Lema negro

En matemáticas , el lema de Schwarz , que lleva el nombre de Hermann Amandus Schwarz , es el resultado de un análisis complejo sobre funciones holomorfas desde el disco unitario abierto hasta sí mismo. El lema es menos famoso que teoremas más profundos, como el teorema de mapeo de Riemann , que ayuda a demostrar. Sin embargo, es uno de los resultados más simples que capturan la rigidez de las funciones holomorfas.

Declaración

Sea el disco unitario abierto en el plano complejo centrado en el origen y sea un mapa holomorfo tal que y en . ${\displaystyle \mathbf {D} =\{z:|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:\mathbf {D} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$

Entonces para todos , y . ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ ${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$ ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$

Además, si para algunos distintos de cero o , entonces para algunos con . ^[1] ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ ${\displaystyle f(z)=az}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |a|=1}$

Prueba

La prueba es una aplicación sencilla del principio del módulo máximo en la función

${\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}\,&{\mbox{if }}z\neq 0\\f'(0)&{\mbox{if }}z=0,\end{cases}}}$

que es holomórfico en su totalidad , incluso en el origen (porque es diferenciable en el origen y fija cero). Ahora bien, si denota el disco cerrado de radio centrado en el origen, entonces el principio del módulo máximo implica que, para , dado cualquiera , existe en el límite de tal que ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{r}=\{z:|z|\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r<1}$ ${\displaystyle z\in D_{r}}$ ${\displaystyle z_{r}}$ ${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle |g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.}$

Como llegamos . ${\displaystyle r\rightarrow 1}$ ${\displaystyle |g(z)|\leq 1}$

Además, supongamos que para algún valor distinto de cero , o . Luego, en algún momento de . Entonces, según el principio del módulo máximo, es igual a una constante tal que . Por lo tanto, como se desea. ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ ${\displaystyle |g(z)|=1}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|=1}$ ${\displaystyle f(z)=az}$

Teorema de Schwarz-Pick

Una variante del lema de Schwarz, conocida como teorema de Schwarz-Pick (en honor a Georg Pick ), caracteriza los automorfismos analíticos del disco unitario, es decir, asignaciones holomorfas biyectivas del disco unitario a sí mismo:

Seamos holomorfos. Entonces, para todos , ${\displaystyle f:\mathbf {D} \to \mathbf {D} }$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

y, para todos , ${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}$

La expresion

${\displaystyle d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

es la distancia de los puntos , en la métrica de Poincaré , es decir, la métrica en el modelo de disco de Poincaré para geometría hiperbólica en dimensión dos. El teorema de Schwarz-Pick establece esencialmente que un mapa holomórfico del disco unitario dentro de sí mismo disminuye la distancia de los puntos en la métrica de Poincaré. Si la igualdad se cumple en una de las dos desigualdades anteriores (lo que equivale a decir que el mapa holomorfo preserva la distancia en la métrica de Poincaré), entonces debe haber un automorfismo analítico del disco unitario, dado por una transformación de Möbius que mapea el disco unitario. a sí mismo. ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle f}$

Se puede hacer una afirmación análoga en el semiplano superior de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Seamos holomorfos. Entonces, para todos , ${\displaystyle f:\mathbf {H} \to \mathbf {H} }$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}.}$

Esta es una consecuencia fácil del teorema de Schwarz-Pick mencionado anteriormente: sólo hay que recordar que la transformada de Cayley asigna el semiplano superior conformemente al disco unitario . Entonces, el mapa es un mapa holomorfo de en . Usando el teorema de Schwarz-Pick en este mapa y finalmente simplificando los resultados usando la fórmula para , obtenemos el resultado deseado. Además, para todos , ${\displaystyle W(z)=(z-i)/(z+i)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle W\circ f\circ W^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle z\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{{\text{Im}}(f(z))}}\leq {\frac {1}{{\text{Im}}(z)}}.}$

Si la igualdad se cumple para una u otra expresión, entonces debe ser una transformación de Möbius con coeficientes reales. Es decir, si se cumple la igualdad, entonces ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

con y . ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle ad-bc>0}$

Prueba del teorema de Schwarz-Pick

La prueba del teorema de Schwarz-Pick se deriva del lema de Schwarz y del hecho de que una transformación de Möbius de la forma

${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z_{0}}}z-1}},\qquad |z_{0}|<1,}$

asigna el círculo unitario a sí mismo. Arreglar y definir las transformaciones de Möbius. ${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle M(z)={\frac {z_{1}-z}{1-{\overline {z_{1}}}z}},\qquad \varphi (z)={\frac {f(z_{1})-z}{1-{\overline {f(z_{1})}}z}}.}$

Dado que y la transformación de Möbius es invertible, la composición se asigna a y la unidad de disco se asigna a sí misma. Así podemos aplicar el lema de Schwarz, es decir ${\displaystyle M(z_{1})=0}$ ${\displaystyle \varphi (f(M^{-1}(z)))}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left|\varphi \left(f(M^{-1}(z))\right)\right|=\left|{\frac {f(z_{1})-f(M^{-1}(z))}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(M^{-1}(z))}}\right|\leq |z|.}$

Ahora llamar (que todavía estará en el disco unitario) produce la conclusión deseada ${\displaystyle z_{2}=M^{-1}(z)}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|.}$

Para demostrar la segunda parte del teorema, reorganizamos el lado izquierdo en el cociente de diferencias y dejamos tender a . ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{1}}$

Otras generalizaciones y resultados relacionados.

El teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick proporciona un teorema análogo para variedades hiperbólicas.

El teorema de De Branges , anteriormente conocido como Conjetura de Bieberbach, es una extensión importante del lema, que impone restricciones sobre las derivadas superiores de at en caso de que sea inyectivo ; es decir, univalente . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$

El teorema de Koebe 1/4 proporciona una estimación relacionada en el caso de que sea univalente. ${\displaystyle f}$

Ver también

• Interpolación Nevanlinna-Pick

Referencias

1. Teorema 5.34 en Rodríguez, Jane P. Gilman, Irwin Kra, Rubi E. (2007). Análisis complejo: en el espíritu de Lipman Bers (ed. [en línea]). Nueva York: Springer. pag. 95.ISBN _ 978-0-387-74714-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Jurgen Jost, Superficies compactas de Riemann (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X (Ver Sección 2.3) 
• S. Dineen (1989). El lema de Schwarz . Oxford. ISBN 0-19-853571-6.

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