanto

Esto es bastante análogo a la conocida métrica aproximada de los campos gravitacionales débiles y estáticos generados por cuerpos celestes de baja masa como el Sol y la Tierra, ^[5]

¿Dónde está el potencial newtoniano habitual que satisface la ecuación de Poisson , al igual que la ecuación (3.a) o la ecuación (4.a) para el potencial métrico de Weyl ? Las similitudes entre e inspiran a las personas a descubrir el análogo newtoniano de la clase de soluciones de Weyl al estudiar; es decir, reproducir de forma no relativista cierto tipo de fuentes newtonianas. El análogo newtoniano de resulta bastante útil para especificar soluciones particulares de tipo Weyl y ampliar las soluciones de tipo Weyl existentes. ^[2] ${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$ ${\displaystyle \nabla _{L}^{2}\Phi _{N}=4\pi \varrho _{N}}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \Phi _{N}(\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$

solución de Schwarzschild

Los potenciales de Weyl que generan la métrica de Schwarzschild como soluciones a las ecuaciones de vacío Eq( 8 ) vienen dados por ^{[2] [3] [4]}

dónde

Desde la perspectiva del análogo newtoniano, es igual al potencial gravitacional producido por una varilla de masa y longitud colocada simétricamente sobre el eje -; es decir, por una línea de masa de densidad uniforme incrustada en el intervalo . (Nota: basándose en este análogo, se han desarrollado importantes extensiones de la métrica de Schwarzschild, como se analiza en la referencia ^[2] ). ${\displaystyle \psi _{SS}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2M}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \sigma =1/2}$ ${\displaystyle z\in [-M,M]}$

Dado y , la ecuación métrica de Weyl ( 1 ) se convierte en ${\displaystyle \psi _{SS}}$ ${\displaystyle \gamma _{SS}}$

y después de sustituir las siguientes relaciones mutuamente consistentes

se puede obtener la forma común de la métrica de Schwarzschild en las coordenadas habituales, ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

La métrica Eq( 14 ) no se puede transformar directamente en Eq( 16 ) realizando la transformación cilíndrica-esférica estándar , porque está completa pero incompleta. Es por eso que llamamos a la ecuación ( 1 ) coordenadas canónicas de Weyl en lugar de coordenadas cilíndricas, aunque tienen mucho en común; por ejemplo, el laplaciano en la ecuación ( 7 ) es exactamente el laplaciano geométrico bidimensional en coordenadas cilíndricas. ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )=(t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$ ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )}$ ${\displaystyle \{t,\rho ,z,\phi \}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$

Solución no extrema de Reissner-Nordström

Los potenciales de Weyl que generan la solución no extrema de Reissner-Nordström ( ) como soluciones a las ecuaciones ( 7 ) vienen dados por ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle M>|Q|}$

dónde

Así, dado y , la métrica de Weyl se convierte en ${\displaystyle \psi _{RN}}$ ${\displaystyle \gamma _{RN}}$

y empleando las siguientes transformaciones

se puede obtener la forma común de la métrica de Reissner-Nordström no extrema en las coordenadas habituales, ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

Solución extrema de Reissner-Nordström

Los potenciales que generan la solución extrema de Reissner-Nordström ( ) como soluciones a las ecuaciones ( 7 ) están dados por ^[4] (Nota: tratamos la solución extrema por separado porque es mucho más que el estado degenerado de la contraparte no extrema). ${\displaystyle M=|Q|}$

Por lo tanto, la métrica extrema de Reissner-Nordström lee

y sustituyendo

obtenemos la métrica extrema de Reissner-Nordström en las coordenadas habituales, ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$

Matemáticamente, el Reissner-Nordström extremo se puede obtener tomando el límite de la ecuación no extrema correspondiente y, mientras tanto, a veces necesitamos usar la regla de L'Hospital . ${\displaystyle Q\to M}$

Observaciones: Las métricas de Weyl Eq( 1 ) con potencial evanescente (como la métrica extrema de Reissner-Nordström) constituyen una subclase especial que solo tiene un potencial métrico para identificar. Ampliando esta subclase cancelando la restricción de la axisimetría, se obtiene otra clase útil de soluciones (aún usando las coordenadas de Weyl), a saber, las métricas conformestáticas , ^{[6] [7]} ${\displaystyle \gamma (\rho ,z)}$ ${\displaystyle \psi (\rho ,z)}$

donde usamos en la ecuación ( 22 ) como la función métrica única en lugar de en la ecuación ( 1 ) para enfatizar que son diferentes por simetría axial ( -dependencia). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$

Soluciones de vacío de Weyl en coordenadas esféricas.

La métrica de Weyl también se puede expresar en coordenadas esféricas que

que es igual a la ecuación ( 1 ) a través de la transformación de coordenadas (Nota: como lo muestran las ecuaciones ( 15 ) ( 21 ) ( 24 ), esta transformación no siempre es aplicable). En el caso del vacío, la ecuación ( 8.b ) para se convierte en ${\displaystyle (t,\rho ,z,\phi )\mapsto (t,r\sin \theta ,r\cos \theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$

La solución asintóticamente plana de la ecuación ( 28 ) es ^[2]

donde representan polinomios de Legendre y son coeficientes multipolares . El otro potencial métrico viene dado por ^[2] ${\displaystyle P_{n}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \gamma (r,\theta )}$

Ver también

• Métrica de Schwarzschild
• Métrica de Reissner-Nordström
• Métrica de Schwarzschild distorsionada

Referencias

1. Weyl, H., "Zur Gravitationstheorie", Ann. der Physik 54 (1917), 117-145.
2. Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-Tiempos Exactos en la Relatividad General de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Capítulo 10.
3. Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Capítulo 20.
4. R Gautreau, RB Hoffman, A Armenti. Sistemas estáticos multipartículas en relatividad general . IL NUOVO CIMENTO B, 1972, 7 (1): 71-98.
5. James B. Hartle. Gravedad: una introducción a la relatividad general de Einstein. San Francisco: Addison Wesley, 2003. Ec. (6.20) transformada en coordenadas cilíndricas de Lorentz
6. Guillermo A González, Antonio C Gutiérrez-Pineres, Paolo A Ospina. "Discos de polvo cargados con simetría de eje finito en espacios-tiempos conformestáticos" . Revisión física D, 2008, 78 (6): 064058. arXiv:0806.4285v1
7. Antonio C Gutiérrez-Piñeres, Guillermo A González, Hernando Quevedo. "Halos de disco conformestáticos en la gravedad de Einstein-Maxwell" . Revisión física D, 2013, 87 (4): 044010. [1]