Teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick

Extensión del lema de Schwarz para geometría hiperbólica

En matemáticas , el teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick es una extensión del lema de Schwarz para la geometría hiperbólica , como el modelo de semiplano de Poincaré .

El lema de Schwarz-Pick establece que toda función holomorfa desde el disco unitario U hacia sí mismo, o desde el semiplano superior H hacia sí mismo, no aumentará la distancia de Poincaré entre puntos. El disco unitario U con la métrica de Poincaré tiene curvatura gaussiana negativa −1. En 1938, Lars Ahlfors generalizó el lema a mapas del disco unitario a otras superficies curvadas negativamente:

Teorema ( Schwarz – Ahlfors – Pick ). Sea U la unidad de disco con métrica de Poincaré ; sea ​​S una superficie de Riemann dotada de una métrica hermitiana cuya curvatura gaussiana es ≤ −1; sea ​​una función holomorfa . Entonces ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle f:U\rightarrow S}$

${\displaystyle \sigma (f(z_{1}),f(z_{2}))\leq \rho (z_{1},z_{2})}$

para todos ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in U.}$

Shing-Tung Yau demostró una generalización de este teorema en 1973. ^[1]

Referencias

1. Osserman, Robert (septiembre de 1999). "De Schwarz a Pick, a Ahlfors y más allá" (PDF) . Avisos de la AMS . 46 (8): 868–873.